普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解山东卷文科.docx

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普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解山东卷文科

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（文科）

一、选择题（共10小题；共50分）

1.已知集合，，则

A.B.C.D.

2.若复数满足，其中为虚数单位，则

A.B.C.D.

3.设，，，则，，的大小关系是

A.B.C.D.

4.要得到函数的图象，只需将函数的图象

A.向右平移个单位B.向右平移个单位

C.向左平移个单位D.向左平移个单位

5.设，命题''若，则方程有实根"的逆否命题是

A.若方程有实根，则

B.若方程有实根，则

C.若方程没有实根，则

D.若方程没有实根，则

6.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的天，将天中14时的气温数据（单位：

）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差；

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为

A.①③B.①④C.②③D.②④

7.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为

A.B.C.D.

8.若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为

A.B.C.D.

9.已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

A.B.C.D.

10.设函数，若，则

A.B.C.D.

二、填空题（共5小题；共25分）

11.执行如图的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值是 ．

12.若，满足约束条件则的最大值为 ．

13.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则 ．

14.定义运算“”：

．当，时，的最小值为 ．

15.过双曲线：

的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点．若点的横坐标为，则的离心率为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）

16.某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：

（单位：

人）

（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有名男同学，，，，，名女同学，，．现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求被选中且未被选中的概率．

17.中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，求和的值．

18.如图，三棱台中，，，分别为，的中点．

（1）求证：

；

（2）若，，求证：

．

19.已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

20.设函数，．已知曲线在点处的切线与直线平行．

（1）求的值；

（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根?

如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；

（3）设函数（表示，中的较小值），求的最大值．

21.平面直角坐标系中，已知椭圆：

的离心率为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆：

，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于，两点，射线交椭圆于点．

（）求的值；

（）求面积的最大值．

答案

第一部分

1.C【解析】由，，得．

2.A【解析】设，则，由，得，

所以，，所以．

3.C【解析】因为指数函数在上为减函数，

所以，即，

又，，

所以．

4.A【解析】，向右平移个单位即得．

5.D

【解析】根据逆否命题定义可得命题“若，则方程有实根”的逆否命题是“若方程没有实根，则”．

6.B【解析】由题中茎叶图，知，；

，．

所以，．

7.A【解析】由得，

所以，解得，

故事件“”发生的概率为．

8.C【解析】因为为奇函数，

所以，即，

化简可得，则，即，

所以，

所以，解得．

9.B【解析】依题意，曲面所围成的几何体为两圆锥的组合体，所求体积．

10.D

【解析】函数，若，可得，若，即，可得，解得．

若，即，可得，解得（舍去）．

第二部分

11.

【解析】模拟执行程序框图，可得，满足条件；，不满足条件，，输出的值为．

12.

【解析】画出可行域如图所示，

将目标函数化为，可知当目标函数过的交点时，有最大值．

13.

【解析】提示：

如图，可求得，．

14.

【解析】，当且仅当时，等号成立．

15.

【解析】将点横坐标代入双曲线方程中，求得，不妨设题中过右焦点且与渐近线平行的直线的斜率为，则的方程为．

将代入直线方程可得的关系，求得离心率为．

第三部分

16.

（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，

故至少参加上述一个社团的共有（人），

所以从该班随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为．

（2）从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：

，，，，，，，，，，，，，，，共个．

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．

事件“被选中且未被选中”所包含的基本率件有：

，共个．

因此被选中且未被选中的概率为．

17.在中，由，得，

因为，

所以．

因为，

所以，可得为锐角，

所以，

因此．

由，可得．

又，所以．

18.

（1）证法一：

如图，连接，，设，连接．

在三梭台中，，为的中点，可得，，

所以四边形为平行四边形，则为的中点．

又为的中点，

所以．

又，，

所以．

证法二：

在三棱台中，由，为的中点，

可得，，

所以四边形为平行四边形，可得．

在中，为的中点，为的中点，

所以．

又，

所以平面．

因为，

所以．

（2）如图，连接．

因为，分别为，的中点，

所以．

由，得．

又为的中点，

所以，，

因此四边形是平行四边形．

所以．

又，

所以．

又，，

所以．

又，

所以．

19.

（1）设数列的公差为，令，得，

所以

令，得，

所以

由得

解得，，

所以．经检验，符合题意．

（2）由

（1）知，

所以，

所以，

两式相减，得

所以．

20.

（1）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，

所以，又，

所以．

（2）时，方程在内存在唯一的根．

设，当时，，又，

所以存在时，使得．

因为，

所以当时，，当时，，

所以当时，单调递增．

所以时，方程在内存在唯一的根．

      （3）由（Ⅱ）知方程在内存在唯一的根，且时，，时，，

所以．

当时，若，；

若，由．

可知．

故．

当时，由，可得时，，单调递增；

时，，单调递减．

可知，且．

综上可得，函数的最大值为．

21.

（1）由题意知，

又，解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）由（Ⅰ）知椭圆的方程为．

（）设，，

由题意知．

因为，又，即，

所以，即．

（）设，．

将代入椭圆的方程，

可得，

由，可得

则有，．

所以．

因为直线与轴交点的坐标为，

所以的面积

设，将代入椭圆的方程，

可得，

由，可得

由可知，

因此，故，

并且仅当，即时，取得最大值，

由（）知，的面积为，

所以面积的最大值为．