公园内道路设计问题.docx
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公园内道路设计问题
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
西安培华学院
参赛队员（打印并签名）：
1.胡斌斌
2.罗丹
3.白桂兴
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
李艳
日期：
2012年8月11日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
公园内道路设计问题
摘要
最短路问题是现实生活中常见的问题，在商业利润估算、生产生活、运输路线选择等方面都有重要意义。
本文讨论的是公园道路最优设计问题:
在满足任意两入口之间最短道路长不大于两点连线的1.4倍的条件下，建立相应最短道路模型，使得修建总道路长度最短。
又因公园边界已经存在修建好的道路，且不计入修建总总长度，所以应尽量利用边界道路。
对于问题一，首先：
利用1.4倍的约束条件排除可利用边界的入口点，选出需要通过交叉点设计路线的入口点。
然后：
依据Kruskal算法，构造最小生成树。
最后：
运用MATLAB软件编程，在满足要求的情况下，得到最优道路设计方案。
使得公园新修路的总路程最小为394.5596米。
对于问题二，首先：
取问题一中不可利用边界的入口点，分析出满足条件下的可行最短路线。
然后：
引入费马点，确定费马点个数，运用LINGO和MATLAB分别求解费马点坐标。
最后：
运用费马点优化可行最短路线，在满足要求的情况下，得到最优道路设计方案。
使得公园新修路的总路程最小为358.4320米。
对于问题三，首先：
取问题二的最优道路设计方案，添加一矩形人工湖。
针对人工湖对路线的破坏段进行局部优化。
然后：
给出2个可行局部优化方案，对局部区域分别引入费马点，运用LINGO和MATLAB分别求解费马点坐标。
最后：
运用费马点优化可行方案，分别得到2个方案的最优道路设计方案。
对比2个方案，得到最优的道路设计方案。
使得公园新修路的总路程最小为360.5758米。
关键词：
Kruskal算法最小生成树费马点MATLABLINGO
一、问题重述
1.1、问题背景
西安某大学计划建一个形状为矩形或其他不规则图形的公园，不仅为了美化校园环境，也是想为其学生提供更好的生活条件。
要求：
公园计划有若干个入口，需建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连（可以利用公园的边，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长），使总的道路长度和最小，且任意两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。
题目已知：
矩形公园的长为200米，宽为100米，1至8各入口的坐标分别为：
P1（20，0）,P2（50，0）,P3（160，0）,P4（200，50）,P5（120，100）,P6（35，100）,P7（10，100）,P8（0，25），见图1。
（附录一.Fun1）。
（图1）
1.2、需要解决的问题
问题一：
假定公园内确定要使用4个道路交叉点为：
a（50，70）,b（40，40）,c（120，40）,d（115，70），见图2（附录一.Fun2）。
问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。
建立模型并给出算法，画出道路设计，计算新修路的总工程。
（图2）
问题二：
现在公园内可以任意修建道路，如何在满足条件下使总路程最少。
建立模型并给出算法，画出道路设计和道路交叉点的坐标，计算新修路的总工程。
问题三：
若公园内有一条矩形的湖，新修的路不能通过，但可以到达湖四周的边，已知矩形的湖为R1（140,70）,R2（140，45）,R3（165，45）,R4（165，70），见图3（附录六.Fun1）。
重复完成问题二的任务。
（图3）
注：
