完整word版初中平面几何一题多变.docx
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完整word版初中平面几何一题多变
平面几何一题多变
在完成一个数学题的解答时,有必要对该题的内容、形式、条件、结论,做进一步的探讨,以真正掌握该题所反映的问题的实质。
如果能对一个普通的数学题进行一题多变,从变中总结解题方法;从变中发现解题规律,从变中发现“不变”,必将使人受益匪浅。
“一题多变”的常用方法有:
1、变换命题的条件与结论;
2、保留条件,深化结论;
3、减弱条件,加强结论;
4、探讨命题的推广;
5、考查命题的特例;
6、生根伸枝,图形变换;
7、接力赛,一变再变;
8、解法的多变等。
19、(增加题1的条件)AE平分∠BAC交BC于E,
求证:
CE:
EB=CD:
CB
20、(增加题1的条件)CE平分∠BCD,AF平分∠BAC交BC于F
求证:
(1)BF·CE=BE·DF
(2)AE⊥CF
(3)设AE与CD交于Q,则FQ‖BC
21、已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,以CD为直径的圆交AC、BC于E、F,
求证:
CE:
BC=CF:
AC(注意本题和16题有无联系)
22、已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,以AD为直径的圆交AC于E,以BD为直径的圆交BC于F,
求证:
EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线
23、已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,作以AC为直径的圆O1,和以CD为弦的圆O2,
求证:
点A到圆O2的切线长和AC相等(AT=AC)
24、已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
E为ACD的中点,连ED并延长交CB的延长线于F,
求证:
DF:
CF=BC:
AC
25、如图,⊙O1与⊙O2外切与点D, 内公切线DO交外公切线EF于点O,
求证:
OD是两圆半径的比例中项。
题14解答:
因为CD^2=AD·DB
AC^2=AD·AB
BC^2=BD·AB
所以1/AC^2+1/BC^2
=1/(AD·AB)+1/(BD·AB)
=(AD+DB)/(AD·BD·AB)
=AB/AD·BD·AB
=1/AD·BD
=1/CD^2
15题解答:
因为M为AB的中点,所以AM=MB,AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM
AC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB
=(AD-DB)AB
=2DM*AB
26、(在19题基础上增加一条平行线)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F,FG‖AB交BC于点G,
求证:
CE=BG
27、(在19题基础上增加一条平行线)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F,FG‖BC交AB于点G,连结EG,
求证:
四边形CEGF是菱形
28、(对19题增加一个结论)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F,
求证:
CE=CF
29、(在23题中去掉一个圆)已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,作以AC为直径的圆O1,
求证:
过点D的圆O1的切线平分BC
30、(在19题中增加一个圆)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,AE平分∠BAC交BC于E,交CD于F,
求证:
⊙CED平分线段AF
31、(在题1中增加一个条件)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,∠A=30度,
求证:
BD=AB/4
(沪科版八年级数学第117页第3题)
32、(在18题基础上增加一条直线)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,作∠BCE=∠BCD
P为AC上任意一点,直线PQ交CD于Q,交CB于M,交CE于N
求证:
PQ/PN=QM/MN
32题证明:
作NS‖CD交直线AC与点S,
则PQ/PN=CQ/SN
又∠BCE=∠BCD
∴QM/MN=CQ/CN(三角形内角平分线性质定理)
∠BCE+∠NCS=∠BCD+∠ACD
NS‖CD,∴∠NSC=∠ACD
∴∠NSC=∠NCS
∴SN=CN
∴PQ/PN=QM/MN
题33
在“题一中”,延长CB到E,使EB=CB,连结AE、DE,
求证:
DE·AB=AE·BE
题33证明
CB^2=BD·AB
因EB=CB
∴EB^2=BD·AB
∴EB:
BD=AB:
BE
又∠EBD=∠ABE
∴△EBD∽△ABE
∴EB:
AB=DE:
AE
∴DE·AB=AE·BE
题34
(在19题基础上增加一条垂线)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
AE平分CD于F,EG⊥AB交AB于点G,
求证:
EG^2=BE·EC
证明:
延长AC、GE,设交点为H,
