二阶电路的零输入响应.docx
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二阶电路的零输入响应
§5.6二阶电路的零输入响应
5.6.1二阶电路的初始条件
初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几
个方面。
第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压uC的极性和流过电感电流iL的方
向；
第二，电容上的电压总是连续的，即
Uc（O）=Uc（O_）（5-31）
流过电感的电流也总是连续的，即
Ul（O）-iL（OJ（5-32）
确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。
5.6.2RLC串联电路的零输入响应
如图5-37所示为RLC串联电路。
开关S闭合前，电容已经充电，且电容的电压UC=U0，
电感中储存有电场能，且初始电流为I0当t=0时，开关S闭合，电容将通过R放电，其
中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R转换成电
场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。
图5-37RLC串联电路的零输入响应
由图5-37所示参考方向，据KVL可得
且有iC=-C-―^，Ur=Ri二RC，uL=L①=-LCUc。
将其代入上式得
dtdtdtdt
式（5-33）是RLC串联电路放电过程以比为变量的微分方程，为一个线性常系数二阶微分方程。
如果以电流i作为变量，则RLC串联电路的微分方程为
（5-34）
在此，仅以Uc为变量进行分析，令Uc=AePt，并代入（5-33），得到其对应的特征方程
求解上式，得到特征根为
因此，电容电压Uc用两特征根表示如下:
（5-36）
uc=AePltA2ep2t
从式（5-35）可以看出，特征根p、p2仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。
Pi、P2又称为固有频率，单位为奈培①每秒（Np/s）,它与电路的自然响应函数有关。
根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为uC（0UC（0U0，
i（02（0）丄，又因为ic「畤，所以有C罟八C。
将初始条件和式（5-36）
联立可得
（5-37）
AiA2二U°
I
A®+A2P2=-g
A=P2U0
（5-38）
P1U0
P2-P1
P2一p1
将A、A2的表达式代入（5-36）式即可得到RLC串联电路的零输入响应，但特征根P1、
P2与电路的参数R、L、C有关，根据二次方程根的判别式可知P1、P2只有三种可能情况,
F面对这三种情况分别讨论
在此情况下，P1、P2为两个不相等的实数，电容电压可表示为
（5-39）
Uc业P2eP"t_pft
P2—P1
根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为
uL二L虫二-―^0—p1eP1^p2eP2t（5-41）
dtP2-Pi
1
其中利用了P1P2—的关系。
LC
由于p1p2,因此t0时，-eP2t,且一臼0。
所以t.0时uC
P2—P1P2—P1
一直为正。
从（5-40）可以看出，当t.0时，i也一直为正，但是进一步分析可知，当t=0
时，i（0.）=0，当t:
时，i（：
：
）=0，这表明i（t）将出现极值，可以求一阶导数得到，
tmaxJln山
P2—P1P1
其中tmax为电流达到最大的时刻。
Uc、i、Ul的波形如图5-38所示。
图5-38过阻尼放电过程中Uc、i、Ul的波形
从图5-38可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做过阻尼放电。
当t:
:
:
tm时电感吸收能量，建立磁场；t-tm时，电感释放能量，磁场衰减,
趋向消失。
当t二tm时，电感电压过零点。
2.Rv2（L，欠阻尼情况
当R<^L时，特征根p1、p2是一对共轭复数，即
R
其中「一正称之为振荡电路的衰减系数;
（r~可
屆一詁称之为振荡电路的衰减角频率。
显然有=：
・2亠八2，令v-arctan—，则有-0co^,:
:
0sinr，如图5-39
-j2■
U。
％_「ej®切-e」®帕”
=e"
①Ij2一
=U^-°sin（・tr）（5—44）
co
根据式（5-40），（5-41）可知
i=be^sin（・t）（5-45）
L
uL=-U0%e七sin（⑷t—日）（5-46）
co
从上述情况分析可以看出，uc、i、uL的波形呈振荡衰减状态。
