二阶电路的零输入响应.docx

1、二阶电路的零输入响应 5.6二阶电路的零输入响应5.6.1二阶电路的初始条件初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用， 确定初始条件时，必须注意以下几个方面。第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压 uC的极性和流过电感电流iL的方向；第二，电容上的电压总是连续的，即Uc（O ） =Uc（O_） （ 5-31）流过电感的电流也总是连续的，即Ul（O ） -iL（OJ （ 5-32）确定初始条件时，首先要用（5-31 ）和（5-32 ）式确定没有突变的电路电流，电容电压 和电感电流的初始值。5.6.2 R L C串联电路的零输入响应如图5-37所示为RLC串联电路。开关S闭合前，电容已

2、经充电，且电容的电压UC=U0，电感中储存有电场能，且初始电流为 I0当t=0时，开关 S闭合，电容将通过 R放电，其中一部分被电阻消耗， 另一部分被电感以磁场能的形式储存， 之后磁场能有通过 R转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当 然也可能不存在能量的反复转换。图5-37 RLC串联电路的零输入响应由图5-37所示参考方向，据 KVL可得且有 iC = -C -， Ur = Ri 二 RC ， uL = L =-LC Uc。将其代入上式得dt dt dt dt式（5-33 ）是RLC串联电路放电过程以 比为变量的微分方程， 为一 个线性常系

3、数二阶微分 方程。如果以电流i作为变量，则RLC串联电路的微分方程为(5-34)在此，仅以Uc为变量进行分析，令 Uc = AePt，并代入（5-33 ），得到其对应的特征方程求解上式，得到特征根为因此，电容电压 Uc用两特征根表示如下:(5-36 )uc =AePlt A2ep2t从式（5-35 ）可以看出，特征根 p、p2仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能 无关。Pi、P2又称为固有频率，单位为奈培每秒（Np/s）,它与电路的自然响应函数有关。根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为uC（0 UC（0 U0，i（0 2（0）丄，又因为ic畤，所以有C罟八C。将初始条件和

4、式（5-36）联立可得(5-37)Ai A2 二 U IA + A2 P2 = -gA = P2U0(5-38)P1U0P2 - P1P2 一 p1将A、A2的表达式代入（5-36 ）式即可得到RLC串联电路的零输入响应， 但特征根P1、P2与电路的参数R、L、C有关，根据二次方程根的判别式可知 P1、P2只有三种可能情况,F面对这三种情况分别讨论在此情况下，P1、P2为两个不相等的实数，电容电压可表示为(5-39)Uc 业 P2ePt _ pftP2 P1根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为uL 二 L 虫二-0 p1eP1 p2eP2t (5-41 )dt P2 - Pi1其中利用

5、了 P1P2 的关系。LC由于p1 p2,因此t 0时，-eP2t,且一臼 0。所以t . 0时uCP2 P1 P2 P1一直为正。从(5-40 )可以看出，当t . 0时，i也一直为正，但是进一步分析可知， 当t=0时，i(0.) =0，当t:时，i(：) =0，这表明i(t)将出现极值，可以求一阶导数得到，tmax J ln 山P2 P1 P1其中tmax为电流达到最大的时刻。 Uc、i、Ul的波形如图5-38所示。图5-38 过阻尼放电过程中Uc、i、Ul的波形从图5-38可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做 过阻尼放电。当t : tm时电感吸收能量，建

6、立磁场； t - tm时，电感释放能量，磁场衰减,趋向消失。当t二tm时，电感电压过零点。2. R v 2(L，欠阻尼情况当R L时，特征根p1、p2是一对共轭复数，即R其中一正称之为振荡电路的衰减系数;( r 可屆一詁称之为振荡电路的衰减角频率。显然有=：2 亠八2，令 v - arcta n ，则有- 0 co , :0 si nr，如图 5-39-j2 U。 _ej切-e帕”= e I j2 一= U- sin（t r） （544）co根据式（5-40），（ 5-41 ）可知i = besin（t） （5-45）LuL = -U0% e七sin（t日） （5-46）co从上述情况分析可以

