初三数学第10讲 实际问题与二次函数 教师版.docx

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初三数学第10讲实际问题与二次函数教师版

实际问题与二次函数辅导教案

学生姓名

年级

初三

学科

数学

上课时间

年月日

教师姓名

课题

实际问题与二次函数

教学目标

1、掌握二次函数的面积最大模型

2、掌握二次函数的利润最大模型

3、掌握二次函数如何建系

教学过程

教师活动

学生活动

1．抛物线y=x2﹣2x与坐标轴交点为（　　）

A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点

2．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点的横坐标是（　　）

A．﹣1或3B．﹣1C．3D．﹣3或3

3．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求S△ABC的面积．

4．已知抛物线y=mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1，无论x取何值，函数y的值都是非负数，求m的取值范围．

【目标导学】

1．认识二次函数与实际问题的联系

2．利用二次函数的图象性质研究实际问题

3．理解最大或最小与二次函数最值的关联

【自主学习】

活动一：

认真阅读课本P49页的内容，时间要求3分钟

学生思考：

（1）小球运动中的最大高度与抛物线的最大值有什么关系？

活动二：

认真阅读课本P50页的内容，时间要求5分钟

学生思考：

（1）题目中出现最大面积和最大利润，我们怎么去理解？

（2）函数的实际问题与一元二次方程的实际问题有什么异同？

活动二：

认真阅读课本P51页的内容，时间要求3分钟

学生思考：

（1）题中是如何建立直角坐标系的？

（2）还有其他不同的建系么？

【例题剖析】

（1）剖析课本P49的探究1，并根据学生的理解提出对应问题

（2）剖析课本P50的探究2，并根据学生的理解提出对应问题

（3）剖析课本P51的探究3，并根据学生的理解提出对应问题

【习题过关】

请学生在15min中内完成课本P51的复习巩固

【总结反思】

1．在实际问题中，我们通常把最大值或者最小值的问题转化成求二次函数的

2．列二次函数的关系式时，首先找出自变量的，再根据题目中的变量关系列式子

【达标运用】

1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：

单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）求出二次函数的顶点形式，并在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？

