数列求和7种方法.docx
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数列求和7种方法
1、
2、
3、
5、
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
n（a1an）“n（n-1）na1d2
等差数列求和公式:
等比数列求和公式:
Sn
Sn
」n（n1）2
n
Sn八k3
k4
=y（1-qn）
1-q
a1—■anq
1-q
（q=1）
4、&八k2二1n（n1）（2n1）612灯n+1）］［例1］已知log3x
-^―，求xx2x^■…的前
n项和.
log23解：
由log3x-1=logsx=-log32=log23
由等比数列求和公式得
Sn=xx2
x3
（利用常用公式）
［例2］设Sn=1+2+3+…+n,n€N，求f（n）
解:
由等差数列求和公式得
Sn
题1.等比数列
Sn
f（n）,n32）Sn1x（1xn）1-x
Sn
11
2（1-班）_1丄
J_-歹
2
（n32）Sn1
的最大值.
1=-（n1）（n2）2
（利用常用公式）
2
n34n6411..1
=冬
n3464（、n--8）25050nIn—8
、n——，即n=8时，f（n）
（8
1
max
丄；■■的前n项和Sn=2n-1,贝y■-V'
+…+a
g-1）«*（2n-1）_-3w"+
解：
原式=.L
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛an•bn｝的前n
项和，其中｛an｝、｛bn｝分别是等差数列和等比数列.
［例3］求和：
&=13x5x27x3（2n-1）xnJ①
｝的通项之积
解：
由题可知，｛（2n-1）xnd｝的通项是等差数列｛2n—1｝的通项与等比数列｛xn_1
设xSn=1x3x25x37x4宀：
（2n
（1-x）2
c（2n-1）xn—（2n1）xn（1x）
Sn口
246
［例4］求数列一，2，亍厂
22223
Qn｛乍｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛
22223
解：
由题可知,
2｝的通项之积
2
设Sn
2Sn
…自
2n
二
2门1
22亠232n
2“1
一亠』•.
222324
122
①一②得（1一）Sn=2
2222
=2吵
_nJl-1
练习题1已知，求数列｛an｝
S二於…2心二
答案：
■r
2422n2n2n1
（设制错位）
（错位相减）
的前n项和Sn.
加2九2"+1
1352^-1
■■''■■'・'■■■
练习题2JJ"--'的前n项和为
S*=3一攀
答案：
I
三、反序相加法求和
，再把它与原
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）
数列相加，就可以得到n个（a1an）.
［例5］求证：
C03C：
5C；（2n1）C：
二（n1）2n
证明：
设Sn=C03C；■5C2-■■（2n・1）C：
•①
把①式右边倒转过来得
（反序）
Sn=（2n1）C：
（2n-1）C：
「3C：
C；
又由C；=C；^可得
Sn-（2n1）C0（2n-1）C：
3C：
」-c；..……②
（反序相加）
①+②得2S；=（2n+2）（C0+C；十…+C：
」+c；n）=2（n+1）2；
S；=（n1）2n
［例6］求sin1sin2sinsin88sin89的值
2Q2Q202。
2。
解：
设S=sin1+sin2+sin3+■■+sin88+sin89①
将①式右边反序得
（反序）
202。
202020
S=sin89sin8^sin3sin2sin1.②
22
（反序相加）
又因为sinx=cos（90—x）,sinxcosx=1
①+②得
nOnOn-Qn-QnOnO
2S二（sin1cos1）（sin2cos2）--（sin89cos89）=89
S=44.5
题1已知函数
（1）证明：
「―」I
（2）
110丿
—+/77+「+/
2?
io丿的值.
解：
（i）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
【9〕
（5\
+/
+/
二…二/—
+/
而
而
，、帀
UoJ
（2）利用第
（1）小题已经证明的结论可知,
/QX
则2+/
11U丿
两式相加得:
£二？
所以…
练习、求值:
1（?
17+*
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可
111
［例7］求数列的前n项和：
11,4,-y•7,…；u•3n-2,…
aaa
111
解：
设Sn=（11）（4）（27）爲…3n-2）
aaa
将其每一项拆开再重新组合得
11
三—^j）（147-…嚣3n_2）
a
±（3n—1）n（3n+1）n
二n=
22
1-丄—
an+（3nT）na_a+（3n_1）n
1_12—a-12
a
［例8］求数列｛n（n+1）（2n+1）｝的前n项和.
