Schedulingoftheoptimaltoolreplacement.docx

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Schedulingoftheoptimaltoolreplacement

在柔性制造系统的刀具更换时间的调度

帕特里克·刘，viliam马基和安得烈瑞怡和

机械与工业工程系，多伦多大学，多伦多，加拿大省makis@mie.utoronto.ca1A4电子邮件：

收到十二月1998和接受二月2000

柔性制造系统（FMS），切削工具经常被用于二€不同的操作和不同类型的二€部分最小化工具变更及所需的工具，并增加部分路由¯灵活性。

在这样的情况下，该工具成为工作共享资源和工作相关的，多变的和非均质条件下。

众所周知，机床故障率取决于年龄和加工条件下，刀具的可靠性是一个时间函数的加工条件，在FMS的操作序列。

本文的目的是获得一个最佳的预防性的更换时间安排刀具在®有限时间在地平线¯柔性制造系统。

我们认为，该工具将被替换后故障在手术中或手术预防每个操作完成后，产生二€不同更换费用。

一个标准的随机动态规划方法，以获得最佳的刀具更换时间。

优化调度是通过最小化期望总成本超过®有限的时间对于一个给定的操作序列得到的。

开发了一个计算算法，并给出了一个数值例子来证明该程序。

1．介绍了最佳的刀具更换时切亭工具均匀加工条件操作问题已得到了广泛的研究（见，例如，billatos和肯德尔，1991；灰色etal.，1993；lacommareetal.，1983；Liuetal.，1998；Pandit和酋长，1980）。

在这种假设下，换刀过程是一个重新更新过程和刀具更换时间可以通过最大限度地减少单位时间内的预期平均成本得到的周期二分的预期成本预期的周期长度。

在柔性制造系统（FMS），然而，情况是不同地€。

工具成为共享资源。

一个单一的工具可能需要不同的加工条件下，二€完成几个二€不同操作情况。

这是一个众所周知的事实，一个工具的故障率不仅是时间的函数，但也取决于在该工具操作的条件。

相同的工具，如果他们的工作条件€迪不同，他们会有二€不同故障率和各自的最优预防重新安置的时间会不同地€。

在这种情况下，置换过程不再是一个更新过程，而经典的方法来获得最佳的更换时间不适用。

然而，作为指出灰色等。

（1993）在这方面没有做任何研究。

本文的目标是获得一个最佳的预防性的更换时间安排工具工作在多变的条件下在一个®有限时间和FMS中变得。

我们认为，歌剧，顺序，时间®完成每个操作，每个操作和加工条件是事先给定的，这一工具后才可以完成操作的预防性更换。

然而，当一个工具失败，它必须立即更换一个相同的新工具，在一个成本高于预防置换成本。

我们考虑一个基于随机动态规划方法对最优预防性更换刀具时间做出决定。

在每次操作结束，决定基于年龄的工具是否继续使用现有的工具或预防性更换工具。

我们的目标是最小化总预计成本在®有限的时间对于一个给定的操作顺序。

在随机优化亲程序是计算的重要组成部分，在多变的条件下工作的一个工具的可靠性，这是非常不同的从地€CAL计算工具的可靠性在不断的均匀的加工条件下，马的可靠度函数可以表示为时间的函数，只。

可靠性分析功能的工具在FMS中的变化情况取决于累计加工时间、操作序列，每个操作的长度，和马加工条件的每个操作。

在本文中，Liu和马基提出的计算方法（1996）将被用来计算一个工具在多变的条件下运行的可靠性。

这将在下一节讨论。

在下面的章节中，我们将®RST制定决策模型并推导公式计算在下一阶段的预期成本和一步转移概率。

然后，我们将提出®发现基于随机动态规划的动态刀具更换时间最优调度算法。

最后一个数值例子来说明计算程序。

2．一种在变工况条件下工作的可靠性函数

众所周知，刀具寿命是一个€受到的累计运行时间（或年龄）的工具和操作条件包括切削速度v、进给速度F，切割深度的工具，立几、接触角、工具和材料等工作，如果我们只考虑了工具的年龄和假设工况条件不改变，时间的工具失效，T是一个随机变量。

