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1、概率基础知识概率基础知识一、事件与概率(一)随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。从这个定义中可看出，随机现象有两个特点:(1)随机现象的结果至少有两个；(2)至于哪一个出现，人们事先并不知道。抛硬币、掷骰子是两个最简单的随机现象。抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，至于哪一面出现，事先并不知道。又如掷一颗骰子，可能出现1点到6点中某一个，至于哪一点出现，事先也并不知道。例1.2-1随机现象的例子:(1)一天内进入某超市的顾客数；(2)一顾客在超市中购买的商品数；(3)一顾客在超市排队等候付款的时间；(4)一颗麦穗上长着的麦粒个数；(5)新产品在未来市场的占有率；

2、(6)一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间；(7)加工机械轴的直径尺寸；(8)一罐午餐肉的重量。随机现象在质量管理中到处可见。认识一个随机现象首要的是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果是指今后的抽样单元，故又称样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为。“抛一枚硬币”的样本空间=正面，反面；“掷一颗骰子”的样本空间=1，2，3，4，5，6；“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间=0，1，2，；“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间=t:t0；“测量某物理量的误差”的样本空间=x:-x。(二)随机事件随机现象的某些样本点组成的

3、集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示，如在掷一颗骰子时，“出现奇数点”是一个事件，它由1点、3点、5点共三个样本点组成，若记这个事件为A，则有A=1，3，5。1.随机事件的特征从随机事件的定义可见，事件有如下几个特征:(1)任一事件A是相应样本空间中的一个子集。在概率论中常用一个长方形示意样本空间，用其中一个圆(或其他几何图形)示意事件A，见1.2-1，这类图形称为维恩(Venn)图。(2)事件A发生当且仅当A中某一样本点发生，若记1，2是中的两个样本点(见图1.21):当1发生，且1A(表示1在A中)，则事件A发生；当2发生，且2A(表示2不在A中)，则事件A不发生。(3

4、)事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言应是明确无误的。(4)任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是，它对应的事件称为必然事件，仍用表示。如掷一颗骰子，“出现点数不超过6”就是一个必然事件。(5)任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为。如掷一颗骰子，“出现7点”就是一个不可能事件。例1.2-2若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。则检查两件产品的样本空间由下列四个样本点组成。=(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)其中样本点(0，1)表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可类似解释。

5、下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。A=“至少有一件合格品”=(0，0)，(0，1)，(1，0)；B=“至少有一件不合格品”=(0，1)，(1，0)，(1，1)C=“恰好有一件合格品”=(0，1)(1，0)；=“至多有两件合格品”=(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)；=“有三件不合格品”。现在我们转入考察“检查三件产品”这个随机现象，它的样本空间含有23=8个样本点。=(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。A=“至少有一件合格品”=中剔去(1，1，

6、1)的其余7个样本点；B=“至少有一件不合格品”=中剔去(0，0，0)的其余7个样本点；C1=“恰有一件不合格品”=(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)；C2=“恰有两件不合格品”=(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)；C3=“全是不合格品”=(1，1，1)；C0=“没有一件是不合格品”=(0，0，0)；2.随机事件之间的关系实际中，在一个随机现象中常会遇到许多事件，它们之间有下列三种关系。(1)包含:在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A，记为AB，或BA，这时事件A的发生必导致事件B发生，如图1.2-2所示。如掷

7、一颗骰子，事件A=“出现4点”必导致事件B=“出现偶数点”的发生，故AB。显然，对任一事件A，有A。(2)互不相容:在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。这时事件A与B不可能同时发生，如图1.2-3所示，如在电视机寿命试验里，“电视机寿命小于1万小时”与“电视机寿命超过4万小时”是两个互不相容事件，因为它们无相同的样本点，或者说，它们不可能同时发生。两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容，例如在检查三个产品的例子(例1.2-2)中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有两件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“没有不