1
Sn=（1-
a
当a=1时,
（分组）
Sn
解：
设ak二k（k1）（2k1）二2k3kk
（分组求和）
（分组）
（分组求和）
32
•••Sn八k（k1）（2k1）八（2k3kk）
k4k4
将其每一项拆开再重新组合得
nnn
Sn=2k33、k2、k
k4kAk4
=2（1323亠亠n3）3（1222亠亠n2）（12亠亠n）
22
n（n1）n（n1）（2n1）n（n1）
222n（n1）2（n2）
2
五、裂项法求和
（裂项）
解：
设an
（裂项求和）
111
贝VSn=+―=十…，+_
1+J2丘七V3亦+Jn+1
=（.2-.1）（.3-、、2）〈n1-n）
=.、n1-1
[例10]
在数列｛an｝中,
an
12
——++
n1
n+—
n
，又bn
anan1
解:
，求数列｛bn｝的前n项的和.
an
•••bn
Sn
n1
11-8（--—）
nn1
（裂项）
数列｛bn｝的前n项和
11
11111皿（1一2）（厂3）（3蔦）
（裂项求和）
8n
=8（1
[例11]
求证:
+
cos0cos1cos1cos2
解:
设S-
cos0cos1cos1cos2
cos1
2
cos88cos89sin1
cos88cos89
sin1
tan（n1）-tann
cosncos（n1）
（裂项）
111
•S1一一（裂项求和）
cos0cos1cos1cos2cos88cos89
1■■■■■■■■={（tan1-tanO）（tan2-tan1）（tan3-tan2）[tan89-tan88]}sin1
11cos1
=（tan89-tanO）=cot1=2~
sin1sin1sin1
•原等式成立
111
练习题1.^4+4x7++⑶-2）心+1）
++++
练习题2。
，：
r"/:
=
答案:
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
［例12］求cos1°+cos2°+cos3°+•…+cos178°+cos179°的值.
解：
设Sn=cosl°+cos2°+cos3°+•••+cos178°+cos179°
•••cosn二-cos（180-n）（找特殊性质项）
•••Sn=（cosl°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+•••
+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）
=0
［例13］数列{an}:
a=1,a2=3,a3=2,an2二a*1-a*,求S2002.
解：
设S2002=a*i'a2a^'a2002
由ai-1,a2-3,a3=2,an2~and_an可得
a^=-1,a5=-3,a^=-2,
a7~1,a8=3
a9=2,
a6k1-1,a6k2-3,a6k3-2,4=〜1,a6k5-_3,6=~2
a6k1■a6k2■a6k3'Osk.4'a6k5a6k0（找特殊性质项）
•-S2002=a1a2a3丁…-a2002（合并求和）
=佝a?
a?
as）@7a$%）@6k1ask2asks）
+…（a1993*Q994+，'a1998）+a1999+a2000*a2001*a2002
=a1999a2000a2001a2002
=a6k1a6k2a6k3°6k4
=5
解：
设SnnlogsdIog3a2亠Tog3a10
由等比数列的性质m•n二p•q=aman二apaq（找特殊性质项）
和对数的运算性质logaMlogaN=logaMN得
Sn=（log3ailog3aio）（log3a2log?
a?
）-「（logsa§log3a6）（合并求和）
=（logsaiaio）（logsa2a?
）-「「（logsasa6）
=log39log39亠Tog39
=io
练习、求和:
练习题i设巳-U」+…-［匚二*则r=
练习题2.若Sn=i-2+3-4+…+（-i）n-in，则Si7+S33+s50等于（）
A.iB.-iC.0D.2
为奇）
4
为偶）
解：
对前n项和要分奇偶分别解决，即：
Sn=L2答案：
A
练习题3i002-992+982-972+…+22-i2的值是
A.5000B.5050C.i0i00D.20200
解：
并项求和，每两项合并，原式=（i00+99）+（98+97）+…+（2+i）=5050.答案：
B
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法
11
解：
由于11119999（10k-1）
一；个厂9一7个T9
•••111111X11
n个1
1111
=—（101-1）—（102-1）—（103-1）（10n-1）
（找通项及特征）
（分组求和）
9999
=9（10110210_初
丄（11「1）
9n个1
10（10n-1）n
10—19
（找通项及特征）
1
•'（n1）（an-an」=4、（「
n壬nTn2
—8[（n2）（n4）（n3）（n4）]
2.设二次方程anx-an+ix+1=0（n€N）有两根a和B,且满足6a-2a3+63=3.
（1）试用an表示an1;
⑵求证：
数列心「|｝是等比数列；
7**
⑶当幻二冷时，求数列｛%｝的通项公式.
3•数列a冲，印=8月4=2且满足an2=2an^ann・N⑴求数列；an?
的通项公式；
⑵设Sn=|印I&|Jan|，求Sn；说明：
本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。
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