C++ 数值积分.docx
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C++数值积分
一、数值积分（定积分）的基本思想
1、定积分的意义：
细分—求和—取极限。
2、Newton—Leibniz公式
其中，
被积函数
的原函数。
3、数值积分的基本思想
在积分区间内“细分—求和—控制精度”。
数值积分是通过计算机进行的，不可以取极限，否则出现时间无限情况。
不取极限的积分是不精确的，因此需要进行精度控制。
二、实用的Newton—Cotes求积公式
牛顿、科特斯是两位伟大的科学家，他们在数值积分领域也做出了伟大的贡献，他们导出了任意阶的牛顿—科特斯求积公式。
其中最简单的两个公式具有非常实用的价值。
1、一阶Newton—Cotes求积公式
一阶Newton—Cotes求积公式也叫梯形公式，它具有一次代数精度，也就是说，只有当被积函数是0次或1次多项式时（直线），该公式是精确的，在其它情况下只是近似解。
2、二阶Newton—Cotes求积公式
二阶Newton—Cotes求积公式也叫Simposon公式，它具有三次代数精度，也就是说，只有当被积函数是0次、1次、2次、3次多项式时，该公式是精确的，在其它情况下只是近似解。
另有：
四阶Newton—Cotes求积公式定名为Cotes求积公式，也是实用的求积公式。
三、复化梯形求积公式及其程序设计
1、算法：
将积分区间[a,b]等分成n个子区间:
其中：
然后，在每个子区间上使用梯形求积公式计算积分值，再将这些积分值求和就是总的积分值。
…………………………………………
即：
2、程序设计思路
1）设计一个函数用来计算被积函数值。
2）设计一个函数实现复化梯形求积
3）主函数中进行数据准备、函数调用、结果输出。
3、源程序：
#include
doublef（doublex）
{
doubley;
y=x*x*x;
returny;
}
doubletn（doublea,doubleb,intn）
{
doubleh=（b-a）/n;
doublet=0.0;
doublexk;
for（intk=1;k<=n-1;k++）
{
xk=a+k*h;
t+=f（xk）;
}
t=h*（f（a）+f（b））/2+t*h;
returnt;
}
voidmain（）
{
doublea=0.0;
doubleb=4.0;
intn=1024;
cout<}
四、变步长梯形求积及其程序设计
在采用复化梯形求积时，要求将积分区间划分成若干个子区间，然后在每个子区间上应用梯形求积公式并求和。
从“积分精度”的角度来看，我们希望积分子区间的长度越小越好，当积分区间达到无穷小时，就是理论上的精确积分值。
从程序的“运行效率”角度来看，我们又希望积分子区间的长度不能太小，否则计算工作量“太大”。
合适选择子区间的大小，可以兼顾“积分精度”和“计算效率”两方面的要求。
然而，对于给定的精度要求，事先确定子区间的长度也是很困难的。
例如，对于上例，当要求精确到小数点后面3位时，划分多少个子区间合适？
当要求精确到小数点后面6位时，又应该划分多少个子区间合适？
这样的问题很难回答。
但“变步长梯形求积”可以解决上述问题。
1、积分区间n等分时的复化梯形求积公式
设对积分区间[a,b]进行n等分，则步长
，在该积分区间上共有n+1个求积结点：
。
由复化梯形公式有：
2、积分区间2n等分时的复化梯形求积公式
在上述情况下，若将步长分半，即在每相邻两结点
的中点
处增加一个求积结点，则：
3、n等分与2n等分求积的关系
4、程序设计思路
1）设计一个函数用来计算被积函数值。
2）设计一个函数实现变步长梯形求积：
步长变化：
，
，
，…。
积分停止：
当相邻两次的积分值足够接近。
有时有附加条件：
至少要几分区间。
3）主函数中进行数据准备、函数调用、结果输出。
#include
#include
doublef（doublex）
{
doubley;
y=x*x*x;
returny;
}
doublet2ntn（doublea,doubleb）
{
intn=1;
doublehn=b-a;
doubletn=0.0;
doublet2n=（f（a）+f（b））*hn/2.0;
while（fabs（t2n-tn）>1e-6）
{
tn=t2n;
t2n=0.0;
for（intk=0;k<=n-1;k++）
t2n+=f（a+hn/2.0+k*hn）;
t2n=tn/2.0+t2n*hn/2.0;
n=n*2;
hn=hn/2.0;
}
returnt2n;
}
voidmain（）
{
doublea=0.0;
doubleb=4.0;
cout<}
五、复化Simposon求积及其程序设计
1、算法：
将积分区间[a,b]等分成n个子区间:
其中：
然后，在每个子区间上使用Simposon求积公式计算积分值，再将这些积分值求和就是总的积分值。
………………………………
即：
2、程序设计思路
1）设计一个函数用来计算被积函数值。
2）设计一个函数实现复化Simposon求积
3）主函数中进行数据准备、函数调用、结果输出。
课堂练习：
写出实现复化Simposon求积算法的源程序
#include
doublef（doublex）
{
doubley;
y=x*x*x;
returny;
}
doublesn（doublea,doubleb,intn）
{
doubleh=（b-a）/n;
doublesk=0.0,sk2=0.0;
doublexk;
doublexk2;
for（intk=1;k<=n-1;k++）
{
xk=a+k*h;
sk+=f（xk）;
}
for（k=0;k<=n-1;k++）
{
xk2=a+k*h+0.5*h;
sk2+=f（xk2）;
}
returnh/6.0*（f（a）+f（b）+2.0*sk+4.0*sk2）;
}
voidmain（）
{
doublea=0.0;
doubleb=4.0;
intn=1024;
cout<}
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