在刀具可靠性的文献中，VaR的各种形式的可靠性功能已被提出，根据刀具的失效类型。

在生产中，一个工具可能会失败，因为无论是强调和骨折或累积磨损。

通过在应力和断裂引起刀具失效，刀具失效的时间可以由一二参数威布尔分布函数模型（mazzu志和索耶，1989；Pandit和酋长，1980；罗摩-男性，1977，1982；Ramalingam和Watson，1977；罗塞托和zompi，1981）。

连续加工，工具的失败是由于累积的磨损过程中，刀具的失效时间通常是由正常或对数正态分布模型（Ramalingam和Watson，1977；赌，Barash，1971）。

当刀具寿命被火山口的生长终止时，通常使用的对数正态作为模型。

如果工具失败是体积脱离刀具表面的结果，伽玛分布通常是一个合理的数据协调模型。

由于它的灵活性和¯封闭形式的可靠性功能，Weibull分布是近年来被广泛使用的模型工具失败的对策。

在恒定的工作条件下的工具的韦伯可靠性函数可以写成

其中一个和钾是正的常数。

如果我们假设的操作条件是完全确定的加工参数五（速度），（进给速度），和三维（切削深度），预期的刀具寿命被众所周知的泰勒生活方程（泰勒，1906）表示

其中Q0，Q1，Q2和Q3都是正的常数。

将两工具的时代和加工条件对刀具失效时间的E€等，我们认为加速失效时间模型（制造商）所提出的®RST派克（1966）已经广泛应用于自（Kalb¯皑雪和徒弟，1982；Nelson，1990；牛逼，1988）。

制造商（也由Cox和奥克斯叫做加速寿命模型（1984）），具体®ES，E€等加工条件的马在时间上是乘法。

基于

（1）和

（2），该工具的信度函数可以写成如下形式（Liu和马基，1996；mazzuchi和索耶，1989）

其中B1；B2和B3都是正的常数。

如果我们表示

和可靠性功能

（1）通过R0…T†，那么宗教能力的功能（3）可以写成如下形式;;

其中R0…†称为基准线的可靠性功能和W…Z†称为加速因子。

方程（6）有一个制造商的标准形式。

基于（6）的工具的预期寿命

其中C…†是伽玛函数。

威布尔基线可靠性功能的制造商也是一个比例风险模型（PHM）（Cox和奥克斯，1984；克劳德etal.，1991）。

PHM几乎总是给出一个合理的代表加工条件的协变量的重要措施，是一个很好的探索性数据分析技术（Newby，1994）。

因此，Weibull可靠性函数提出了在（3）或（6）结合制造商和PHM的优点，非常¯在实际故障数据建模灵活。

此外，封闭形式的宗教性功能进行表示和计算很容易。

在下面的模型开发和讨论讨论，我们将假定刀具可靠性函数可以表示由制造商在（3）或（6）。

接下来，我们研究一个工具运行的可靠性功能活动中的一¯灵活多变的加工条件

最佳刀具更换次数

制造系统。

考虑一个新的工具，用于操作F1；2；。

..我；。

..G表示操作的操作条件下，我用矢量子让钛ÿ1和Ti是启动和运行我的完成时间，分别。

考虑到操作的顺序，每个操作的长度和操作条件进行®固定，时间t，钛ÿ1＜TTi，唯一的®NES的工具可以用手术史

.fz1;t1ÿt0g;fz2;t2ÿt1g;...;fzi;tÿtiÿ1g.

该工具的可靠性取决于两个累积切削时间和它的操作历史为代表的（8）。

计算任意时间t的工具的可靠性，我们认为操作1和操作2®RST。

在时间0＜TT1操作1的刀具可靠度的计算是简单的

R.t;z1..R0.tw.z1..:

计算在时间t1＜tT2操作2工具的可靠性，我们®NE^T1

R.t1;z1..R.^t1;z2._R0^t1w.z2...;

例如，^T1切削时间相当于T1的话，而不是1的条件下运行，Z2的长度^T1进行操作，从零时间使刀具的可靠性值在时间t1时®完成手术1是完全一样的可靠性值的工具在^T1时从操作2。

^T1得到解决

^t1.t1

w.z1.

w.z2.:

让T1时间的刀具故障运行1时，从零时间，T2是时间的刀具失效时，执行操作2从零时间。

在时间t1＜tT2操作2，该工具由R…T表示可靠性函数；Z2；Z1†通过®定义，

P.T>t..R.t1;z1.P.T>tjT1>t1.