以上问题中都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通，而不能连接到四周的其它点。
二、问题分析
2.1、问题一的分析
先计算出“8个入口点两两之间的直线距离”，然后计算出“8个入口点两两之间的边界路径距离”。
“8个入口点两两之间的边界路径距离÷8个入口点两两之间的直线距离≤1.4”---不需要通过交叉点设计路线。
“8个入口点两两之间的边界路径距离÷8个入口点两两之间的直线距离>1.4”---需要通过交叉点设计路线。
表2.1-1入口点两两之间的直线距离表
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P1
0
30
140
186.8
141.4
101.1
100.5
32
P2
0
110
158.1
122.1
101.1
107.7
55.9
P3
0
64
107.7
160.1
180.3
161.9
P4
0
94.3
172.4
196.5
201.6
P5
0
85
110
141.5
P6
0
25
82.8
P7
0
75.7
P8
0
表2.2-2入口点两两之间的边界路径距离表
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P1
0
P2
30
0
P3
140
110
0
P4
230
200
90
0
P5
360
330
220
130
0
P6
155
185
295
215
85
0
P7
130
160
270
240
110
25
0
P8
45
75
185
275
195
105
85
0
通过计算：
“P1—P5、P1—P6、P1—P8、P2—P5、P2—P6、P2—P7、P3—P4、P3—P5、P3—P6、P3—P7”需要通过交叉点设计路线。
2.2、问题二的分析
在本问题中，设计原则：
尽可能地利用好公园的边界，不能利用边界的再采取内部新修路的方式。
在第一个问题中，已经知道“P1—P5、P1—P6、P1—P8、P2—P5、P2—P6、P2—P7、P3—P4、P3—P5、P3—P6、P3—P7”需要通过交叉点设计路线。
因此，将上述两点之间用直线相连，得到图像如下图2.2-1所示。
（附录四.Fun1）
（图2.2-1）
图2.2-1中线段长度，如下表2.2-1所示：
两点间直线段
长度
P1-P5
141.4214
P1-P6
101.1187
P1-P8
32.0156
P2-P5
122.0656
P2-P6
101.1187
P2-P7
107.7033
P3-P4
64.0312
P3-P5
107.7033
P3-P6
160.0781
P3-P7
180.2776
在图2.2-1中寻找“P1—P5、P1—P6、P1—P8、P2—P5、P2—P6、P2—P7、P3—P4、P3—P5、P3—P6、P3—P7”的最短路径（可利用边界）。
最短路径需满足：
入口点两两之间的最短路径距离÷入口点两两之间的直线距离≤1.4
通过逐步检验分析可知“P1-P8、P2-P5、P2-P6、P3-P4、P3-P5”满足要求，故简化为下图2.2-2.（附录四.Fun2）
（图2.2-2）
再通过交叉点设计“P1-P8、P2-P5、P2-P6、P3-P4、P3-P5”的最短路径。
2.3、问题三的分析
本问题中，设计原则：
在问题二设计的路线的基础上，公园内部新加入一人工湖，见图2.3-1（附录六.Fun2），故对原设计的方案进行局部优化。
（图2.3-1）
可知：
由于加入了人工湖，原方案中的P5-Q1路线将不再可行。
故：
我们只需修改P5-Q1路线，对Q2所在的区域路线进行局部优化。
修改P5-Q1路线，对Q2区域局部优化方案：
方案一：
连接P5-R4，求△R4P4P3的费马点，设计最短路径。
方案二：
连接P5-R2，求△R2P4P3的费马点，设计最短路径。
方案三：
连接P5-R1，求△R1P4P3的费马点，设计最短路径。
方案四：
连接P5-R3，求△R3P4P3的费马点，设计最短路径。
方案分析：
我们可以发现方案三、四将需要人工湖中有路段通过，这与题目不符。
故：
可实行的方案只有方案一、二.
