全等三角形解题方法.docx

1、全等三角形解题方法 全等三角形解题方法 略说全等三角形解题方法证明三角形全等的基本思路在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”， “AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。 如果选择找到了一 组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用 “SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用 “SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。 上述可归纳为：? ? S (用SSS ) ?S ? ? ? A(用SAS )

2、 S? ? A ? S (用SAS ) ? ? A(用AAS 或ASA) ? ? 证明三角形全等的方法、平移法构造全等三角形例如图所示，四边形 ABCD 中， AC 平分 DAB ，若 AB> AD ， DC = BC ，求证：B + D = 180 。 分析：利用角平分线构造三角形，将 D 转移到 AEC ，而 AEC 与 CEB 互补，CEB = B ，从而证得 B + D = 180 。 主要方法是：“线、角进行转移”。 证明：在 AB 上截取 AE =AD ， D C在 ?ADC 与 ?AEC 中，? AD = AE ? ?DAC = EAC ? AC = AC ? ?ADC ?

3、AEC （SAS） D = AEC , DC = CE , DC = BC , CE = BC ， CEB = B , CEB + AEC = 180 , B + D = 180 . 、翻折法构造全等三角形例如图所示，已知 ?ABC 中， AC =AE图BBC ， ACB = 90 ， BD 平分 ABC ，求证：AB = BC + CD 。 证明：BD 平分 ABC ，将 ?BCD 沿 BD 翻折后，点 C 落在 AB 上的点 E ，则有 BE = CE ，B在 ?BCD 与 ?BED 中，? BC = BE ? ?CBD = EBD ? BD = BD ? ?BCD ?BED （SAS）

4、DEA = ACB = 90 , CD = DE , 已知 ?ABC 中， AC = BC ， ACB = 90 ， A = 45 , EDA = A = 45 , DE = EA , AB = BE + EA = BC + CD 。 3、旋转法构造全等三角形 、 例 3 如图 3 所示，已知点 E 、 F 分别在正方形 ABCD 的边ECD图2AADBC 与 CD 上，并且 AF 平分 EAD ，求证： BE + DF = AE 。 分析：本题要证的 BE 和 DF 不在同一条直线上，因而要设法 分析 将它们“组合”到一起。 可将 ?ADF 绕点 A 旋转 90 到 ?ABG ， 则 ?AD

5、F ?ABG ， BE = DF ，从而将 BE + BG 转化为线段FGE ，再进一步证明 GE = AE 即可。 证明略。 4、延长法构造全等三角形 、 例 4 如图 4 所示，在 ?ABC 中， ACB = 2B ，GB图3ECBAD = DAC ，求证： AB = AC + CD 。 分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长 分析 一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即 可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等 于另一条短线段。 本题可延长 AC 至 E ，使 AE = AB ，构造ABD图4C E?ABD ?AED ，然后证明 CE

6、 = CD ，就可得 AB = AC + CD 。 5、截取法构造全等三角形 、 例 5 如图 5 所示，在 ?ABC 中，边 BC 上的高为 AD ，又B = 2C ，求证： CD = AB + BD 。 分析：欲证明 CD = AB + BD ，可以在 CD 上截取一线段等 分析 于 BD ，再证明另一线段等于 AB 。 如果截取 DE = BD （如图所ABDE图5C示），则 ?ADE 可认为而 ?ADB 沿 AD 翻折而来，从而只需证明 CE = AE 即可。 证明略。 构造全等三角形解题的技巧全等三角形是初中几何三角形中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两 大知识点之一（全等和

7、相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助 线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举 几例供大家参考。 友情提示：证明三角形全等的方法有 SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt）。 一、见角平分线试折叠，构造全等三角形 例1 如图1，在ABC 中，AD 平分BAC，AB+BD=AC。 求证：B：C=2：1。 证法一：在线段 AC 上截取 AE=AB，连接 DE。 在ABD 和AED 中， AE=AB，1=2，AD=AD， ABD AED。 DE=DB，B=AED。 AB+BD=AC， AE+DE=AC。 又AE+CE=AC， DE=CE。

