数列求和7种方法.docx

1、数列求和7种方法1、2、3、5、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n(a1 an) “ n(n -1)na1 d2等差数列求和公式:等比数列求和公式:SnSnn(n 1)2nSn 八 k3k 4= y(1 -qn)1 -qa1 a n q1 -q(q = 1)4、 & 八 k2 二1 n(n 1)(2n 1)61 2 灯n+1)例1已知log3 x-，求x x2 x的前n项和.log2 3解：由log3 x-1=logs x = -log3 2 =log 2 3由等比数列求和公式得Sn = x x2x3(利用常用公式)例 2设 Sn= 1+2+3+

2、+n , n N，求 f(n)解:由等差数列求和公式得Sn题1.等比数列Snf(n) ,n 32)Sn 1x(1 xn)1 -xSn1 12(1-班)_ 1 丄J _-歹2(n 32)Sn 1的最大值.1= -(n 1)( n 2)2(利用常用公式)2n 34n 641 1 . 1 = 冬 n 34 64 (、n -8 )2 50 50n In 8、n ，即 n= 8 时，f (n)(81max丄；的前n项和S n = 2n - 1,贝y - V +ag -1)* (2n -1) _ - 3w +解：原式= . L二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法， 这种方

3、法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3求和：& =1 3x 5x2 7x3 （2n -1）xnJ 的通项之积解：由题可知，（2 n- 1）xnd的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn_1设 xSn =1x 3x2 5x3 7x4 宀：(2n(1 - x)2c (2n -1)xn (2n 1)xn (1 x)Sn 口2 4 6例4求数列一，2，亍厂2 22 23Q n 乍的通项是等差数列2n的通项与等比数列222 23解：由题可知,2 的通项之积2设Sn2Sn自 2n二 2门12 2 亠232n2“ 1一亠.22 23 241 2 2一

4、得（1 一 ）Sn = 22 2 22=2吵_ n Jl-1练习题1 已知 ，求数列 anS 二於2心二答案：r2422n2n2n 1（设制错位）（错位相减）的前n项和Sn.加2九2+11 3 5 2-1 练习题2 J J - - 的前n项和为S* = 3 一攀答案： I三、反序相加法求和，再把它与原这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)数列相加，就可以得到 n个(a1 an).例 5求证：C0 3C： 5C； (2n 1)C：二(n 1)2n证明：设 Sn =C0 3C； 5C2 - (2n 1)C： 把式右边倒转过来得(反序)Sn =(2 n 1)C

5、： (2 n-1)C： 3C： C；又由C；=C；可得Sn -(2n 1)C0 (2n-1)C： 3C：-c； .(反序相加)+得 2S； =(2n+2)(C0 +C；十+C：+c；n) =2(n+1) 2；S； =(n 1) 2n例 6求 sin 1 sin 2 sin sin 88 sin 89 的值2Q 2Q 20 2。 2。解：设 S =sin 1 +sin 2 +sin 3 + +sin 88 +sin 89 将式右边反序得(反序)2 0 2。 2 0 2 0 2 0S = sin 89 sin 8 s i n 3 s i n 2 s i n 1 .2 2(反序相加)又因为 sinx

6、=cos(90 x),sin x cos x= 1+得n O n O n -Q n -Q n O n O2S 二(sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )- - (sin 89 cos 89 ) = 89S= 44.5题1 已知函数(1)证明：I(2)110丿+/ 77 +/2? io丿的值.解：（i）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边 =右边【9(5 +/+ /二二/ +/而而，、帀UoJ（2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知,/ Q X则 2 +/11U丿两式相加得:二？所以 练习、求值:1(?17+*四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若

7、将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1例7求数列的前n项和：1 1, 4,-y 7,；u 3n - 2 ,a a a1 1 1解：设 Sn = (1 1) ( 4) ( 2 7)爲3n - 2)a a a将其每一项拆开再重新组合得1 1三 j) (14 7 -嚣 3n _ 2)a (3n 1)n (3n +1)n二 n =2 21 -丄 an +(3n T)n a_a + (3n_1)n1 _1 2 a-1 2a例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.1Sn = (1 -a当a= 1时,（分组）Sn解：设 ak 二 k(k 1)(2k

8、 1)二 2k 3k k（分组求和）（分组）（分组求和）3 2 Sn 八 k(k 1)(2k 1)八(2k 3k k)k 4 k 4将其每一项拆开再重新组合得n n nSn= 2 k3 3、 k2、kk 4 k A k 4=2(13 23 亠亠 n3) 3(12 22 亠亠 n2) (1 2 亠亠 n)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 2 n(n 1)2( n 2)2五、裂项法求和（裂项）解：设an（裂项求和）1 1 1贝V Sn = += 十，+ _1 + J2 丘七 V3 亦 + Jn +1=(.2 - .1) ( .3 -、2) n 1 - n)=.、n