三、模型假设
1、假设公园四周已修建好道路，且该道路不计如新修路总长。
2、根据距离模型可知距离与入口大小无关，故可将各入口均视为点。
3、假设所有点之间修建道路均为直线；交叉点不影响道路的修建。
4、公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通，而不能连接到四周的其他点。
5、除题目要求外，道路规划不考虑任何其他客观因素。
4、符号说明
P1P2P3P4P5P6P7P8
入口点
abcd
交叉点
R1R2R3R4
人工湖顶点
Qi（xi,yi）
三角形费马点
Si
费马点到三角形3个顶点的距离和
Dij
i到j的路程
SS'S"
新修路的总路程
L'L"
新修路的总路程
五、模型的建立与求解
5.1、模型一的建立与求解
针对P1、P2、……、P8及公园4个固定道路交叉点a、b、c、d，求出这12个点两两之间的直线距离，如下表5.1-1所示：
表5.1-1（distance.xls）入口点及道路交叉点两两之间的直线距离表（小数部分已做处理）
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
a
b
c
d
P1
0
30
140
187
141
101
100
32
81
45
108
118
P2
30
0
110
158
122
101
108
56
75
41
81
96
P3
140
110
0
64
108
160
180
162
133
126
57
83
P4
187
158
64
0
94
172
196
202
152
160
81
87
P5
141
122
108
94
0
85
110
142
74
100
60
30
P6
101
101
160
172
85
0
25
83
29
60
104
85
P7
100
108
180
196
110
25
0
76
47
67
125
109
P8
32
56
162
202
142
83
76
0
71
43
121
123
a
81
75
133
152
74
29
47
71
0
36
78
65
b
45
41
126
160
100
60
67
43
36
0
80
81
c
108
81
57
81
60
104
125
121
78
80
0
30
d
118
96
83
87
30
85
109
123
65
81
30
0
以表5.1-1所示的矩阵为公园道路设计连通图的邻接矩阵。
根据Kruskal算法，运用matlab软件编程。
（附录二）
MATLAB运行后的结果如下表5.1-2所示：
表5.1-2Kruskal算法的程序运行结果表
25
29
30
30
30
32
36
41
57
64
65
6
6
1
5
11
1
9
2
3
3
9
7
9
2
12
12
8
10
10
11
4
12
由表5.1-2的结果可画出最小生成树如下图5.1-1所示。
（附录一.Fun3）
（图5.1-1）
针对“P1—P5、P1—P6、P1—P8、P2—P5、P2—P6、P2—P7、P3—P4、P3—P5、P3—P6、P3—P7”需要通过交叉点设计路线，故在上述最小生成树图内，求这些点间的最短路径、最短路径长度、最短路径长度/两点间直线距离。
（附录三）
MATLAB运行后的结果如下表5.1-3所示：
表5.1-3通过交叉点最短路径表
点
最短路径
最短路径长度
最短路径/两点间的直线距离
P1-P5
203.2374
1.4371
P1-P6
136.7864
1.3527
P1-P8
32.0156
1
P2-P5
173.2374
1.4192
P2-P6
106.7864
1.0560
P2-P7
131.7864
1.2236
P3-P4
64.0312
1
P3-P5
117.3961
1.0900
P3-P6
181.3291
1.1328
P3-P7
206.3291
1.1445
由表5.1-3可知：
“P1-P5”、“P2-P5”的“最短路径/两点间的直线距离>1.4”。
故通过逐步分析比较发现，可以改变a—d这条路径来调整路径P1-P5和P2-P5。
调整后的最终方案如下图5.1-2所示。
（附录一.Fun4）
（图5.1-2）
经数据检验：
（任意）两点之间的最短路径÷两点间的直线距离≤1.4
■结果：
新修路的总路程S:
S=D18+D2b+Dba+Da6+Da5+D5d+Ddc+Dc3+D34
=32.0156+41.2311+36.4005+29.1548+74.3303+30.4138+30.4138+56.5685+64.0312
=394.5596（米）
5.2、模型二的建立与求解
5.2.1、引入费马点：
费马点性质：
在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
费马点定义：
（1）若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么费马点即为三角形三个内角角平分线交点。
（2）若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是费马点。
5.2.2、引用费马点：
为引用费马点将图2.2-2中P4、P5用虚线连接，如图2.2-1所示.（附录四.Fun3）
（图2.2-1）
可知：
△P2P6P5和△P3P4P5的3个内角均小于120°，
故：
△P2P6P5和△P3P4P5的费马点
，即为其三个内角角平分线交点。
5.2.3、求解费马点：
建立
的非线性规划模型：
非线性规划模型：
非线性规划模型：
运用LINGO和MATLAB分别求解
：
（1）LINGO求解结果：
（附录五.Fun1）
值：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
175.7767
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
5
Totalsolveriterations:
75
VariableValueReducedCost
X162.333730.000000
