数列求和7种方法.docx
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数列求和7种方法
1、
2、
3、
5、
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
n(a1an)“n(n-1)na1d2
等差数列求和公式:
等比数列求和公式:
Sn
Sn
」n(n1)2
n
Sn八k3
k4
=y(1-qn)
1-q
a1—■anq
1-q
(q=1)
4、&八k2二1n(n1)(2n1)612灯n+1)][例1]已知log3x
-^―,求xx2x^■…的前
n项和.
log23解:
由log3x-1=logsx=-log32=log23
由等比数列求和公式得
Sn=xx2
x3
(利用常用公式)
[例2]设Sn=1+2+3+…+n,n€N,求f(n)
解:
由等差数列求和公式得
Sn
题1.等比数列
Sn
f(n),n32)Sn1x(1xn)1-x
Sn
11
2(1-班)_1丄
J_-歹
2
(n32)Sn1
的最大值.
1=-(n1)(n2)2
(利用常用公式)
2
n34n6411..1
=冬
n3464(、n--8)25050nIn—8
、n——,即n=8时,f(n)
(8
1
max
丄;■■的前n项和Sn=2n-1,贝y■-V'
+…+a
g-1)«*(2n-1)_-3w"+
解:
原式=.L
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an•bn}的前n
项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和:
&=13x5x27x3(2n-1)xnJ①
}的通项之积
解:
由题可知,{(2n-1)xnd}的通项是等差数列{2n—1}的通项与等比数列{xn_1
设xSn=1x3x25x37x4宀:
(2n
(1-x)2
c(2n-1)xn—(2n1)xn(1x)
Sn口
246
[例4]求数列一,2,亍厂
22223
Qn{乍}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
22223
解:
由题可知,
2}的通项之积
2
设Sn
2Sn
…自
2n
二
2门1
22亠232n
2“1
一亠』•.
222324
122
①一②得(1一)Sn=2
2222
=2吵
_nJl-1
练习题1已知,求数列{an}
S二於…2心二
答案:
■r
2422n2n2n1
(设制错位)
(错位相减)
的前n项和Sn.
加2九2"+1
1352^-1
■■''■■'・'■■■
练习题2JJ"--'的前n项和为
S*=3一攀
答案:
I
三、反序相加法求和
,再把它与原
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序)
数列相加,就可以得到n个(a1an).
[例5]求证:
C03C:
5C;(2n1)C:
二(n1)2n
证明:
设Sn=C03C;■5C2-■■(2n・1)C:
•①
把①式右边倒转过来得
(反序)
Sn=(2n1)C:
(2n-1)C:
「3C:
C;
又由C;=C;^可得
Sn-(2n1)C0(2n-1)C:
3C:
」-c;..……②
(反序相加)
①+②得2S;=(2n+2)(C0+C;十…+C:
」+c;n)=2(n+1)2;
S;=(n1)2n
[例6]求sin1sin2sinsin88sin89的值
2Q2Q202。
2。
解:
设S=sin1+sin2+sin3+■■+sin88+sin89①
将①式右边反序得
(反序)
202。
202020
S=sin89sin8^sin3sin2sin1.②
22
(反序相加)
又因为sinx=cos(90—x),sinxcosx=1
①+②得
nOnOn-Qn-QnOnO
2S二(sin1cos1)(sin2cos2)--(sin89cos89)=89
S=44.5
题1已知函数
(1)证明:
「―」I
(2)
110丿
—+/77+「+/
2?
io丿的值.
解:
(i)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边
【9〕
(5\
+/
+/
二…二/—
+/
而
而
,、帀
UoJ
(2)利用第
(1)小题已经证明的结论可知,
/QX
则2+/
11U丿
两式相加得:
£二?
所以…
练习、求值:
1(?
17+*
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或
常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可
111
[例7]求数列的前n项和:
11,4,-y•7,…;u•3n-2,…
aaa
111
解:
设Sn=(11)(4)(27)爲…3n-2)
aaa
将其每一项拆开再重新组合得
11
三—^j)(147-…嚣3n_2)
a
±(3n—1)n(3n+1)n
二n=
22
1-丄—
an+(3nT)na_a+(3n_1)n
1_12—a-12
a
[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
1
Sn=(1-
a
当a=1时,
(分组)
Sn
解:
设ak二k(k1)(2k1)二2k3kk
(分组求和)
(分组)
(分组求和)
32
•••Sn八k(k1)(2k1)八(2k3kk)
k4k4
将其每一项拆开再重新组合得
nnn
Sn=2k33、k2、k
k4kAk4
=2(1323亠亠n3)3(1222亠亠n2)(12亠亠n)
22
n(n1)n(n1)(2n1)n(n1)
222n(n1)2(n2)
2
五、裂项法求和
(裂项)
解:
设an
(裂项求和)
111
贝VSn=+―=十…,+_
1+J2丘七V3亦+Jn+1
=(.2-.1)(.3-、、2)〈n1-n)
=.、n1-1
[例10]
在数列{an}中,
an
12
——++
n1
n+—
n
,又bn
anan1
解:
,求数列{bn}的前n项的和.
