精品中考数学《二十秒懂一元二次方程》决胜中考经典专题分析20.docx
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精品中考数学《二十秒懂一元二次方程》决胜中考经典专题分析20
秒懂一元二次方程
《目标分解》
1.正确理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是不是一元二次方程；
2.掌握一元二次方程的一般式
，并能够准确找到各项系数及常数项；
3.深入理解一元二次方程的解的含义，并能够应用其定义解决计算问题；
4.熟练掌握一元二次方程的各种解法，并能够选择合适的解法解一元二次方程.
（一）一元二次方程的定义：
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
注意：
判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，这里的整理是指去括号、移项、合并同类项等，然后观察整理后的方程是否具备以下三个条件：
（1）是整式方程；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2.
（二）一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c=0（a≠0）．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
注意：
（1）要确定一元二次方程的各项系数，必须先将一元二次方程化为一般形式，写项和系数时都包括它前面的符号；
（2）“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也是一元二次方程的判断标准之一，但b，c可以为0.
【典例1】.有下列关于x的方程：
①ax2＋bx＋c=0，②3x（x－4）=0，③x2＋y－3=0，④x3－3x＋8=0⑤
2－5x＋7=0，⑥（x－2）（x＋5）=x2其中是一元二次方程的有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【精准解析】解：
要想判断一个方程是不是一元二次方程，首先要做到熟记一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程；再次需要注意的是要对方程进行简单的化简整理.一元二次方程有第2和第5是正确的，共2个，故选A．
【典例2】已知：
方程（m－3）|m－1|－mx＋1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m=±3B．m=3C．m=3或m=－1D．m=－1
【答案】D
【精准分析】解：
依题意得：
|m－1|=2且m－3≠0．解得m=－1．故选：
D．我们需要熟悉掌握一元二次方程的概念，特别要注意
的条件
【典例3】已知关于x的方程（m＋2）x|m|＋2x－1=0．
（1）当m为何值时是一元一次方程；
（2）当m为何值时是一元二次方程．
【答案】解：
（1）由题意得，
|m|=1时，（m＋2）x|m|＋2x－1=0是一元一次方程；
|m|=0时，2x－1=0．是一元一次方程；
m＋2=0时，（m＋2）x|m|＋2x－1=0是一元一次方程，
∴综上可知，当m=0，±1，－2方程为一元一次方程.
（2）由题意，得|m|=2且m＋2≠0，解得m=2
∴当m=2时，（m＋2）x|m|＋2x－1=0是一元二次方程．
【精准分析】在判断一个含有字母参数的方程是什么方程时，一定要严格按照该方程的定义来判断.
【典例4】一元二次方程3x2－4=－2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．3，﹣4，﹣2B．3，﹣2，﹣4
C．3，2，﹣4D．3，﹣4，0
【答案】C
【精准分析】解：
方程整理得：
3x2＋2x－4=0，
则二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为﹣4，故选C.
【典例5】关于x的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）=5a的一次项系数是（ ）
A．8aB．－8aC．2aD．7a－9
【答案】C
【精准解析】解：
∵（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）=5a，
∴9－x2－2ax－2a=5a，
∴x2＋2ax＋7a－9=0，∴一次项系数是：
2a故选：
C．
在利用一元二次方程的一般式判断二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要先将已知的一元二次方程化简后再进行判断，同时要注意其前面的符号.
（三），一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
【批注】判断一个未知数的值是不是一元二次方程的根，只需把这个值代入一元二次方程的左右两边，看方程的左右两边是否相等即可．
【典例6】，如果2是方程x2－3x＋k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【答案】B
【精准分析】解：
∵2是一元二次方程x2－3x＋k=0的一个根，
∴22－3
＋k=0，解得k=2．故选：
B．
【典例7】，关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2－1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．
【答案】B
【精准分析】解：
根据题意得：
a2－1=0且a－1≠0
解得：
a≠1故选B．已知一个数是方程的解，只需将这个数代入到方程中得到一个等式即可.
【典例8】，已知m是一元二次方程x2－5x－2=0的一个实数根，则
2014－m2＋5m的值是（ ）
A．2011B．2012C．2013D．2014
【答案】B
【精准分析】解：
∵m是一元二次方程x2－5x－2=0的一个实数根，
∴m2－5m=2，∴2014－m2＋5m=2014－（m2－5m）=2014－2=2012
故选：
B．
【典例9】m是方程x2＋x－1=0的根，则式子2m2＋2m＋2015的值为（ ）
A．2013B．2016C．2017D．2018
【答案】C
【精准分析】解：
∵m是方程x2＋x－1=0的根，∴m2＋m－1=0，即m2＋m=1
∴2m2＋2m＋2015=2（m2＋m）＋2015=2＋2015=2017
故选C．已知一个字母是某一种方程的解，常出现的另外一种考查方式就是整体代换思想的应用，与上一种类型不同的点在于，此类题型无法解出字母的具体值，只能以整体的形式进行代换求解.