8、合格品”是四个互不相容事件。(3)相等:在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等，记为A=B。如在掷两颗骰子的随机现象中，其样本点记为(x，y，其中x与y分别为第一与第二颗骰子出现的点数，定义如下两个事件:A=(x，y):x+y=奇数B=(x，Y):x与y的奇偶性不同可以验证A=B。(三)事件的运算事件的运算有下列四种。(1)对立事件，在一个随机现象中，是样本空间，A为事件，由在中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记为。图1.2-4上的阴影部分就表示A的对立事件。可见就是“A不发生”，例如在检查一匹布中，事件“至少有一个疵点”的对立事件是“

9、没有疵点”。对立事件是相互的，A的对立事件是，的对立事件必是A。特别，必然事件与不可能事件互为对立事件，即=，=。(2)事件A与B的并，由事件A与B中所有样本点(相同的只计入一次)组成的新事件称为A与B的并，记为AUB。如图1.2-2所示。并事件AB发生意味着“事件A与B中至少一个发生”。(3)事件A与B的交，由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为AB或AB。如图1.2-6所示，交事件AB发生意味着“事件A与B同时发生”。事件的并和交可推广到更多个事件上去(见图1.2-7)。(4)事件A对B的差，由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为A-B。如图

10、1.1-8所示。(四)概率事件发生可能性大小的度量随机事件的发生与否是带有偶然性的。但随机事件发生的可能性还是有大小之别，是可以设法度量的。而在生活、生产和经济活动中，人们很关心一个随机事件发生的可能性大小。例如:(1)抛一枚硬币，出现正面与出现反面的可能性各为1/2。足球裁判就是用抛硬币的方法让双方队长选择场地，以示机会均等。(2)某厂试制成功一种新止痛片在未来市场的占有率是多少呢?市场占有率高，就应多生产，获得更多利润；市场占有率低，就不能多生产，否则会造成积压，不仅影响资金周转，而且还要花钱去贮存与保管。(3)购买彩券的中奖机会有多少呢?如1993年7月发行的青岛啤酒股票的认购券共出售2

11、87347740张，其中有180000张认购券会中签，中签率是万分之6.264(见1993年7月30日上海证券报)。上述正面出现的机会、市场占有率、中签率以及常见的废品率、命中率等都是用来度量随机事件发生的可能性大小。一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P(A)来表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率愈大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即:P()=0，P()=1二、概率的古典定义与统计定义确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，相应于概率的两种定义，即古典定义及统计定义。(一)古典定义

12、用概率的古典定义确定概率方法的要点如下:(1)所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；(2)每个样本点出现的可能性是相同的(等可能性)；(3)若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率定义为:例1.2-3掷两颗骰子，其样本点可用数对(x，y表示，其中x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为:=(x，y)，x，y=1，2，3，4，5，6它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。(1)定义事件A=“点数之和为2”=(1，1)，它只含一个样本点，故P(A)=1/36。(2)定义事件B=“点数之和为5”=(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1

13、)，它含有4个样本点，故P(B)=4/36=1/9。(3)定义事件C=“点数之和超过9”=(4，6)，(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，它含有6个样本点，故P(C)=6/36 =1/6。(4)定义事件D=“点数之和大于3，而小于7”=(1，3)(2，2)，(3，1)，(1，4)(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，它含有12个样本点，故它的概率P(D)=12/36 =1/3。用古典方法获得概率常需要排列与组合的公式。现概要介绍如下:排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。(1)乘法原理:如果

14、做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1m2mk种方法。例如，甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有32=6条旅游线路。(2)加法原理:如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法，在第二类方法中又有m2种完成方法，在第k类方法中又有mk种完成方法，那么完成这件事共有m1+m2+mk种方法。例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具:汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10个班次供旅游选择。(3)排列:从n个不同元素中任取r(rn)个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n(n-1)(n-r+1)个，记为Pn。若r=n，称为全排列，全排列数共有n!个，记为Pn，即:Pn=n(n-1)(n-r+1)，pn=n!(4)重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有n个。注意，这里的r允许大于n。例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为104。假如上述抽取不允许放回，列所得排列数为1098