an
•••bn
Sn
n1
11-8(--—)
nn1
(裂项)
数列{bn}的前n项和
11
11111皿(1一2)(厂3)(3蔦)
(裂项求和)
8n
=8(1
[例11]
求证:
+
cos0cos1cos1cos2
解:
设S-
cos0cos1cos1cos2
cos1
2
cos88cos89sin1
cos88cos89
sin1
tan(n1)-tann
cosncos(n1)
(裂项)
111
•S1一一(裂项求和)
cos0cos1cos1cos2cos88cos89
1■■■■■■■■={(tan1-tanO)(tan2-tan1)(tan3-tan2)[tan89-tan88]}sin1
11cos1
=(tan89-tanO)=cot1=2~
sin1sin1sin1
•原等式成立
111
练习题1.^4+4x7++⑶-2)心+1)
++++
练习题2。
,:
r"/:
=
答案:
六、分段求和法(合并法求和)
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.
[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+•…+cos178°+cos179°的值.
解:
设Sn=cosl°+cos2°+cos3°+•••+cos178°+cos179°
•••cosn二-cos(180-n)(找特殊性质项)
•••Sn=(cosl°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+•••
+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)
=0
[例13]数列{an}:
a=1,a2=3,a3=2,an2二a*1-a*,求S2002.
解:
设S2002=a*i'a2a^'a2002
由ai-1,a2-3,a3=2,an2~and_an可得
a^=-1,a5=-3,a^=-2,
a7~1,a8=3
a9=2,
a6k1-1,a6k2-3,a6k3-2,4=〜1,a6k5-_3,6=~2
a6k1■a6k2■a6k3'Osk.4'a6k5a6k0(找特殊性质项)
•-S2002=a1a2a3丁…-a2002(合并求和)
=佝a?
a?
as)@7a$%)@6k1ask2asks)
+…(a1993*Q994+,'a1998)+a1999+a2000*a2001*a2002
=a1999a2000a2001a2002
=a6k1a6k2a6k3°6k4
=5
解:
设SnnlogsdIog3a2亠Tog3a10
由等比数列的性质m•n二p•q=aman二apaq(找特殊性质项)
和对数的运算性质logaMlogaN=logaMN得
Sn=(log3ailog3aio)(log3a2log?
a?
)-「(logsa§log3a6)(合并求和)
=(logsaiaio)(logsa2a?
)-「「(logsasa6)
=log39log39亠Tog39
=io
练习、求和:
练习题i设巳-U」+…-[匚二*则r=
练习题2.若Sn=i-2+3-4+…+(-i)n-in,则Si7+S33+s50等于()
A.iB.-iC.0D.2
为奇)
4
为偶)
解:
对前n项和要分奇偶分别解决,即:
Sn=L2答案:
A
练习题3i002-992+982-972+…+22-i2的值是
A.5000B.5050C.i0i00D.20200
解:
并项求和,每两项合并,原式=(i00+99)+(98+97)+…+(2+i)=5050.答案:
B
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法
11
解:
由于11119999(10k-1)
一;个厂9一7个T9
•••111111X11
n个1
1111
=—(101-1)—(102-1)—(103-1)(10n-1)
(找通项及特征)
(分组求和)
9999
=9(10110210_初
丄(11「1)
9n个1
10(10n-1)n
10—19
(找通项及特征)
1
•'(n1)(an-an」=4、(「
n壬nTn2
—8[(n2)(n4)(n3)(n4)]
2.设二次方程anx-an+ix+1=0(n€N)有两根a和B,且满足6a-2a3+63=3.
(1)试用an表示an1;
⑵求证:
数列心「|}是等比数列;
7**
⑶当幻二冷时,求数列{%}的通项公式.
3•数列a冲,印=8月4=2且满足an2=2an^ann・N⑴求数列;an?
的通项公式;
⑵设Sn=|印I&|Jan|,求Sn;说明:
本资料适用于高三总复习,也适用于高一“数列”一章的学习。