《四》一元二次方程的解法
一、用直接开平方法解一元二次方程
1、概念：
利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
2、形式识别：
（1）形如x2=p的方程，
①当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1=
，x2=－
②当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0
③当p＜0时，方程无实数根．
（2）形如（x＋n）2=p的方程，
①当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1=
，x2=－n＋
；
②当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=－n；
③当p＜0时，方程无实数根．
注意：
有些方程不是标准的上述两种形式，但是经过简单的化简后能够变成上述两种形式，也是可以选用直接开平方法求解的.
二、用配方法解一元二次方程
1、概念：
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2、利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）一移：
把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二除：
方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；
（3）三配方：
方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程左边配成一个完全平方式，右边是一个常数；
（4）四开方：
如果方程的右边是一个非负数，就用直接开平方法求出它的解；如果方程的右边是一个负数，那么方程无解．
三、用公式法解一元二次方程
1、概念：
当b2－4ac≥0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程的求ax2＋bx＋c=0根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法，叫做公式法．
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c=0；
（2）正确确定出a，b，c的值；
（3）求出b2－4ac的值；
（4）若b2－4ac≥0，则方程有实数根，代入公式
求解；若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
四、用因式分解法解一元二次方程
1．因式分解法解一元二次方程的理论依据
如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．即如果a.b=0，那么a=o或b=0．
2．因式分解法的概念
先通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
3．因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）将方程的右边化为0；
（2）将方程的左边化为两个一次因式的积；
（3）令每个因式都等于0；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
五、一元二次方程解法的选择
解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法求解，这样不仅可以减少计算量，而且能够降低计算出错的风险．
（1）一般地，若方程的左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式时，宜采用直接开平方法；
（2）将方程的一边化为0，方程的另一边易于分解因式时，可采用因式分解法；
（3）当两种方法都不行时，可以考虑用公式法或配方法．
【典例10】一元二次方程x2－16=0的根是（ ）
A．x=2B．x=4C．x1=2，x2=－2
D．x1=4，x2=－4
【答案】D
【精准分析】解：
x2－16=0，∴x2=16，即x1=4，x2=－4，故选：
D．
【典例11】一元二次方程（x＋6）2－9=0的解是（ ）
A．x1=6，x2=－6B．x1=x2=－6
C．x1=－3，x2=－9D．x1=3，x2=－9
【答案】C
【精准分析】解：
（x＋6）2=9
，∴x＋6=±3，
∴x1=－3，x2=－9故选：
C．
【典例12】解方程：
4（x＋3）2=25（x－2）2．
【答案】解：
4（x＋3）2=25（x－2）2
开方得：
4（x＋3）=±5（x－2），
解得：
x1=
，x2=
【精准分析】如果一个一元二次方程能化成左右两边都可开平方的形式，即可考虑用直接开平方法进行求解
当使用直接开平方法对含字母的方程求解时，在开方之前一定要先判断字母的符号，即判断是否能开方，理论依据是非负数才有平方根，如果无法判断是否能开方，则一定要分类讨论.
【典例13】若方程25x2－（k－1）x＋1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（ ）
A．﹣9或11B．﹣7或8C．﹣8或9D．﹣6或7
【答案】A
【精准分析】解：
根据题意知，－（k－1）=±2
5
1
∴k－1=±10，即k－1=10或k－1=－10，得k=11或k=9
故选A．
【典例14】若关于x的二次三项式x2－ax＋2a－3是一个完全平方式，则a的值为（）
A．－2B．－4C．－6D．2或6
【答案】∵x2－ax＋2a－3是一个完全平方式，
∴2a－3=（
）2，整理可得a2－8a＋2a＋12=0
配方得a2－8a＋16=－12＋16，即（a－4）2=4，
∴a=2或a=6
【精准分析】代数式的二次项系数是1的前提下，若这个代数式是完全平方式，说明它的常数项是一次项系数一半的平方；接下来计算即可得到结果.
【典例15】用配方法解方程：
x2－x=3x＋5
【答案】解：
原方程整理得：
x2－4x=5，
∴x2－4x＋4=5＋4，即（x－2）2=9，
∴x－2=3或x－2=－3，
解得：
x=5或x=－1
【精准分析】已知的方程不是一个一元二次方程的标准式，在用配方法解该一元二次方程时要将所有的含有字母的项移到方程的左边，将常数项移到方程的右边，再进行配方.
【典例16】用公式法解下列方程：
2x2＋8x－1=0
【答案】解：
（1）a=2，b=8，c=－1
b2－4ac=64－4
2
（－1）=72＞0，
代入公式
，得
，
.
【精准分析】公式法是解一元二次方程的通用方法，在用公式法求解一元二次方程时，首先要将一元二次方程化成一般式后再去确定a，b，c的值，然后再去判断其判别式，从而判断该一元二次方程是否有解，然后再代入到求根公式中求解.
【典例17】用因式分解法解方程：
y2＋7y＋6=0；
【答案】解：
（1）方程可变形为（y＋6）（y＋1）=0，
∴y＋6=0或y＋1=0，
∴y1=－1，y2=－6．
【解析】
（1）直接用十字相乘法分解因式即可。
选择合适的方法分解因式.
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