渝皖琼学年高中数学第一章立体几何初步62垂直关系的性质学案北师大版必修2.docx

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渝皖琼学年高中数学第一章立体几何初步62垂直关系的性质学案北师大版必修2

6．2　垂直关系的性质

学习目标

　1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．

知识点一　直线与平面垂直的性质定理

思考　在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？

答案　平行．

梳理　性质定理

文字语言

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行

符号语言

⇒a∥b

图形语言

知识点二　平面与平面垂直的性质

思考　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？

答案　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．

梳理　性质定理

文字语言

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

符号语言

α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒a⊥β

图形语言

1．若平面α⊥平面β，任取直线lα，则必有l⊥β.（　×　）

2．已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．（　×　）

类型一　线面垂直的性质及应用

例1　如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：

EF∥BD1.

考点　直线与平面垂直的性质

题点　应用线面垂直的性质定理判定线线平行

证明　如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.

∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

∴AC⊥平面BDD1B1，

又BD1平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1.

同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.

又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

反思与感悟　证明线线平行的常用方法

（1）利用线线平行定义：

证共面且无公共点．

（2）利用三线平行公理：

证两线同时平行于第三条直线．

（3）利用线面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证线面平行．

（4）利用线面垂直的性质定理：

把证线线平行转化为证线面垂直.

（5）利用面面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证面面平行．

跟踪训练1　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，aα，a⊥AB.求证：

a∥l.

考点　直线与平面垂直的性质

题点　应用线面垂直的性质定理判定线线平行

证明　∵PA⊥α，lα，∴PA⊥l.

同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.

又∵PA⊥α，aα，∴PA⊥a.

∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.

类型二　面面垂直的性质及应用

例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：

BC⊥AB.

考点　平面与平面垂直的性质

题点　应用面面垂直的性质定理判定线线垂直

证明　如图，在平面PAB内，

作AD⊥PB于点D.

∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，

AD平面PAB.

∴AD⊥平面PBC.

又BC平面PBC，∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，

又∵PA∩AD＝A，PA，AD平面PAB，

∴BC⊥平面PAB.

又AB平面PAB，∴BC⊥AB.

反思与感悟　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

（1）两个平面垂直；

（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线．

跟踪训练2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点．

求证：

（1）BG⊥平面PAD；

（2）AD⊥PB.

考点　平面与平面垂直的性质

题点　应用面面垂直的性质定理判定线面垂直

证明　

（1）∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，

∴△ABD是正三角形，又G为AD的中点，

∴BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG平面ABCD，

∴BG⊥平面PAD.

（2）由

（1）可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，

∴AD⊥平面PBG，又PB平面PBG，

∴AD⊥PB.

类型三　垂直关系的综合应用

命题角度1　线线、线面、面面垂直的转化

例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

考点　垂直问题的综合应用

题点　线线、线面、面面垂直的相互转化

证明　

（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.

（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.

又AD平面PAD，BE⊈平面PAD，∴BE∥平面PAD.

（3）在平行四边形ABED中，

∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，

∴BE⊥CD.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，

又AB⊥AD，PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.

又E，F分别为CD和PC的中点，

∴EF∥PD，∴CD⊥EF.

∵EF∩BE＝E，EF，BE平面BEF，

∴CD⊥平面BEF.

又∵CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.

反思与感悟　在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．

跟踪训练3　如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：

平面ABD⊥平面ACD.

考点　垂直问题的综合应用

题点　线线、线面、面面垂直的相互转化

证明　∵平面ABC⊥平面BCD，

平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内，作AE⊥BC于点E，

如图，则AE⊥平面BCD.

又CD平面BCD，

∴AE⊥CD.

又BC⊥CD，AE∩BC＝E，

AE，BC平面ABC，

∴CD⊥平面ABC，

又AB平面ABC，∴AB⊥CD.

又AB⊥AC，AC∩CD＝C，

AC，CD平面ACD.

∴AB⊥平面ACD.又AB平面ABD，

∴平面ABD⊥平面ACD.

命题角度2　垂直中的探索性问题

例4　已知在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且

＝

＝λ（0＜λ＜1）．

（1）求证：

不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的计算与探索性问题

（1）证明　∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.