.R.t1;z1.P.T>tjT2>^t1.;.12.

where

P.T>tjT2>^t1..P.T2>tÿt1.^t1jT2>^t1.

.R.tÿt1.^t1;z2.=R.^t1;z2.:

.13.

Hence,

R.t;z2;z1..R.tÿt1.^t1;z2.

.R0.tÿt1.^t1.w.z2...;t1

上述方法可以推广得到的工具，已经经营时间单位条件下®内德的可靠性（8）

R.t;zi;ziÿ1;...;z2;z1..R0.tÿtiÿ1.^tiÿ1.w.zi...;

tiÿ1

where

^tiÿ1.0;i.1;

.tiÿ1ÿtiÿ2.^tiÿ2.w.ziÿ1.=w.zi.;i>1;

_

.16.

与T0ˆ0。

看到刘和马基（1996）更为详细的推导和图形说明。

3．随机动态决策模型

我们考虑过®有限时域TN如图1所示的最佳的刀具更换时间的确定问题。

期中‰0；TNŠ，N在®操作固定的顺序将完成。

我们假设的操作的顺序，和操作条件和每个操作的处理时间是预先确定的。

操作时ÿKTK1开始，®完成时间TK，其运行状态是由一个向量ZK描述，Kˆ1；2；。

..；我们认为该工具可以预防性更换成本C®完成每个操作后。

当工具不能在操作过程中，它是立即更换一个新的代价的k，其中k>C.每个操作的结束是一个决策的时代，在决定是否继续使用现有的工具或预ventively替换工具。

在实际的FMS支持生产，累计运行时间的工具、SK、观察或在每个决策的时代，TK记录。

该运算的优化工具更新决策是通过比较工具，年龄由SK，有控制的限制，TK，从随机动态决策模型。

如果工具SK年龄小于或等于极限控制TK，我们会让工具继续下一步操作；否则工具必须预防性更换一个新的。

在随机动态决策模型，通过最小化期望总成本在®有限时间得到了工具时代的控制范围。

由于序列的操作，每个操作的处理时间和操作条件®固定和事先给定的，所观察到的SK在决策时刻tk唯一确定刀具的操作历史的表达（8），因此可靠性值（15）。

同样，（8），该工具有-操作历史年龄的SK在决策时刻TK可以表示为

.fzj;sk.tj.1ÿtkg;fzj.1;tj.1ÿtjg;...;

fzkÿ1;tkÿ1ÿtkÿ2g;fzk;tkÿtkÿ1g

其中J是®RST工具操作。

让她在手术结束时的工具的时代，HK，J，

sh.sk.thÿtk;forj_h_k:

年龄在SK工具的可靠性值可以计算出（15）为

R.sk;zk;zkÿ1;...;zj.1;zj.

.R0..skÿskÿ1.^skÿ1._w.zk...19.

where

^skÿ1.

0;k.j

.skÿ1ÿskÿ2.^skÿ2..w.zkÿ1.=w.zk..;k>j

_

.20.

为了计算预期成本和随机动态决策模型的转移概率矩阵，我们离散的时间和使用一个恒定长度D小的时间间隔作为时间单位。

表示操作K的长度，Kˆ1；2；。

..，由

dk_tkÿtkÿ1.mkD;

在MK是一个正整数。

的间隔d的大小应以这样一种方式，所需的计算精度可以满足®ED没有太冗长的计算确定。

它取决于刀具的可靠性能力功能与成本结构的形状和应硒lected通过试验和错误。

在实践中，每个操作可能包括许多小的相同的零件的加工。

假设操作K，MK的部分应以同等的加工时间DK加工。

如果DK很小，我们可以利用这个小间隔为离散时间单位。

为了使一步转移概率矩阵（将在下一节讨论）时间均相对于一个给定的操作，我们需要转换工具的SK年龄为等价的年龄^SK表示，OB得到假设工具操作条件的ZK‡1整个时间。