9、 1 -1例 10在数列an中,an1 2+ +n 1n +n，又bna n an 1解:，求数列bn的前n项的和.an bnSnn 11 1 -8(- )n n 1（裂项）数列b n的前n项和1 11 1 1 1 1 皿（1一2）（厂3）（3蔦）（裂项求和）8n=8(1例 11求证:+cos0 cos1 cos1 cos 2解:设S -cos0 cos1 cos1 cos 2cos12cos88 cos89 sin 1cos88 cos89sin1tan(n 1) - tanncos n cos(n 1)（裂项）1 1 1 S 1 一 一 (裂项求和)cos0 cos1 cos1 cos 2

10、 cos88 cos891 = (tan 1 -ta nO ) (ta n2 - tan1 ) (tan3 - tan2 ) tan 89 - ta n88 sin 111 cos1= (tan 89 -tanO ) = cot1 = 2sin 1 sin 1 sin 1 原等式成立1 1 1练习题 1.4 + 4x7+ +-2)心+ 1) + + + + 练习题 2。，： r / :=答案:六、分段求和法(合并法求和)针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 12 求 cos1 + cos2 + cos3

11、 + + cos178 + cos179 的值.解：设 Sn= cosl + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 cosn 二-cos(180 - n ) (找特殊性质项) Sn= (cosl + cos179 ) + ( cos2 + cos178 ) + ( cos3 + cos177 ) + + (cos89 + cos91 ) + cos90 (合并求和)=0例 13数列an: a = 1,a2 =3, a3 = 2,an 2 二 a* 1 - a* ,求 S2002.解：设 S2002= a*i a2 a a2002由 ai - 1, a2 - 3, a3

12、 = 2, an 2 an d _ an 可得a = -1, a5 = -3, a = -2,a7 1, a8 = 3a9 = 2,a6k 1 - 1, a6k 2 - 3, a6k 3 - 2, 4 =1, a6k 5 - _3, 6 = 2a6k 1 a6k 2 a6k 3 Osk .4 a6k 5 a6k 0 (找特殊性质项)- S2002 = a1 a2 a3 丁 -a2002 (合并求和)=佝 a? a? as) 7 a$ %) 6k 1 ask 2 ask s)+ (a1993 * Q994 +，a1998)+ a1999 + a2000 * a2001 * a2002=a1999

13、 a2000 a2001 a2002=a6k 1 a6k 2 a6k 3 6k 4=5解：设 Sn nlogsd Iog3a2 亠 Tog3a10由等比数列的性质 m n二p q= aman二apaq (找特殊性质项)和对数的运算性质 loga M loga N = log a M N 得Sn =(log3 ai log3aio) (log3 a2 log? a?) - (logs a log3 a6) (合并求和)=(logs ai aio) (logs a2 a?) - (logsas a6)=log3 9 log39 亠 Tog3 9=io练习、求和:练习题i 设巳- U+ -匚二*则r

14、 =练习题 2 .若 Sn = i-2+3-4+ +(-i) n-i n，则 Si7 + S33 + s 50 等于 ( )A.i B.-i C.0 D .2为奇)4为偶)解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn= L 2 答案：A练习题 3 i002-992+982-972+22-i2 的值是A.5000 B.5050 C.i0i00 D.20200解：并项求和，每两项合并，原式 =(i00+99)+(98+97)+ +(2+i)=5050.答案：B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的

15、方法1 1解：由于 111 1 999 9 (10k -1)一；个厂 9 一7个T 9 111111X11n个 1111 1=(101 -1) (102 -1) (103 -1) (10n -1)（找通项及特征）（分组求和）9 9 9 9=9(10110210_ 初丄(1 1 1)9 n个110(10n -1) n101 9（找通项及特征）1 (n 1)(an - an=4、(n 壬 n T n 28 (n 2)(n 4) (n 3)(n 4)2.设二次方程 anx -an +ix+1=0(n N)有两根 a 和 B,且满足 6 a -2 a 3 +6 3 =3 .(1)试用an表示a n 1 ;求证：数列心|是等比数列；7 * *当幻二冷时，求数列%的通项公式.3数列 a 冲，印=8月4 =2且满足an 2 =2an an nN 求数列；an ?的通项公式；设 Sn =|印 I & | Jan |，求 Sn ； 说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。