（二）随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示，如在掷一颗骰子时，“出现奇数点”是一个事件，它由1点、3点、5点共三个样本点组成，若记这个事件为A，则有A={1，3，5}。
1.随机事件的特征
从随机事件的定义可见，事件有如下几个特征:
（1）任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集。
在概率论中常用一个长方形示意样本空间Ω，用其中一个圆（或其他几何图形）示意事件A，见1.2-1，这类图形称为维恩（Venn）图。
（2）事件A发生当且仅当A中某一样本点发生，若记ω1，ω2是Ω中的两个样本点（见图1.21）:
当ω1发生，且ω1∈A（表示ω1在A中），则事件A发生；
当ω2发生，且ω2
A（表示ω2不在A中），则事件A不发生。
（3）事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言应是明确无误的。
（4）任一样本空间Ω都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω，它对应的事件称为必然事件，仍用Ω表示。
如掷一颗骰子，“出现点数不超过6”就是一个必然事件。
（5）任一样本空间Ω都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为φ。
如掷一颗骰子，“出现7点”就是一个不可能事件。
[例1.2-2]若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。
则检查两件产品的样本空间Ω由下列四个样本点组成。
Ω={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}其中样本点（0，1）表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可类似解释。
下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。
A=“至少有一件合格品”={（0，0），（0，1），（1，0）}；
B=“至少有一件不合格品”={（0，1），（1，0），（1，1）}C=“恰好有一件合格品”={（0，1）（1，0）}；
Ω=“至多有两件合格品”={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}；
φ=“有三件不合格品”。
现在我们转入考察“检查三件产品”这个随机现象，它的样本空间Ω含有23=8个样本点。
Ω={（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）}
下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。
A=“至少有一件合格品”={Ω中剔去（1，1，1）的其余7个样本点}；
B=“至少有一件不合格品”={Ω中剔去（0，0，0）的其余7个样本点}；
C1=“恰有一件不合格品”={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）}；
C2=“恰有两件不合格品”={（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0）}；
C3=“全是不合格品”={（1，1，1）}；
C0=“没有一件是不合格品”={（0，0，0）}；
2.随机事件之间的关系
实际中，在一个随机现象中常会遇到许多事件，它们之间有下列三种关系。
（1）包含:
在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A，记为A
B，或B
A，这时事件A的发生必导致事件B发生，如图1.2-2所示。
如掷一颗骰子，事件A=“出现4点”必导致事件B=“出现偶数点”的发生，故A
B。
显然，对任一事件A，有Ω
A
φ。
（2）互不相容:
在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。
这时事件A与B不可能同时发生，如图1.2-3所示，如在电视机寿命试验里，“电视机寿命小于1万小时”与“电视机寿命超过4万小时”是两个互不相容事件，因为它们无相同的样本点，或者说，它们不可能同时发生。
两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容，例如在检查三个产品的例子（例1.2-2）中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有两件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“没有不合格品”是四个互不相容事件。
（3）相等:
在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等，记为A=B。
如在掷两颗骰子的随机现象中，其样本点记为（x，y，其中x与y分别为第一与第二颗骰子出现的点数，定义如下两个事件:
A={（x，y）:
x+y=奇数}
B={（x，Y）:
x与y的奇偶性不同}可以验证A=B。
（三）事件的运算事件的运算有下列四种。
（1）对立事件，在一个随机现象中，Ω是样本空间，A为事件，由在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记为
。
图1.2-4上的阴影部分就表示A的对立事件
。
可见
就是“A不发生”，例如在检查一匹布中，事件“至少有一个疵点”的对立事件是“没有疵点”。
对立事件是相互的，A的对立事件是
，
的对立事件必是A。
特别，必然事件Ω与不可能事件φ互为对立事件，即
=φ，
=Ω。
（2）事件A与B的并，由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件称为A与B的并，记为AUB。
如图1.2-2所示。
并事件A∪B发生意味着“事件A与B中至少一个发生”。
（3）事件A与B的交，由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为A∩B或AB。
如图1.2-6所示，交事件AB发生意味着“事件A与B同时发生”。
事件的并和交可推广到更多个事件上去（见图1.2-7）。
（4）事件A对B的差，由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为A-B。
如图1.1-8所示。
（四）概率——事件发生可能性大小的度量
随机事件的发生与否是带有偶然性的。
但随机事件发生的可能性还是有大小之别，是可以设法度量的。
而在生活、生产和经济活动中，人们很关心一个随机事件发生的可能性大小。
例如:
（1）抛一枚硬币，出现正面与出现反面的可能性各为1/2。
足球裁判就是用抛硬币的方法让双方队长选择场地，以示机会均等。
（2）某厂试制成功一种新止痛片在未来市场的占有率是多少呢?
市场占有率高，就应多生产，获得更多利润；市场占有率低，就不能多生产，否则会造成积压，不仅影响资金周转，而且还要花钱去贮存与保管。
（3）购买彩券的中奖机会有多少呢?
如1993年7月发行的青岛啤酒股票的认购券共出售287347740张，其中有180000张认购券会中签，中签率是万分之6.264（见1993年7月30日上海证券报）。
上述正面出现的机会、市场占有率、中签率以及常见的废品率、命中率等都是用来度量随机事件发生的可能性大小。
一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P（A）来表示。
概率是一个介于0到1之间的数。
概率愈大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。
特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即:
P（φ）=0，P（Ω）=1
二、概率的古典定义与统计定义
确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，相应于概率的两种定义，即古典定义及统计定义。
（一）古典定义
用概率的古典定义确定概率方法的要点如下:
（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；
（2）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；
（3）若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率定义为:
〔例1.2-3]掷两颗骰子，其样本点可用数对（x，y表示，其中x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。
这一随机现象的样本空间为:
Ω={（x，y），x，y=1，2，3，4，5，6}它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。
（1）定义事件A=“点数之和为2”={（1，1）}，它只含一个样本点，故P（A）=1/36。
（2）定义事件B=“点数之和为5”={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}，它含有4个样本点，故P（B）=4/36=1/9。
（3）定义事件C=“点数之和超过9”={（4，6），（5，5），（6，4），（5，6），（6，5），（6，6）}，它含有6个样本点，故P（C）=6/36=1/6。
（4）定义事件D=“点数之和大于3，而小于7”={（1，3）（2，2），（3，1），（1，4）（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}，它含有12个样本点，故它的概率P（D）=12/36=1/3。
用古典方法获得概率常需要排列与组合的公式。
现概要介绍如下:
排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。
（1）乘法原理:
如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×mk种方法。
例如，甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6条旅游线路。
（2）加法原理:
如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法，在第二类方法中又有m2种完成方法，…，在第k类方法中又有mk种完成方法，那么完成这件事共有m1+m2+…+mk种方法。
例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具:
汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10个班次供旅游选择。
（3）排列:
从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素排成一列称为一个排列。
按乘法原理，此种排列共有n×（n-1）×…×（n-r+1）个，记为P＇n。
若r=n，称为全排列，全排列数共有n!
个，记为Pn，即:
P＇n=n（n-1）…（n-r+1），pn=n!
（4）重复排列:
从n个不同元素中每次取出一个作记录，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。
按乘法原理，此种重复排列共有n＇个。
注意，这里的r允许大于n。
例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为104。
假如上述抽取不允许放回，列所得排列数为10×9×8
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