A．[3－2ln2,2）B．[3－2ln2,2]C．[e－1,2）D．[e－1,2]
6．已知函数f（x）＝aln（x＋2）－x2，在区间（0,1）内任取两个实数p，q，且p>q，若不等式
>2恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
7．y＝f（x）的导函数满足：
当x≠2时，（x－2）（f（x）＋2f′（x）－xf′（x））>0，则（ ）
A．f（4）>（2
＋4）f（
）>2f（3）B．f（4）>2f（3）>（2
＋4）f（
）
C．（2
＋4）f（
）>2f（3）>f（4）D．2f（3）>f（4）>（2
＋4）f（
）
8．若曲线C1：
y＝ax2（a>0）与曲线C2：
y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
9．已知函数f（x）＝e2018x＋mx3－m（m>0），当x1＋x2＝1时，对于任意的实数θ，都有不等式f（x1）＋f（sin2θ）>f（x2）＋f（cos2θ）成立，则实数x1的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．[1,2]C.
D．（1，＋∞）
10．已知函数f（x）＝
，关于x的方程f2（x）－2af（x）＋a－1＝0（a∈R）有3个相异的实数根，则a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
11．已知函数f（x）＝
若函数g（x）＝f（x）－ax＋a存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A.
B.
∪[e2，＋∞）
C.
D.
∪[e，＋∞）
12．已知函数f（x）＝lnx＋ax2＋（2＋a）x（a∈R），g（x）＝
－2，对任意的x0∈（0,2]，关于x的方程f（x）＝g（x0）在
上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围（其中e＝2.71828…为自然对数的底数）为（ ）
A.
B.
C.
D.
13．若f（x）＝3xf′
（1）－2x2，则f′（0）＝________.
14．若直线y＝2x＋b是曲线y＝ex－2的切线，则实数b＝________.
15．若存在两个正实数x，y使等式2x＋m（y－2ex）（lny－lnx）＝0成立（其中e＝2.71828…），则实数m的取值范围是_____________．
16．已知函数f（x）＝lnx＋（e－a）x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则
的最小值为________．
所以
的最小值为－
.
导 数专题训练答案
1．定积分ʃ
dx的值为（ ）
A.
B.
C．πD．2π
答案 A
解析 ∵y＝
，
∴（x－1）2＋y2＝1表示以（1,0）为圆心，以1为半径的圆，
∴定积分ʃ
dx等于该圆的面积的四分之一，
∴定积分ʃ
dx＝
.
2．已知函数f（x）＝（x2－2x）ex－alnx（a∈R）在区间（0，＋∞）上单调递增，则a的最大值是（ ）
A．－eB．eC．－
D．4e2
答案 A
解析 因为函数f（x）＝（x2－2x）ex－alnx（a∈R），
所以f′（x）＝ex（x2－2x）＋ex（2x－2）－
＝ex（x2－2）－
（x>0）．
因为函数f（x）＝（x2－2x）ex－alnx（a∈R）在区间（0，＋∞）上单调递增，
所以f′（x）＝ex（x2－2）－
≥0在区间（0，＋∞）上恒成立，即
≤ex（x2－2）在区间（0，＋∞）上恒成立，
亦即a≤ex（x3－2x）在区间（0，＋∞）上恒成立，
令h（x）＝ex（x3－2x），x>0，则
h′（x）＝ex（x3－2x）＋ex（3x2－2）
＝ex（x3－2x＋3x2－2）＝ex（x－1）（x2＋4x＋2），x>0，
因为x∈（0，＋∞），所以x2＋4x＋2>0.
因为ex>0，令h′（x）>0，可得x>1，
令h′（x）<0，可得0所以函数h（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，在区间（0,1）上单调递减．
所以h（x）min＝h
（1）＝e1（1－2）＝－e.
所以a≤－e.
所以a的最大值是－e.
3．已知函数f（x）＝
ex＋
x2－x，若存在实数m使得不等式f（m）≤2n2－n成立，则实数n的取值范围为（ ）
A.
∪[1，＋∞）B．（－∞，－1]∪
C.
∪
D.
∪[0，＋∞）
答案 A
解析 对函数求导可得，
f′（x）＝
·ex＋
×2x－1，
∴f′
（1）＝f′
（1）＋f（0）－1，
∴f（0）＝
＝1，
∴f′
（1）＝e，f（x）＝ex＋
x2－x，
f′（x）＝ex＋x－1，
设g（x）＝f′（x），则g′（x）＝ex＋1>0，
∴函数f′（x）单调递增，而f′（0）＝0，
∴当x<0时，f′（x）<0，f（x）单调递减；
当x>0时，f′（x）>0，f（x）单调递增．
故f（x）min＝f（0）＝1，
由存在性的条件可得关于实数n的不等式2n2－n≥1，
解得n∈
∪[1，＋∞）．
4．已知函数f（x）＝x2＋（ln3x）2－2a（x＋3ln3x）＋10a2，若存在x0使得f（x0）≤
成立，则实数a的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 f（x）＝x2＋（ln3x）2－2a（x＋3ln3x）＋10a2＝（x－a）2＋（ln3x－3a）2表示点M（x，ln3x）与点N（a,3a）距离的平方，M点的轨迹是函数g（x）＝ln3x的图象，N点的轨迹是直线y＝3x，则g′（x）＝
.作g（x）的平行于直线y＝3x的切线，切点为（x1，y1），则
＝3，所以x1＝
，切点为P
，所以曲线上点P
到直线y＝3x的距离最小，最小距离d＝
，所以f（x）≥
，根据题意，要使f（x0）≤
，则f（x0）＝
，此时N为垂足，点M与点P重合，kMN＝
＝－
，得a＝
.