等效龄期^SK确定刀具的状态，可以重新根据草书公式计算（16）。

让^sk.qkD;

其中重点是正整数。

在决策期TK因此状态QK具有年龄SK工具。

对于小的，它是合理的假设，该工具可以在一个时间间隔结束时失败。

我们可以采取两个措施，2的F0；1G，在每个决策的时代，基于观察到的时代的工具，在

a.

0ifweusetheexistingtoolforthenextoperation,

1ifwepreventivelyreplacethetool.

让C…^SK；一†可预期的成本为下一步的操作

P.ijqk;a.;fori.0;1;...;qk.mk.1;

是过渡概率从QKDTKIDTK‡1，其中ID是1的工具条件ZK‡等效龄期。

让…VTK^SK†是最低的预期成本…TK；TNŠ。

然后

Vtk

.^sk..minc.^sk;0..

qkX.mk.1

i.0

P.ijqk;0.Vtk.1

.^sk.1.i..;c.0;1.

（

.

Xmk.1

i.0

P.ij0;1.Vtk.1

.^sk.1.i..

）

;.25.

where

^sk.1.i..iD

w.zk.1.

w.zk.2.:

.26.

Forthelastdecisionepoch,

Vtnÿ1

.^snÿ1..minfc.^snÿ1;0.;c.0;1.g:

预期成本C…^SK；一†在（25）和（27）可以计算提取

c.0;1..C.KE.N.dk.1.j^sk.0.;.28.

and

c.^sk;0..KE.N.dk.1.j^sk.

其中E‰N…DK‡1†J^SKŠ是预期的失败次数…TK；TK‡1Š鉴于，在决策的时代条件‡TK，ZK1的工具的等效龄期是^SK。

如果操作的长度相对较短，我们可以假设，该工具可以失败，最多一次在每个操作前预期的成本（28）和（29）可以通过使用以下的近似计算：

c.0;1..C.K_.1ÿR0.dk.1_w.zk.1...;.30.

and

c.^sk;0..K_1ÿR0..^sk.dk.1._w.zk.1..

R0.^sk_w.zk.1..

__

:

.31.

4．转移概率矩阵

假设目前运行的是1K‡和ZK1的工具条件‡等效年龄ID。

然后，利用离散化在上一节所述，后一步，工具的等效龄期是…我‡1†D概率PI；我‡1等于零的概率性PI；0，在

Pi;i.1.

R0.Dw.zk.1..;ifi.0;

R0..i.1.Dw.zk.1..

R0.iDw.zk.1..;ifi>0;

and

Pi;0.1ÿPi;i.1

.

1ÿR0.Dw.zk.1..;ifi.0,

1ÿR0..i.1.Dw.zk.1..

R0.iDw.zk.1..;ifi>0;

其中R0…TW…Z††是®定义（6）。

其他的跃迁几率等于零。

MK‡一步转移概率矩阵P…MK‡1†ˆFP…MK‡1†ijg然后由一步转移概率矩阵Pˆfpijg乘以本身MK‡1-1次获得，

P.mk.1..Pmk.1

从（34），我们可以得到MK‡步过渡问题的能力P…ijqk；在方程（25）†。

让N…MK‡1†QK；0次访问的过程状态数0（故障状态）在MK‡1步，因为最初的过程是在国家重点。

然后我们（见例如，泰铢（1984））。

E.N.dk.1.j^sk._E.N.mk.1.

qk;0

..

Xmk.1

l.1

P

.l.

qk;0

可以代入（28）和（29）计算预期成本C…^SK；一†长作业，（30）和（31）不能提供准确的近似。

我们现在已经完全指定®ED的所有条款在方程（25）和（27）的随机动态决策分析模型。

我们可以继续详细描述铝算法获得的决定的时代使刀具更换决策控制限。