7、看出， uc、i、uL的波形呈振荡衰减状态。在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，如表 5-2所示。uc、i、UL的波形如图5-40所示。图5-40欠阻尼情况下uc、i、UL的波形表5-2电容释放释放吸收电感吸收释放释放电阻消耗消耗消耗从欠阻尼情况下 Uc、i、UL的表达式还能得到以下结论:(1)7 =k二，k =0,1,2,3 为电流i的过零点，即uc的极值点。（2） t=k二二，k =0,1,2,3 为电感电压Ul的过零点，即电流i的极值点。（3） 4二k二-v , k =0,1,2,3 为电容电压uC的过零点。在上述阻尼的情况中，有一种特殊情况， k =0,此时p1、p2为一对共轭虚数

8、,所示图5-41 LC 零输入电路无阻尼时 Uc、i、Ul波形显然，uC、i、uL不作振荡变化，随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图5-38类似。此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线， 所以将R=2二的过程称为临界非振荡过程，其电阻也被称之为临界电阻。 5.7二阶电路的零状态响应如果二阶电路中动态元件的储能 （电容储存电场能与电感储存的磁场能） 均为零时，其响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应。5.7.1 R L C 串联电路的零状态响应电路如图5-47所示，开关S闭合前，电容和电感电流均为零。 t = 0时，开关S闭合。图5-47 RLC串联电路的零状态响应以Uc为电路的

9、变量，根据 VCR和KVL,有方程（5-64 ）为二阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成，一部分为非齐次方程 的特解uC =US，另一部分为对应齐次方程的通解 uC二Aept，即uC二uC uC。方程（5-63 ）对应的齐次微分方程方程（5-64 ）与方程（5-33 ）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。将结论分别 表示如下电路响应表示为 其中pi、P2为特征根，表达式与（5-35 ）式相同。比、i和ue的波形如图5-48所示,图5-48 uL、i和uC的波形图2. R - 2 ，振荡充电过程电路响应表示为R其中 ，此情况下的充电过程也为非振荡充电。2L5.7.2 RLC并联电路的

10、零状态响应二阶RLC并联电路如图5-49所示，uC（0=0 , iL（0_）=0 o t 0时，开关S断开。根据KCL有图5-49 RLC并联电路的零状态响应如果以iL为待求变量，则有LC 壯丄也 iL =is （5-65 ）dt2 R dt方程以（5-65 ）是二阶线性非齐次常微分方程，与（ 5-63 ）式的求解过程相同，其通解由特解iL和对应齐次微分方程通解 匚两部分组成。如果is为直流激励或正弦激励， 则取稳态解为特解而通解i与零输入响应形式相同，其积分常数有初始条件来确定。分别得到二 则电路的 一般用S闭合，求开S闭合后，直 5.8 二阶电路的全响应在前两节中所讨论的二阶电路中， 要么

11、只有初始储能，要么只有外施激励。阶微分方程求解的方法非常相似。 如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励，响应称为二阶电路的全响应。 分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用,零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。例 电路如图5-51所示，已知uC(OJ=O, iL(0.)=0.5A , t=0时开关 关闭合后电感中的电流iL(t)。图5-51 例5-12图解：开关S闭合前，电感中的电流iL(OJ -0.5A，具有初始储能；开关 流激励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。(1) 列出开关闭合后的电路微分方程，列结点 KVL方程有2 即 RLC 吗 RiL =10dt2 dt L将参数代入得设电路全响应为iL(t) =iL iL(2)根据强制分量计算出特解为(3)为确定通解，首先列出特征方程为特征根为： 特征根p1，p2是一对共轭复根，所以换路后暂态过程的性质为欠阻尼性质，即(4)2 Aet sin(0.7t 巧”2 +As in 日=0.5(A)0.7Acos日-0.1Asin 日=0A =1.52全响应为又因为初始条件为所以有求解得所以电流i L的全响应为iL(t)二2 1.52e.1tsin(0.7t 261.9 )( A)