又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.

∵

＝

，∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.

又∵EF平面BEF，

∴平面BEF⊥平面ABC.

故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.

（2）解　由

（1）得EF⊥平面ABC，BE平面ABC，

∴EF⊥BE.

要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.

∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴BD＝

.

又∵AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，

∴AB＝

，AC＝

，

∴BE＝

＝

，∴AE＝

，

∴λ＝

＝

.

故当λ＝

时，平面BEF⊥平面ACD.

反思与感悟　解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力．

跟踪训练4　如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

（1）求证：

D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的计算与探索性问题

（1）证明　在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，

∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，

∴DC1⊥D1C.

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，

∴AD⊥平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.

∵AD，DC1平面ADC1，且AD∩DC1＝D，

∴D1C⊥平面ADC1.

∵AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.

（2）解　连接AD1，AE，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，

∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，需使MN∥D1E.

又M是AD1的中点，∴N是AE的中点，又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE，即E是DC的中点．

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.

1．给出下列说法：

①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直．

其中正确说法的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的判定

答案　D

2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则（　　）

A．a⊥βB．a∥β

C．a与β相交D．以上都有可能

考点　空间中直线与平面之间的位置关系

题点　空间中直线与平面之间的位置关系的判定

答案　D

解析　因为a∥平面α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．

3．已知直线l⊥平面α，直线m平面β.有下面四个说法：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；

③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.

其中正确的两个说法是（　　）

A．①②B．③④C．①③D．②④

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的判定

答案　C

解析　∵l⊥α，α∥β，mβ，∴l⊥m，故①正确；

∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵mβ，∴α⊥β，故③正确．

4．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.

考点　平面与平面垂直的性质

题点　有关面面垂直性质的计算

答案　

解析　∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°（即PA⊥AC），

∴PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB，∴PB＝

＝

＝

.

5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：

平面SCD⊥平面SBC.

考点　平面与平面垂直的性质

题点　面面垂直性质的综合应用

证明　因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.

又平面SDC⊥平面ABCD，

平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，

所以BC⊥平面SCD.

又因为BC平面SBC，

所以平面SCD⊥平面SBC.

1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．

2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：

一、选择题

1．在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（　　）

A．相交B．平行

C．异面D．相交或平行

考点　直线与平面垂直的性质

题点　应用线面垂直的性质定理判定线线平行

答案　B

解析　由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．

2．在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是（　　）

A．平行B．EF平面A1B1C1D1

C．相交但不垂直D．相交且垂直

考点　平面与平面垂直的性质

题点　应用面面垂直的性质定理判定线面垂直

答案　D

解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF平面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1.

3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（　　）

A．PD平面ABC

B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直

D．PD∥平面ABC

考点　平面与平面垂直的性质

题点　应用面面垂直的性质定理判定线面垂直

答案　B

解析　∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.

又∵平面ABC⊥平面PAB，

平面ABC∩平面PAB＝AB，PD平面PAB，

∴PD⊥平面ABC.

4．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1的位置关系为（　　）

A．平行B．共面

C．垂直D．不垂直

考点　平面与平面垂直的性质

题点　应用面面垂直的性质定理判定线线垂直

答案　C

解析　如图所示，在四边形ABCD中，

∵AB＝BC，AD＝CD，

∴BD⊥AC.

∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，

平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD平面ABCD，

∴BD⊥平面AA1C1C.

又CC1平面AA1C1C，

∴BD⊥CC1，故选C.

5．下列说法中错误的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α所有直线都垂直于平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面τ，平面β⊥平面τ，α∩β＝l，那么l⊥平面τ

考点　平面与平面垂直的性质

题点　面面垂直性质的综合应用

答案　A

解析　显然A不正确，若两个平面垂直，一个平面内只有和交线垂直的直线才和另一个平面垂直．

6．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的判定

答案　B

解析　设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⃘α，l⃘β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．

7.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：

①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有（　　）

A．①与②B．①与③

C．②与③D．③与④

考点　垂直问题的综合应用

题点　线线、线面、面面垂直的相互转化

答案　B

解析　由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.