5．已知函数f（x）＝
若mA．[3－2ln2,2）B．[3－2ln2,2]C．[e－1,2）D．[e－1,2]
答案 A
解析 作出函数f（x）的图象，如图所示，
若m则当ln（x＋1）＝1时，得x＋1＝e，即x＝e－1，
则满足0则ln（n＋1）＝
m＋1，即m＝2ln（n＋1）－2，
则n－m＝n＋2－2ln（n＋1），
设h（n）＝n＋2－2ln（n＋1），0则h′（n）＝1－
＝
，0由h′（n）>0，解得1由h′（n）<0，解得0当n＝1时，函数h（n）取得最小值
h
（1）＝1＋2－2ln（1＋1）＝3－2ln2，
当n＝0时，h（0）＝2－2ln1＝2；
当n＝e－1时，
h
＝e－1＋2－2ln（e－1＋1）＝e－1<2，
所以3－2ln2≤h（n）<2，
即n－m的取值范围是[3－2ln2,2）．
6．已知函数f（x）＝aln（x＋2）－x2，在区间（0,1）内任取两个实数p，q，且p>q，若不等式
>2恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由已知p>q，可得f（p＋1）－f（q＋1）>2（p－q），
f（p＋1）>f（q＋1）＋2p－2q，
f（p＋1）－2p>f（q＋1）－2q，
f（p＋1）－2p－2>f（q＋1）－2q－2，
f（p＋1）－2（p＋1）>f（q＋1）－2（q＋1）．
令g（x）＝f（x）－2x，则有g（p＋1）>g（q＋1）．
因为p，q∈（0,1），
所以p＋1∈（1,2），q＋1∈（1,2），
又因为p>q，
所以g（x）＝f（x）－2x在（1,2）上为单调递增函数，
则g′（x）＝f′（x）－2＝
－2x－2≥0在（1,2）上恒成立，
即a≥（x＋2）（2x＋2）在x∈（1,2）时恒成立，
令h（x）＝（x＋2）（2x＋2）＝2
2－
，
h（x）在（1,2）上为增函数，
所以a≥h
（2）＝24.
即a的取值范围为
.
7．y＝f（x）的导函数满足：
当x≠2时，（x－2）（f（x）＋2f′（x）－xf′（x））>0，则（ ）
A．f（4）>（2
＋4）f（
）>2f（3）B．f（4）>2f（3）>（2
＋4）f（
）
C．（2
＋4）f（
）>2f（3）>f（4）D．2f（3）>f（4）>（2
＋4）f（
）
答案 C
解析 令g（x）＝
，则g′（x）＝
，
因为当x≠2时，（x－2）[f（x）＋（2－x）f′（x）]>0，
所以当x>2时，g′（x）<0，
即函数g（x）在（2，＋∞）上单调递减，
则g（
）>g（3）>g（4），
即
>
>
，
即（2
＋4）f（
）>2f（3）>f（4）．
8．若曲线C1：
y＝ax2（a>0）与曲线C2：
y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设公共切线在曲线C1，C2上的切点分别为（m，am2），（t，et），则2am＝et＝
，所以m＝2t－2，a＝
（t>1），令f（t）＝
（t>1），则f′（t）＝
，则当t>2时，f′（t）>0；当1（2）＝
，所以a≥
，故选D.
9．已知函数f（x）＝e2018x＋mx3－m（m>0），当x1＋x2＝1时，对于任意的实数θ，都有不等式f（x1）＋f（sin2θ）>f（x2）＋f（cos2θ）成立，则实数x1的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．[1,2]C.
D．（1，＋∞）
答案 D
解析 g（x）＝f（x）－f（1－x）
＝（e2018x＋mx3）－[e2018（1－x）＋m（1－x）3]，
则g′（x）＝2018[e2018x＋e2018（1－x）]＋3m[x2＋（1－x）2]>0，
据此可得函数g（x）单调递增，
又x1＋x2＝1，
则不等式f（x1）＋f（sin2θ）>f（x2）＋f（cos2θ），即
f（x1）＋f（sin2θ）>f（1－x1）＋f（1－sin2θ），
则f（x1）－f（1－x1）>f（1－sin2θ）－f[1－（1－sin2θ）]，
即g（x1）>g（1－sin2θ），
结合函数g（x）的单调性可得x1>1－sin2θ恒成立，
当sinθ＝0时，（1－sin2θ）max＝1，
结合恒成立的条件可
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