∴△EBG∽△EHC
∴EB:
EH=EG:
EC
∴EH·EG=BE·EC
又HG‖CD,CF=FD
∴EH=EG
∴EG^2=BE·EC
题35(在题19中增加点F)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
AE平分∠BCA交BC于点E,交CD于F,
求证:
2CF·FD=AF·EF
题36、(在题16中,减弱条件,删除∠ACB=90度这个条件)
已知,△ABC中,CD⊥AB,D为垂足,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,
求证:
CE/BC=CF/AC
题37
(在题17中,删除∠ACB=90度和CD⊥AB,D为垂足这两个条件,增加D是AB上一点,满足∠ACD=∠ABC)
已知,△ABC中,D是AB上一点,满足∠ACD=∠ABC,又CE平分∠BCD
求证:
AE^2=AD·AB
题38
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,PC为⊙ABC的切线
求证:
PA/AD=PB/BD
题39
(在题19中点E“该为E为BC上任意一点”)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
E为BC上任意一点,连结AE,CF⊥AE,F为垂足,连结DF,
求证:
△ADF∽△AEB
题40:
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足
求证:
S⊙ADC:
S⊙BDC=AD:
DB
题41
已知,如图,△ABC中,CD⊥AB,D为垂足,且AD/CD=CD/BD,
求∠ACB的度数。
题42
已知,CD是△ABC的AB边上的高,D为垂足,且AD/CD=CD/BD,
则∠ACB一定是90度吗?
为什么?
题43:
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,△ADC的内切圆⊙O1,
△BDC的内切圆⊙O2,
求证:
S⊙O1:
S⊙O2=AD:
DB
题44:
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,△ADC的内切圆⊙O1的半径R1,△BDC的内切圆⊙O2的半径R2,△ABC的内切圆⊙O的半径R,求证:
R1+R2+R=CD
题45、
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,作以AC为直径的圆O1,和以BD为直径的圆O2,设O1和O2在△ABC内交于P
求证:
△PAD的面积和△PBC的面积相等
题45解:
∠CAP=∠CDP=∠DBP(圆周角、弦切角)
∴Rt△APC∽Rt△BPD
∴AP·PD=BP·PC
又∠APD和∠CPB互补(∠APC+∠BPD=180度)
S△PAD=1/2·AP·PD·sin∠APD
S△PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB
∴S△PAD=S△PBD
题46(在题38的基础上变一下)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,PC为⊙ABC的切线,又CE平分∠ACB交⊙ABC与E,交AB与D, 若PA=5,PC=10,
求 CD·CE的值
题47
在题46中,求sin∠PCA
题48(由题19而变)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
AE平分∠ACB交BC于E,EG⊥AB交AB于点G,
求证:
(1)AC=AG
(2)、AG^2=AD·AB
(3)、G在∠DCB的平分线上
(4)、FG‖BC
(5)、四边形CEFG是菱形
题49
题49解答:
题目50(题33再变)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,延长CB到E,使EB=CB,连结AE交CD的延长线于F,如果此时AC=EC,
求证:
AF=2FE
题50解:
过点E作EM⊥CF,M为垂足,则AD:
DB=AC^2:
CB^2=4:
1
又DB:
EM=1:
2
所以,AD:
EM=2:
1
△ADF∽△EMF
∴AF:
EF=AD:
EM=2:
1
∴AF=2EF
题目51(题50中连一线)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,延长CB到E,使EB=CB,连结AE交CD的延长线于F,连结FB,如果此时AC=EC,
求证:
∠ABC=∠EBF
(题51的几种解法)
解法1、
作∠ACB的平分线交AB于点G,易证△ACG≌△CEF
∴CG=EF
∴证△CBG≌△EBF
∴∠ABC=∠EBF
题51解法2
作∠ACB的平分线交AB于点G,交AE于点P,
则点G为△ACE的垂心,∴GF‖CE
又∠AEC=∠GCE,
∴四边形CGFE为等腰梯形
∴CG=EF
∴再证△CBG≌△EBF
∴∠ABC=∠EBF
题51解法3
作∠ACB的平分线交AB于点G,交AE于点P,
则点G为△ACE的垂心,
易证△APG≌△CPF(AAS)
∴PG=PF
又∠GPB=∠FPB,
PB=PB
∴△PBG≌△FBP(SAS)
∴∠PBG=∠FBP
∴∠ABC=∠EBF
题51解法4(原题图)
由题50得,AF=2EF
∴AF:
EF=AC:
BE=2
又∠CAF=∠BEF=45度
∴△ACF∽△EBF
∴∠ACF=∠EBF
又∠ACF=∠CBA
