高考数学套用18个规范答题模板版.docx
《高考数学套用18个规范答题模板版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学套用18个规范答题模板版.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高考数学套用18个规范答题模板版
模板一求函数值
例1【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足．若
，则
A.B.0C.2D.50
【答案】C
【解析】
▲模板构建已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题
思路如下:
【变式训练】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，
则的值为________．
模板二函数的图象
例2【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为
1
A.AB.BC.CD.D
【答案】B
【解析】
为奇函数，舍去A,舍去D;
，所以舍去C；因此选B.
▲模板构建有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路
（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，
由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判
断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．结合导数解答此类问题的基本要点如下:
【变式训练】【2018年全国卷Ⅲ文】函数的图像大致为
2
模板三函数的零点问题
例3【2018届北京市十一学校3月零模】已知函数
x
1
1
fxx3那么在下列区间中含有函数fx
fxx3那么在下列区间中含有函数fx
2
零点的是（）
A.0,
1
3
B.
11
32
C.
12
23
D.
2
3
1
【答案】B
▲模板构建利用零点存在性定理可以根据函数y=f（x）在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区
间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:
【变式训练】【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在
上的最大值与最小值的和为________．
模板四三角函数的性质
例4【2018届福建省漳州市5月测试】已知函数（，），满足
，且对任意，都有．当取最小值时，函数的单调递减区间为（）
A.，ZB.，Z
C.，ZD.，Z
【答案】A
【解析】
3
那么，函数，
当时，取得最小值，
，，
即函数，
令，
得，
所以，函数的单调递减区间为：
，,故选A.
▲模板构建在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:
（1）先确定函数的定义域;
（2）将已知函数化
简为y=Asin（ωx+φ）+k的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;（3）将ωx+φ视为一个整体.解题思路为:
【变式训练】【2018辽宁省凌源市模拟】已知函数
2
fxxxx，当0,
cos3sinsinx时，
22
函数fx的最小值与最大值之和为__________．
模板五三角函数的图象变换
4
例5.将函数2sin
fxx的图象上各点的横坐标缩小为原来的
4
1
2
，再向右平移φ（φ>0）个单位后
得到的图象关于直线
x对称，则φ的最小值是（）
2
A.B.
43
C.
3
4
D.
3
8
【答案】D
▲模板构建三角函数图象变换的主要类型:
在x轴方向上的左、右平移变换,在y轴方向上的上、下平移
变换,在x轴或y轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下:
【变式训练】【2018湖南省长郡中学模拟】为了得到函数
2
ysin2x的图象，只需把函数
3
ycos2x的图象（）
3
A.向左平移
个单位长度
2
B.向右平移
个单位长度
2
C.向左平移
个单位长度
4
D.向右平移
个单位长度
4
模板六解三角形
5
例6【2018年理数全国卷II】在中，，，，则
A.B.C.D.
【答案】A
▲模板构建利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边
的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其
夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:
【变式训练】
【2018河南省南阳市第一中学模拟】在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,sinBacosBbcosA3ccosB.
（1）求B；
（2）若b23,ABC的面积为23，求ABC的周长.
模板七利用函数性质解不等式
例7已知定义在R上的偶函数fx在0,上递减且f10，则不等式flog4xflog1x0的
4
解集为__________．
【答案】
1
4
4
6
▲模板构建函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:
【变式训练】【2018届广东省模拟
（二）】已知函数，当时，关于的不等式
的解集为__________．
模板八利用基本不等式求最值
例8．【2018广西钦州质量检测】已知（，为正实数），则的最小值为__________．
【答案】
【解析】∵a，b∈R+，a+4b=1
∴=≥，
当且仅当，即a=2b时上述等号成立，
故答案为：
9
▲模板构建拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的
形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:
【变式训练】已知x,yR,且满足x2y2xy,那么3x4y的最小值为____.
7
模板九不等式恒成立问题
例9【2018年天津卷文】已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f（x）≤
恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】［，2］
【解析】
▲模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:
m
【变式训练】【2018河南省中原名校联考】已知函数1ln,0
fxxmxm
x
，当x1,e时，
fx0恒成立，则实数m的取值范围为（）
A.
0,
1
2
B.1,C.0,1D.
1
2
模板十简单的线性规划问题
例10【2018年理北京卷】若,y满足，则2y-的最小值是_________.
【答案】3
【解析】
不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图
8
令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，
的最小值为.