在衰减过程中，两种
储能元件相互交换能量，如表5-2所示。
uc、i、UL的波形如图5-40所示。
图5-40欠阻尼情况下uc、i、UL的波形
表5-2
电容
释放
释放
吸收
电感
吸收
释放
释放
电阻
消耗
消耗
消耗
从欠阻尼情况下Uc、i、UL的表达式还能得到以下结论:
（1）7=k二，k=0,1,2,3为电流i的过零点，即uc的极值点。
（2）「t=k二二，k=0,1,2,3为电感电压Ul的过零点，即电流i的极值点。
（3）4二k二-v,k=0,1,2,3为电容电压uC的过零点。
在上述阻尼的情况中，有一种特殊情况，k=0,此时p1、p2为一对共轭虚数,
所示
图5-41LC零输入电路无阻尼时Uc、i、Ul波形
显然，uC、i、uL不作振荡变化，随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图
5-38类似。
此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线，所以将R=2二的过程称为临界
非振荡过程，其电阻也被称之为临界电阻。
§5.7二阶电路的零状态响应
如果二阶电路中动态元件的储能（电容储存电场能与电感储存的磁场能）均为零时，其
响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应。
5.7.1RLC串联电路的零状态响应
电路如图5-47所示，开关S闭合前，电容和电感电流均为零。
t=0时，开关S闭合。
图5-47RLC串联电路的零状态响应
以Uc为电路的变量，根据VCR和KVL,有
方程（5-64）为二阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成，一部分为非齐次方程的特解uC=US，另一部分为对应齐次方程的通解uC二Aept，即uC二uC•uC。
方程（5-63）对应的齐次微分方程
方程（5-64）与方程（5-33）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。
将结论分别表示如下
电路响应表示为其中pi、P2为特征根，表达式与（5-35）式相同。
比、i和ue的波形如图5-48所示,
图5-48uL、i和uC的波形图
2.R-2，振荡充电过程
电路响应表示为
R
其中，此情况下的充电过程也为非振荡充电。
2L
5.7.2RLC并联电路的零状态响应
二阶RLC并联电路如图5-49所示，uC（0」=0,iL（0_）=0ot0时，开关S断开。
根据KCL有
图5-49RLC并联电路的零状态响应
如果以iL为待求变量，则有
LC壯丄也iL=is（5-65）
dt2Rdt
方程以（5-65）是二阶线性非齐次常微分方程，与（5-63）式的求解过程相同，其通解由特
解iL和对应齐次微分方程通解匚两部分组成。
如果is为直流激励或正弦激励，则取稳态解〔
为特解而通解i「与零输入响应形式相同，其积分常数有初始条件来确定。
分别得到二则电路的一般用
S闭合，求开
S闭合后，直
§5.8二阶电路的全响应
在前两节中所讨论的二阶电路中，要么只有初始储能，要么只有外施激励。
阶微分方程求解的方法非常相似。
如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励，
响应称为二阶电路的全响应。
分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用,
零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。
例电路如图5-51所示，已知uC（OJ=O,iL（0.）=0.5A,t=0时开关关闭合后电感中的电流iL（t）。
图5-51例5-12图
解：
开关S闭合前，电感中的电流iL（OJ-0.5A，具有初始储能；开关流激励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。
（1）列出开关闭合后的电路微分方程，列结点①KVL方程有
2・・
即RLC吗RiL=10
dt2dtL
将参数代入得
设电路全响应为iL（t）=iL•iL
（2）根据强制分量计算出特解为
（3）为确定通解，首先列出特征方程为
特征根为：
特征根p1，p2是一对共轭复根，所以换路后暂态过程的性质为欠阻尼性质，即
（4）
2Ae^tsin（0.7t巧
”2+Asin日=0.5（A）
0.7Acos日-0.1Asin日=0
A=1.52
全响应为
又因为初始条件为
所以有
求解得
所以电流iL的全响应为
iL（t）二[21.52e^.1tsin（0.7t261.9）]（A）
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