问题1

对应知识点：

（1）利润等量关系式

（2）一次函数

（3）二次函数的自变量取值范围

（4）二次函数的顶点形式

（5）二次函数的图象

（6）二次函数的最值

【精准突破1】

学习目标：

用一次函数描述两个变量之间的关系

目标分解：

（1）了解自变量和因变量

（2）理解一次函数中自变量和因变量之间是如何变化的

（3）掌握待定系数法求一次函数的解析式

教学过程：

【课堂引入】

汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．

①请同学们根据题意填写下表：

t/时

1

2

3

4

5

t

s/千米

②在以上这个过程中，变化的量是_____________。

不变化的量是__________。

③试用含t的式子表示s，s=________，t的取值范围是______。

这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程。

老师提问1：

什么是自变量？

什么是因变量？

老师提问2：

一次函数和二次函数都存在自变量和因变量，我们怎么区分两个变量之间是满足什么函数关系呢？

方法一：

通过图象进行比较

方法二：

通过列表进行比较

老师提问3：

总结一次函数变量之间的关系后，请同学们判断题中单价和日均销售之间满足什么函数关系式？

老师提问4：

同学们还记得一次函数待定系数法是怎么运用的？

步骤一：

设一次函数的解析式y=kx+b

步骤二：

找出两个在图象上的点坐标，分别代入解析式

步骤三：

联立方程组，解方程组

步骤四：

将所求的k和b，代入所设解析式，即为所求

老师提问5：

题中只有一个点坐标以及变化关系，我们能求出它们的一次函数关系式么？

步骤一：

在直角坐标系中确定已知点A的位置

步骤二：

根据变量的变化关系，完善图象

步骤三：

根据图象，我们可以确定一次函数与Y轴的交点B的坐标

步骤四：

利用A、B两点坐标，求出一次函数解析式

【精准突破2】

学习目标：

能列表分析题中有关利润变量之间的关系

目标分解：

（1）了解有关于销售的名词

（2）理解销售类名词之间的关系

（3）掌握利润和销售额的等量关系式

（4）运用表格分析法找出题中变量的逻辑关系

教学过程：

【课堂引入】

假如你是一家拉面馆的小老板，你一个月的能卖出5000碗拉面，每碗拉面5元，成本如下图，请问一碗拉面能赚多少钱？

一个月能赚多少钱？

老师提问1：

根据上面的例子中对利润的理解，请同学们标出例题中跟利润有关的量

老师提问2：

请找出售价、成本、收入、销售额以及利润之间的关系，并用等式表示出来．

老师提问3：

总利润的计算方式有哪几种？

老师根据学生的回答进行补充．

老师提问4：

引导学生根据利润相关等量关系式的理解，通过表格的方法找出例题中化工原料的市场价格、销售量、成本、日均收入以及日均利润．

请完善下面表格：

单价

日均销售

日均费用

日均收入

日均利润

没降价前

降1元

降2元

降到x元

【精准突破3】

学习目标：

能求二次函数一般形式中的最值

目标分解：

（1）了解二次函数的一般形式

（2）理解二次函数的顶点坐标

（3）理解二次函数的最值的概念

（4）掌握二次函数的一般形式求顶点坐标的方法

（5）运用二次函数的顶点坐标来求最值

（6）掌握二次函数的自变量取值范围对最值的影响

教学过程

【课堂引入】

假如波音飞机着陆后滑行的飞机着陆后滑行的距离S（单位：

m）与滑行的时间t（单位：

S）的函数关系式是

，我们作为机场的设计师，降落的跑道设计多长才合理呢？

老师提问1：

二次函数的一般形式是？

顶点形式是？

二次函数的顶点式和一般形式之间有什么联系？

老师提问2：

二次函数顶点坐标怎么理解？

处于二次函数图像的什么位置？

老师提问3：

二次函数的最值是指？

顶点坐标与最值的关系？

请学生们根据下面的例子总结出最值的特点．

【例1】请画出二次函数y=x2-2x+3的图形并求出顶点坐标，并指出该函数的最大值．

【例2】请画出二次函数y=x2-2x+3（-4＜x＜-2）的图形，并指出该函数的最大值．

【例3】请画出二次函数y=x2-2x+3（-2＜x＜3）的图形，并指出该函数的最大值．

【例4】请画出二次函数y=x2-2x+3（3＜x＜6）的图形，并指出该函数的最大值．

老师提问4：

画出问题中化工原料中单价与日均获利之间的函数关系图象的草图，并指出日均获利中的最大值

【参考答案】

解：

（1）设销售单价为x元，

则每千克降低（70-x）元，日均多销售出2（70-x）千克，

日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元．

故y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70）；

（2）∵函数y=-2x2+260x-6500可化为y=-2（x-65）2+1950的形式，

∴顶点坐标为（65，1950），

画出草图：

经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，为1950元；

1．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；

（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

【查漏补缺】

1．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：

这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：

t=-3x+204．

（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式；

（2）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？

【举一反三】

1．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？

比装修前客房日租金总收入增加多少元？

【方法总结】

总收入=单价

销售总额

单个利润=售价-进价（购买成本）-费用（其它成本）

总利润=总收入-总支出

总利润=单个利润

销售总额-费用

1．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

X（十万元）

0

1

2

…

y

1

1．5

1．8

…

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

第1天作业

1．某体育用品

商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）试确定y与x之间的函数关系式；

（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？

最大利润是多少元？

（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．

第2天作业

1．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：

如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．

（1）现该销售点每天盈利

600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？

（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？

第7天作业

1．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，

平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

第15天作业

1．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．

（1）设当月该型号汽车的销售量为

辆（

，且

为正整数），实际进价为

万元/辆，求

与

的函数关系式．

（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？

第28天作业

1．某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y＝－

x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润＝销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，

），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳

x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润＝销售额－成本－附加费）．

（1）当x＝1000时，y＝__________元/件，w内＝__________元；

（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？

若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司作出决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

教

学

反

思