∴∠ABC=∠EBF
题51解法5
作ME⊥CE交CD的延长线于M,
证△ABC≌△CME(ASA)
∴∠ABC=∠M
再证△MEF≌△BEF(SAS)
∴∠EBM=∠M
∴∠ABC=∠EBF
题51解法6
作点B关于点C的对称点N,连结AN,
则NB=2BE,又由题50,AF=2EF,
∴BF‖AN
∴∠EBM=∠N
又∠ABC=∠N(对称点)
∴∠ABC=∠EBF
题51解法7
过点C作CH‖BF交AB于M,
∵B为CE的中点,
∴F为HE的中点
又由题50,AF=2EF,
∴H为AF的中点
又CH‖BF
∴M为AB的中点
∴∠MCB=∠MBC
又∠EBM=∠MCB
∴∠ABC=∠EBF
题目52(题50、51结论的引伸)
已知,△ABE中,AC=EC,∠ACE=90度,
CD⊥AB交斜边AB于F,D为垂足,
B为CE的中点,连结FB,
求证:
(1)、AF=2EF
(2)、∠ABC=∠EBF
(3)、∠EBF=∠E+∠BAE
(4)、∠ABF=2∠DAC
(5)、AB:
BF=AE:
EF
(6)、CD:
DF=AE:
AF
(7)、AD:
DB=2AF:
EF
(8)、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1
题目53(题52的一部分)
已知如图,
①、AC=CE
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求证:
⑤、AF=2EF
⑥、∠ABC=∠EBF
(题53的14个逆命题中,是真命题的请给出证明)
题目54(题53的逆命题1)
已知如图,
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求证:
①、AC=CE
⑥、∠ABC=∠EBF
平面几何一题多变
题目55(题53的逆命题2)
已知如图,
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求证:
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
题目56(题53的逆命题3)
已知如图,
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
求证:
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
题目57(题53的逆命题4)
已知如图,
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
求证:
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
题目58(题53的逆命题5)
已知如图,
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
②、AC⊥CE
④、CF⊥AB
求证:
⑤、AF=2EF
①、AC=CE
题目59(题53的逆命题6)
已知如图,
①、AC=CE
④、CF⊥AB
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证:
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
题目60(题53的逆命题7)
已知如图,
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
④、CF⊥AB
求证:
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
题目61(题53的逆命题8)
已知如图,
①、AC=CE
②、AC⊥CE
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证:
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
题目62(题53的逆命题9)
已知如图,
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证:
①、AC=CE
②、AC⊥CE
题目63(题53的逆命题10)
已知如图,
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
求证:
①、AC=CE
③、CB=BE
题目64(题53的逆命题11)
已知如图,
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
求证:
①、AC=CE
④、CF⊥AB
题目65(题53的逆命题12)
已知如图,
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF
求证:
②、AC⊥CE
③、CB=BE
题目66(题53的逆命题13)
已知如图,
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
求证:
②、AC⊥CE
④、CF⊥AB
题目67(题53的逆命题14)
已知如图,
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
⑥、∠ABC=∠EBF
求证:
③、CB=BE
④、CF⊥AB
题目68
已知如图,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
CM平分∠ACB,如果S△ACM=30,S△DCM=6,
求S△BCD=?