▲模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的
方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:
【变式训练】【河南省2018年高考一模】设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：
不经过区域D上的点，则r的取值范围为
A．B．
C．D．
模板十一数列的通项与求和
例11【2018年专家猜题卷】数列的前项和为，已知，.
（Ⅰ）证明：
数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】
（1）见解析;
（2）.
【解析】
（1）证明：
∵，
∴，
∴，
又，
9
∴，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由
（1）知，，
∴，
∴，①
.②
①-②得
，
∴.
▲模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:
【变式训练】【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等
差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
10
模板十二空间中的平行与垂直
例12【2018年江苏卷】在平行六面体中，．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】见解析
【解析】
证明：
（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因
为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
▲模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下:
【变式训练】【2018南京市、盐城市一模】如图所示，在直三棱柱
ABCABC中，CACB，点M,N
111
分别是
AB,AB的中点.
11
（1）求证：
BN∥平面
AMC；
1
（2）若
AMAB，求证：
AB1A1C.
11
11
模板十三求空间角
例13【2018吉林省实验中学模拟】如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB//EF，矩
形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB2，EF1．
（Ⅰ）求证：
平面DAF平面CBF；
（Ⅱ）当AD的长为何值时，二面角DFEB的大小为60．
（Ⅱ）
设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、
z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设ADt（t0），则点D的坐标为
1,0,t，则C1,t0,，又
13
A1,0,0,B1,0,0,F,,0，
22
∴，
12
因此，当AD的长为
6
4
时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°.
▲模板构建空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数
化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤
如下:
【变式训练】
在四棱柱
ABCDABCD中，底面ABCD是正方形，且BCBB12，A1ABA1AD60．
1111
（1）求证：
BDCC；
1
（2）若动点E在棱
CD上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面
11
BDB所成角的正弦值为
1
7
14
．
模板十四直线与圆的位置关系
例14【2018四川省绵阳市南山中学模拟】若圆
2244100
xyxy上至少有三个不同的点到直
线l:
axby0的距离为22，则直线l的斜率的取值范围是（）
A.23,23B.23,32
C.23,23D.23,23
【答案】B
【解析】圆
2244100
xyxy可化为
22
x2y218则圆心为（-2，2），半径为32，
13
1+
2
bb
40
aa
由直线l的斜率k=-
a
b
2+4k+1≤0解得23k23
则上式可化为k
故选B
▲模板构建几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法,
其基本步骤如下:
【变式训练】【2018北京市丰台区模拟】已知直线x2y10和圆
22
x1y1交于A,B两点，则
AB__________．
模板十五圆锥曲线中的最值与范围问题
例15【2018辽宁省凌源模拟】知椭圆
22
xy
C:
1ab0
22
ab
3
的离心率为
2
，且过点
3,
3
2
.过
椭圆C右焦点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于
Px1,y1,Qx2,y2两点，且y1y20.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点
Q与点Q关于x轴对称，且直线Q1P与x轴交于点R，求RPQ面积的最大值.
1
c
a
3
2
【解析】（I）依题意，
93
{1,
22
a4b
222
abc,
22
xy
解得a23,b3,c3，故椭圆C的方程为
123
1
；
（2）依题意，椭圆右焦点F坐标为3,0，设直线l:
xmy3m0，
14
xmy3,
直线l与椭圆C方程联立22
{
xy化简并整理得
1,
123
242630
mymy，
∴
6m3
yy,yy
122122
m4m4
，
由题设知直线
QP的方程为
1
yy
12
yyxx
11
xx
12
，
6m
令y0得
xx
1
yxxxyxymy3ymy3y
11212211221
yyyyyy
121212
2
m
434
6m
2
m4
，∴点
（当且仅当
2
m
1
9
2
m
1
即m2时等号成立）
∴RPQ的面积存在最大值，最大值为1.
▲模板构建与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主
变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件（如直线与椭圆相
交,Δ>0等）.解题步骤如下:
【变式训练】【2018·合肥市质检】已知点F为椭圆E：
22
xy
221
ab
（a>b>0）的左焦点，且两焦点与短轴的
xy
一个顶点构成一个等边三角形，直线1
与椭圆E有且仅有一个交点M.