二、填空题

8．设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：

①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为________．

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的判定

答案　1

解析　①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l作一平面与β交于l′，则l∥l′，所以l′⊥α，故α⊥β；①③作为前提条件，②作为结论构成的命题错误，这时可能有lβ；②③作为前提条件，①作为结论构成的命题错误，这时l与α的各种位置关系都可能存在．

9.如图，直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．

考点　平面与平面垂直的性质

题点　有关面面垂直性质的计算

答案　

解析　如图，连接BC，

∵二面角α－l－β为直二面角，

ACα，且AC⊥l，

∴AC⊥β.

又BCβ，

∴AC⊥BC，

∴BC2＝AB2－AC2＝3.

又BD⊥CD，

∴CD＝

＝

.

10.如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝

，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.

考点　平面与平面垂直的性质

题点　有关面面垂直性质的计算

答案　7

解析　取AB的中点D，连接PD，

∵PA＝PB，∴PD⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，

PD平面PAB，

∴PD⊥平面ABC，∴PD⊥CD.

连接DC，则△PDC为直角三角形，

在Rt△ABC中，AB＝

＝

＝2

，

在Rt△DBC中，DC＝

＝

＝

，

PD＝

＝

＝

.

在Rt△PCD中，

PC＝

＝

＝7.

11．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．

考点　平面与平面垂直的判定

题点　判定两平面垂直

答案　3

解析　因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，所以平面ABC⊥平面BCD.在折起前，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对

三、解答题

12．如图所示，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝

AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．

（1）求证：

AP∥平面BEF；

（2）求证：

BE⊥平面PAC.

考点　

题点　

证明　

（1）如图所示，设AC∩BE＝O，连接OF，EC.

由于E为AD的中点，AB＝BC＝

AD，AD∥BC，

所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，

因此，四边形ABCE为菱形，

所以O为AC的中点．

又F为PC的中点，

因此，在△PAC中，可得AP∥OF.

又OF平面BEF，AP⃘平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

（2）由题意，知ED∥BC，ED＝BC，

所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.

又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.

因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.

又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，

所以BE⊥平面PAC.

13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．

（1）如果二面角A－DE－C是直二面角，求证：

AB＝AC；

（2）如果AB＝AC，求证：

平面ADE⊥平面BCDE.

考点　垂直问题的综合应用

题点　线线、线面、面面垂直的相互转化

证明　

（1）过A作AM⊥DE于点M，

则由题意可得AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC.

又AD＝AE，

所以M是DE的中点．

取BC的中点N，连接MN，则MN⊥BC，又AM∩MN＝M，

所以BC⊥平面AMN，所以AN⊥BC.

又N是BC的中点，

所以△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC.

（2）取BC的中点N，连接AN.

因为AB＝AC，所以AN⊥BC.取DE的中点M，连接MN，AM，所以MN⊥BC，又AN∩MN＝N，

所以BC⊥平面AMN，所以AM⊥BC.

又M是DE的中点，AD＝AE，

所以AM⊥DE.

又因为DE与BC是平面BCDE内的两条相交直线，

所以AM⊥平面BCDE.

又因为AM平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCDE.

四、探究与拓展

14．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（　　）

A．2

B．2

C．4

D．4

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的计算与探索性问题

答案　B

解析　如图，连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，

可得PC⊥CM，所以PM＝

，

要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可．

在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，

此时有CM＝4×

＝2

，所以PM的最小值为2

.

15．如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②所示．

（1）求证：

DE∥平面A1CB；

（2）求证：

A1F⊥BE；

（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

说明理由．

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的计算与探索性问题

（1）证明　因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.

又DE⃘平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.

（2）证明　由已知得DC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥DC.又DE⊥A1D，A1D∩CD＝D，A1D，CD平面A1DC，

所以DE⊥平面A1DC，

而A1F平面A1DC，

所以DE⊥A1F.

又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE平面BCDE，

所以A1F⊥平面BCDE，

又BE平面BCDE，所以A1F⊥BE.

（3）解　线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.

理由如下：

如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接DP，PQ，QE，

则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP.

由

（2）知，DE⊥平面A1DC，A1C平面A1DC，

所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，DE，DP平面DEP，所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q，且Q为A1B的中点时，A1C⊥平面DEQ.