全等三角形解题方法.docx

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全等三角形解题方法

全等三角形解题方法

略说全等三角形解题方法证明三角形全等的基本思路在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。

如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。

上述可归纳为：

?

?

S（用SSS）?

S?

?

?

A（用SAS）S?

?

A?

S（用SAS）?

?

A（用AAS或ASA）?

?

证明三角形全等的方法１、平移法构造全等三角形例１如图１所示，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，若AB>AD，DC=BC，求证：

∠B+∠D=180°。

分析：

利用角平分线构造三角形，将∠D转移到∠AEC，而∠AEC与∠CEB互补，∠CEB=∠B，从而证得∠B+∠D=180°。

主要方法是：

“线、角进行转移”。

证明：

在AB上截取AE=AD，DC在?

ADC与?

AEC中，?

AD=AE?

?

∠DAC=∠EAC?

AC=AC?

∴?

ADC≌?

AEC（SAS）∴∠D=∠AEC,DC=CE,∵DC=BC,∴CE=BC，∴∠CEB=∠B,∵∠CEB+∠AEC=180°,∴∠B+∠D=180°.２、翻折法构造全等三角形例２如图２所示，已知?

ABC中，AC=AE图１BBC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，求证：

AB=BC+CD。

证明：

∵BD平分∠ABC，将?

BCD沿BD翻折后，点C落在AB上的点E，则有BE=CE，B在?

BCD与?

BED中，?

BC=BE?

?

∠CBD=∠EBD?

BD=BD?

∴?

BCD≌?

BED（SAS）∴∠DEA=∠ACB=90°,CD=DE,∵已知?

ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=45°,∴∠EDA=∠A=45°,∴DE=EA,∴AB=BE+EA=BC+CD。

3、旋转法构造全等三角形、例3如图3所示，已知点E、F分别在正方形ABCD的边ECD图2AADBC与CD上，并且AF平分∠EAD，求证：

BE+DF=AE。

分析：

本题要证的BE和DF不在同一条直线上，因而要设法分析将它们“组合”到一起。

可将?

ADF绕点A旋转90°到?

ABG，则?

ADF≌?

ABG，BE=DF，从而将BE+BG转化为线段FGE，再进一步证明GE=AE即可。

证明略。

4、延长法构造全等三角形、例4如图4所示，在?

ABC中，∠ACB=2∠B，GB图3EC∠BAD=∠DAC，求证：

AB=AC+CD。

分析：

证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长分析一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。

本题可延长AC至E，使AE=AB，构造ABD图4CE?

ABD≌?

AED，然后证明CE=CD，就可得AB=AC+CD。

5、截取法构造全等三角形、例5如图5所示，在?

ABC中，边BC上的高为AD，又∠B=2∠C，求证：

CD=AB+BD。

分析：

欲证明CD=AB+BD，可以在CD上截取一线段等分析于BD，再证明另一线段等于AB。

如果截取DE=BD（如图所ABDE图5C

示），则?

ADE可认为而?

ADB沿AD翻折而来，从而只需证明CE=AE即可。

证明略。

构造全等三角形解题的技巧全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。

友情提示：

证明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt△）。

一、见角平分线试折叠，构造全等三角形例1如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC。

求证：

∠B：

∠C=2：

1。

证法一：

在线段AC上截取AE=AB，连接DE。

在△ABD和△AED中，∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD△AED。

∴DE=DB，∠B=∠AED。

∵AB+BD=AC，∴AE+DE=AC。

又∵AE+CE=AC，∴DE=CE。

∴∠C=∠EDC。

∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C。

∴∠B：

∠C=2：

1。

图1证法二：

延长AB到F，使BF=BD，连接DF。

∴∠F=∠BDF。

∵∠ABC=∠F+∠BDF，∴∠ABC=2∠F。

∵AB+BD=AC，∴AB+BF=AC，即AF=AC。

在△ADF和△ADC中，∵AF=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF△ADC。

∴∠F=∠C。

又∵∠ABC=2∠F，∴∠ABC=2∠C，即∠ABC：

∠C=2：

1。

图2点评：

见到角平分线时，既可把△ABD沿AD折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。

练习：

如图3，△ABC中，AN平分∠BAC，CN⊥AN于点N，M为BC中点，若AC=6，AB=10，求MN的长。

图3提示：

延长CN交于AB于点D。

则△ACN△ADN，∴AD=AC=6。

又AB=10，则BD=4。

可证为△BCD的中位线。

∴。

点评：

本题相当于把△ACN沿AN折叠成△AND。

二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形例2如图4，AD为△ABC中BC上的中线，BF分别交AC、AD于点F、E，且AF=EF，求证：

BE=AC。

图4证明：

延长AD到G，使DG=AD，连接BG。

∵AD为BC上的中线，∴BD=CD，在△ACD和△GBD中，∵AD=DG，∠ADC=∠BDG，BD=CD，∴△ACD△GBD。

∴AC=BG，∠CAD=∠G。

∵AF=EF，∴∠CAD=∠AEF。

∴∠G=∠AEF=∠BEG，

∴BE=BG，∵AC=BG，∴BE=AC。

点评：

见中线AD，将其延长一倍，构造△GBD，则△ACD△GBD。

例3如图5，两个全等的含有、角的三角极ADE和ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC图5试判断△EMC的形状，并说明理由。

解析：

△EMC为等腰直角三角形。

理由：

分别延长CM、ED，使其相交于点N，可证△BCM△DNM。

则BC=DN，CM=NM。

由于△DEA△ACB，则DE=AC，AE=BC，∴DE+DN=AC+AE。

即EN=EC，则△ENC为等腰直角三角形。

∵CM=NM，∴EM⊥CN，则可知△EMC为等腰直角三角形。

注：

①本题也可取EC的中点N，连接MN，利用梯形中位线定理来证明。

②亦可连接AM，利用角的度数来证明。

练习1：

如图6，在平行四边形ABCD中，E为AD中点，连接BE、CE，∠BEC=，图6求证：

（1）BE平分∠ABC。

（2）若EC=4，且，求四边形ABCE的面积。

提示：

见图中所加辅助线，证△ABE△DFE。

练习2：

△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB的取值范围为多少？

注：

延长AD到E，使DE=AD，连接BE。

则△BDE△CDA。

∴BE=AC=5，DE=AD=7。

在△ABE中，BE=5，AE=14。

利用三角形三边关系可求线段AB的取值范围为：

9<AB<19。

三、构造全等三角形，证线段的和差关系例4如图7，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠1=∠2。

图7求证：

BE+DF=AE。

证明：

延长CB到G，使BG=DF，连接AG。

在△ABG和△ADF中，∵AB=AD，∠ABG=∠D=，BG=DF，∴△ABG△ADF。

∴∠G=∠AFD，∠4=∠1。

∵∠1=∠2，∴∠4=∠2。

∵AB∥CD，∴∠AFD=∠2+∠3=∠4+∠3=∠GAE。

又∵∠G=∠AFD，∴∠G=∠GAE。

∴AE=GE。

∵EG=BE+BG=BE+DF，∴BE+DF=AE。

从以上几例可以看出，全等三角形在证明中具有出奇制胜的作用。

在解决有关角平分线、中点、线段的和差的问题时，通过添加辅助线构造全等三角形的办法，不仅能使问题迎刃而解，而且有助于学生创新思维的培养，提高学生的数学思维能力和分析能力。

见到角平分线时，既可把△ABD沿AD折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。