42
15
（1）求椭圆E的方程；
xy
2＝|PA|·|PB|，
（2）设直线1
与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|42
求实数λ的取值范围．
模板十六圆锥曲线中的探索性问题
例16【2018届河南省师范大学附属中学高三8月开学】已知椭圆的右焦点为，
为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：
三角形三条高的交点）？
若存在，
求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a=
故椭圆方程为
（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心
设P（,）,Q（,）
因为M（0,1），F（1,0），故，故直线l的斜率
于是设直线l的方程为
由得
由题意知△＞0，即＜3，且
由题意应有，又
故
解得或
经检验，当时，△PQM不存在，故舍去；
当时，所求直线满足题意
综上，存在直线l，且直线l的方程为
16
▲模板构建圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点
如下:
【变式训练】【2018届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线
2
C:
y2pxp0的焦点F，斜率为
2的直线交抛物线于
Ax1,y1,Bx2,y2x1x2两点，且AB6.
（1）求该抛物线C的方程；
（2）已知抛物线上一点Mt,4，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MDME，判断直线DE是
否过定点？
并说明理由.
模板十七离散型随机变量
例17【2018辽宁省凌源市模拟】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某
机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单
车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.
（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；
（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X，求X的
分布列与数学期望.
17
▲模板构建公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条
件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:
【变式训练】某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API（AirPollutionIndex）的监测
数据，结果统计如下：
API[0,50]（50,100]（100,150]（150,200]（200,250]（250,300]大于300
中度重
空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染重度污染
污染
天数101520307612
（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面22列联表，并判断
能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
18
非重度污染重度污染合计
供暖季
非供暖季
合计100
2
P（Kk）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
0
k1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
0
2
nadbc2
附：
K
abcdacbd
（Ⅱ）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当API在区间0,100时企业正常生产；当API在
区间100,200时对企业限产30%（即关闭30%的产能），当API在区间200,300时对企业限产50%，
当API在300以上时对企业限产80%，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万
元，若以频率当概率，不考虑其他因素：
①在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过50%的恰为2天的概率；
②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值．
模板十八线性回归方程
例18【2018年理数全国卷II】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：
亿元）的
折线图．
19
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000
年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：
；根据2010年至2016
年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：
．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？
并说明理由．
【答案】
（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，
（2）利用模型②得到的预测值更可
靠．
【解析】
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.51×9=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说
明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010
年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，
这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立
的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得
到的预测值更可靠．
20
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的
增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
▲模板构建线性回归方程常用来预估某变量的值,因此选择恰当的拟合函数是解题的关键,一般解题要点
如下:
（1）作图.依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系.
（2）计算.计算出,,,xiyi的值;计算回归系数,.
（3）求方程.写出线性回归直线方程y=x+.
【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：
国务院决定设立
河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.
（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬
迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：
调查人数（x）1020304050607080
愿意整体搬迁人数
817253139475566
（y）
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程ybxa（b保留小数点后
两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；
（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取
4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人
数，求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据：
n
xynxy88
?
ii?
16310,20400
i12
b,aybxxyx
niii
22
xnx
·
i1i1
i
i1
.
21
答案部分
模板一求函数值
【变式训练】【答案】
【解析】分析：
先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解
析式求结果.
详解：
由得函数的周期为4，所以因此
模板二函数的图象
【变式训练】【答案】D
【解析】
当时，，排除A,B.,当时，,排除C
故正确答案选D.
模板三函数的零点问题
【变式训练】【答案】–3
【解析】分析：
先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性
确定函数最值，即得结果.
详解：
由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以
，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以
，
模板四三角函数的性质
【变式训练】【答案】
1
2
22
模板五三角函数的图象变换
【变式训练】【答案】C
【解析】
故选C
模板六解三角形
【变式训练】
【解析】
（1）由题意及正弦定理得
sinBsinAcosBsinBcosA3sinCcosB，
sinBsinABsinBsinC3sinCcosB，
C0,，
sinC0，
sinB3cosB，
∴tanB3．
23
∴
2220
ac，
∴
222236
acacac，
ac6，
又b23，
ABC的周长为623.
模板七利用函数性质解不等式
【变式训练】【答案】
【解析】
当时，是上的增函数，且，所以可以转化为
，结合函数的单调性，可以将不等式转化为，解得，从而得答案为.
模板八利用基本不等式求最值
【变式训练】【答案】526
【解析】由x2y2xy，得
11
x2y
1
．
∴
3x4y3x4y
11
x2y
=
4y3x
5526
．当且仅当
x2y
4y3x
x2y
且x2y2xy时等号成
升级会员 