8、 C=EDC。 AED=C+EDC， AED=2C，即B=2C。 B：C=2：1。 图1 证法二：延长 AB 到 F，使 BF=BD，连接 DF。 F=BDF。 ABC=F+BDF， ABC=2F。 AB+BD=AC， AB+BF=AC， 即 AF=AC。 在ADF 和ADC 中， AF=AC，1=2，AD=AD， ADF ADC。 F=C。 又ABC=2F， ABC=2C， 即ABC：C=2：1。 图2 点评：见到角平分线时，既可把ABD 沿 AD 折叠变成AED，也可把ACD 沿 AD 折叠变成 AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。 练习：如图3，ABC 中，AN 平分BAC，

9、CNAN 于点 N，M 为 BC 中点，若 AC=6，AB=10， 求 MN 的长。 图3 提示：延长 CN 交于 AB 于点 D。 则ACN ADN， AD=AC=6。 又 AB=10，则 BD=4。 可证 为BCD 的中位线。 。 点评：本题相当于把ACN 沿 AN 折叠成AND。 二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形 例2 如图4，AD 为ABC 中 BC 上的中线，BF 分别交 AC、AD 于点 F、E，且 AF=EF，求 证：BE=AC。 图4 证明：延长 AD 到 G，使 DG=AD，连接 BG。 AD 为 BC 上的中线， BD=CD， 在ACD 和GBD 中， AD=DG，A

10、DC=BDG，BD=CD， ACD GBD。 AC=BG，CAD=G。 AF=EF， CAD=AEF。 G=AEF=BEG，BE=BG，AC=BG，BE=AC。 点评：见中线 AD，将其延长一倍，构造GBD，则ACD GBD。 例3 如图5，两个全等的含有 、 角的三角极 ADE 和 ABC 如图放置，E、A、C 三点在 同一直线上，连接 BD，取 BD 中点 M，连接 ME、MC图5 试判断EMC 的形状，并说明理由。 解析：EMC 为等腰直角三角形。 理由：分别延长 CM、ED，使其相交于点 N， 可证BCM DNM。 则 BC=DN，CM=NM。 由于DEA ACB， 则 DE=AC，A

11、E=BC， DE+DN=AC+AE。 即 EN=EC， 则ENC 为等腰直角三角形。 CM=NM， EMCN， 则可知EMC 为等腰直角三角形。 注：本题也可取 EC 的中点 N，连接 MN，利用梯形中位线定理来证明。 亦可连接 AM，利用角的度数来证明。 练习1：如图6，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 中点，连接 BE、CE，BEC=，图6 求证：（1）BE 平分ABC。 （2）若 EC=4，且 ，求四边形 ABCE 的面积。 提示：见图中所加辅助线，证ABE DFE。 练习2：ABC 中，AC=5，中线 AD=7，则 AB 的取值范围为多少？ 注：延长 AD 到 E，使 DE=A

12、D，连接 BE。 则BDE CDA。 BE=AC=5，DE=AD=7。 在ABE 中，BE=5，AE=14。 利用三角形三边关系可求线段 AB 的取值范围为：9<AB<19。 三、构造全等三角形，证线段的和差关系 例4 如图7，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，且1=2。 图7 求证：BE+DF=AE。 证明：延长 CB 到 G，使 BG=DF，连接 AG。 在ABG 和ADF 中， AB=AD，ABG=D= ，BG=DF， ABG ADF。 G=AFD，4=1。 1=2， 4=2。 ABCD， AFD=2+3=4+3=GAE。 又G=AFD， G=GAE。 AE=GE。 EG=BE+BG=BE+DF， BE+DF=AE。 从以上几例可以看出，全等三角形在证明中具有出奇制胜的作用。 在解决有关角平分线、 中点、线段的和差的问题时，通过添加辅助线构造全等三角形的办法，不仅能使问题迎刃 而解，而且有助于学生创新思维的培养，提高学生的数学思维能力和分析能力。 见到角平分线时，既可把ABD 沿 AD 折叠变成AED，也可把ACD 沿 AD 折叠变成 AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。