Y177.864940.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1175.7767-1.000000
2480.26940.000000
3421.71720.000000
422.135060.000000
值：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
150.6397
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
5
Totalsolveriterations:
74
VariableValueReducedCost
X2173.09800.000000
Y243.643280.6062958E-08
RowSlackorSurplusDualPrice
1150.6397-1.000000
2109.08300.000000
3185.36370.000000
4152.77670.000000
结果：
；
（2）MATLAB求解结果：
（附录五.Fun2）
结果：
；
5.2.3、运用费马点：
根据
做为交叉点设计路线，如下图2.3-1所示。
（附录四.Fun4）
（图2.3-1）
调整后的最终方案如下图2.3-2所示。
（附录四.Fun5）
（图2.3-2）
■结果：
新修路的总路程S′=S1+S2+D18
=175.7767+150.6397+32.0156
=358.4320（米）
5.3、模型三的建立与求解
5.3.1、求解方案
方案一：
在△R4P4P3中，设其费马点为
。
非线性规划模型：
方案二：
在△R2P4P3中，设其费马点为
。
非线性规划模型：
运用LINGO和MATLAB分别求解
：
LINGO求解结果：
（附录七.Fun1）
值：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
98.70020
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
2
Totalsolveriterations:
30
VariableValueReducedCost
X3181.14220.000000
Y347.949380.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
198.70020-1.000000
286.086640.000000
3248.04110.000000
489.785650.000000
值：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
99.62300
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
5
Totalsolveriterations:
90
VariableValueReducedCost
X4161.75190.000000
Y430.731960.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
199.62300-1.000000
2114.16840.000000
3138.69490.000000
4192.96840.000000
结果：
；
MATLAB求解结果：
（附录七.Fun2）
结果：
；
5.3.2方案设计图
根据
分别设计方案一、方案二路线：
方案一设计图：
见图3.2-1（附录六.Fun3）
（图3.2-1）
新修路的总路程L'=D18+S1+D（P5→R4）+S3
=32.0156+175.7767+54.0833+98.7002
=360.5758（米）
方案二设计图：
见图3.2-2（附录六.Fun4）
（图3.2-2）
新修路的总路程L"=D18+S1+D（P5→R2）+S4
=32.0156+175.7767+58.5235+99.6230
=365.9388（米）
5.3.3方案结果分析
经分析：
方案一、方案二均满足条件：
入口点两两之间的最短路径距离÷入口点两两之间的直线距离≤1.4
新修建的道路不可通过人工湖，但可到达湖四周的边界。
由于L'（图3.3-1）
新修路的总路程S'=D18+S1+D（P5→R4）+S3
=32.0156+175.7767+54.0833+98.7002
=360.5758（米）
六、模型评价与推广
6.1模型优点
1、利用Kruskal算法建立最小生成树模型，使模型简单便于求解。
2、相对于整体考虑问题所带来的难度来说，进行局部之间的交替优化可简化问题。
3、引入了费马点，利用费马点对图形进行优化，使模型求解更加简单。
4、运用LONGO和MATLAB分别求解，使得结果更具有说服性。
6.2模型缺点
1、仅讨论了两个道路交叉点的情况，没有在结果上再进行进一步的讨论。
2、模型是基于多种假设所建立的，和实际情况还有一些差距。
6.3模型推广
本文主要讨论的是公园内部道路建设问题，但我们使用的方法适用于大部分的最短路问题，包括网络的布局、城市道路及修建、公共场所的修建等问题。
该模型对节约社会资源，方便人们活动等各个方面的问题有重大意义。
7、参考文献
【1】姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）北京高等教育出版社
【2】赵静，但琦.数学模型与数学实验（第三版）北京高等教育出版社
【3】王文波.数学建模及基础知识详解武汉大学出版社
【4】赵继俊.优化技术与Matlab优化工具箱机械工业出版社
【5】韩中庚.数学建模方法及其应用高等教育出版社
【6】费马.费马点定义、判定XX百科
八、附录
附录一：
Fun1：
plot（0:
20:
200,0:
10:
100,'w'）
x=[205016020012035100];
y=[0005010010010025];
holdon
plot（x,y,'r*','linew
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