(题68解答)
解:
设S△BCD=x,则S△ACM/S△CMB=30/(6+x)=AM/MB
S△ACD/S△CDB=36/x=AD/DB
又AC^2=AD·AB
BC^2=BD·AB
∴AC^2/BC^2=AD/BD
∵CM平分∠ACB
∴(AM/BM)^2=AD/BD
∴[30/(6+x)]^2=36/x
解方程得x=4或x=9
∴S△BCD=4或S△BCD=9
题目69
已知如图,△ABC中,∠ACB=90度,D为斜边AB上一点,满足AC^2=AD·AB
求证:
CD⊥AB
题目70
已知如图,△ABC中,AC>BC,∠ACB=90度,
CM平分∠ACB,且CM+CB=AC,
求证:
1/AC-1/BC=√2
题70证明:
过点M作MD⊥BC,D为垂足,作MD⊥AC,E为垂足,
设ME=x,AC=b,BC=a,则CM=√2x,AE=b-x,
由AE/AC=ME/BC,得(b-x)/b=x/a,
∴x=ab/(a+b)
又CM+CB=AC
∴√2x+a=b,
∴ab/(a+b)=(b-a)/√2
整理得:
b^2-a^2=√2ab
两边都除以ab,
∴1/AC-1/BC=√2
题目71(依题68变)
已知如图,△ABC中(AC>BC),∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x^2-14x+48=0的两个根,
求AD、MD的长。
题目71解:
显然,方程x^2-14x+48=0的两根为6和8,
又AC>BC
∴AC=8,BC=6
由勾股定理AB=10
△ACD∽△ABC,得AC^2=AD·AB
∴AD=6.4
∵CM平分∠ACB
∴AM/MB=AC/CB
解得,AM=40/7
∴MD=AD-AM=24/35
题目72
已知如图,△ABC中,∠ACB=90度,AB=2AC,现在将它折成如右图的形状,这时顶点A正好落在BC上,而且△A'MN是正三角形,
求△A'MN与△ABC的面积之比。
题72解:
∵∠ACB=90度,AB=2AC
∴∠B=30度
由题意,四边形AMA'N是菱形,
∴△A'BM∽△ABC
∴A'M/AC=BM/AB
设AM=x,AB=2AC=2a
∴x/a=(2a-x)/2a
∴x=2a/3
由三角形面积公式,得
S△A'MN:
S△ABC=2:
9
题目73
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足
求证:
AB+CD>AC+BC
题73的证明:
由三角形面积公式,得AB·CD=AC·BC
2AB·CD=2AC·BC
又勾股定理,得AB^2=AC^2+BC^2
∴AB^2+2AB·CD=AC^2+BC^2+2AC·BC(等式性质)
∴AB^2+2AB·CD=(AC+BC)^2
∴AB^2+2AB·CD+CD^2>(AC+BC)^2
∴(AB+CD)^2>(AC+BC)^2
又AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD>AC+BC
题目74
已知,△ABC中,∠ACB>90度,CD⊥AB,D为垂足
求证:
AB+CD>AC+BC
题74证明:
如图,作CB’⊥AC交AB于B’,
于是有
AB’·CD=AC·B’C
2AB’·CD=2AC·B’C
又勾股定理,得AB’^2=AC^2+B’C^2
∴AB’^2+2AB’·CD=AC^2+B’C^2+2AC·B’C(等式性质)
∴AB’^2+2AB’·CD=(AC+B’C)^2
∴AB’^2+2AB’·CD+CD^2>(AC+B’C)^2
∴(AB’+CD)^2>(AC+B’C)^2
又AB’、CD、AC、B’C均大于零
∴AB’+CD>AC+B’C……①
在△ABB’中,BB’>CB-CB’……②
①+②得AB’BB’+CD>AC+B’CCB-CB’
∴AB+CD>AC+BC
题目75
已知如图,△ABC中,CD⊥AB,D为垂足,
CT平分∠ACB,CM为AB边上的中线,
且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MCB
求证:
∠ACB=90度
题目75的证明:
延长CT交三角形ABC的外接圆于N,连结MN,
则N为弧AB的中点,所以MN⊥AB,
又CD⊥AB,
∴MN‖CD
∴∠DCT=∠TNM
又∠DCT=∠TCM
∴∠TCM=∠TNM
∴CM=NM
∴CN的垂直平分线必过点M,
又CM为AB边上的中线,MN⊥AB
∴AB的垂直平分线必过点M,
即M为两条弦的垂直平分线的交点,
∴M为三角形ABC的外接圆的圆心,
因此AB为△ABC的外接圆的直径。
∴∠ACB=90度
题目76
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,
∠ACB的平分线CG交AB边上的中垂线于点G,
求证:
MC=MG
题目77
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,CM为AB边上的中线,CD是∠ACB的平分线,AC=75cm,BD=80cm,
求CD、CM、CE的长
题目78
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,E为⊙ABC上一点,
且弧AC=弧CE,又AE交CD于M,
求证:
AM=CM
题目79(题78再变)
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,E为⊙ABC上一点,且弧AC=弧CE,又BC交AE于G,连结BE
求证:
BG^2=AB·BE-AG·GE
题目80
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,E为⊙ABC上一点,且直线DC于直线BE交于P,
求证:
CD^2=DM·DP
题目81
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,E为⊙ABC上一点,且直线DC于直线BE交于P,如果CD平分AE,
求证:
2DM·DP=BE·EP
题目82
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,E为⊙ABC上一点,
且弧AC=弧CE,又直线AC与直线BE交于H,
求证:
AB=BH
题目83(由题44变)
求证:
直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。
题目84
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,MN切⊙ABC与C点
求证:
BC平分∠DCN
题目85
已知,△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,MN切⊙ABC与C点,
AF⊥MN,F为垂足,AE⊥MN,E为垂足,
求证:
CD=CE=CF
题目86
已知,△ABC中,∠ACB=90度,以BC为直径的圆交AB于点D,以AC为半径的圆交AB于点E,
求证:
∠BCE=∠DCE
题目87(由题38图而变)
求证:
和两定点距离之比等于定比(不为1)的点的轨迹是一个圆周。
(提示:
从
(1)完备性、
(2)纯粹性两方面来证明。
)
题目88
作图题:
已知两线段之和及积,求作这两条线段。
已知:
两线段m和n
求作:
两线段x及y,使x+y=m,xy=n^2
补个图(题88作法参考)
AD、BD即为求作线段x、y
题目89(由题88变)
已知梯形ABCD如图,求作一直线平行于梯形的底边,且平分面积。
题目90
利用下图,证明:
两个正数之和为定值,则这两个数相等时乘积最大。
题目89作法:
如图,作两腰的延长线交于点O,作PB⊥AB使PB=OA,连结OP,
以OP为直径作半圆M,由圆心M作MN⊥OP,交半圆于点N,再以O为圆心ON为半径画弧交AB于点E,作EF‖BC交CD于F,则EF即为所求线段。
题91(题73变)
设a、b、c、d都是正数,满足a/b=c/d,且a最大,
求证:
a+d>b+c
题92(人教版数学八年级下114页)
在Rt△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,D为垂足,∠ACD=3∠BCD,E是斜边AB的中点,
∠ECB是多少度?
题93(题49变)已知,17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且∠A、∠B都是锐角,
求∠A/2+∠B的值。
题目93解:
(构造法)
分别以17、13为边作△ABC,使AC=17