高中物理竞赛动量能量习题.docx
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高中物理竞赛动量能量习题
高中物理竞赛
动量、能量习题
一、动量定理还是动能定理？
物理情形：
太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。
设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m，垃圾的运行速度可以忽略。
飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。
试求飞船引擎所应提供的平均推力F。
模型分析：
太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提。
建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异。
物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾。
先用动量定理推论解题。
取一段时间Δt，在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV=S·vΔt的空间，遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力。
PMvmnVvmnSvtv2
F=====nmSv
tttt如果用动能定理，能不能解题呢？
同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x=vΔt的位移，引擎推力F须做功W=Fx，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的ΔEk为零，所
以：
W=1ΔMv2
2
12
即：
FvΔt=（nmS·vΔt）v2
2
得到：
F=1nmSv2
2
两个结果不一致，不可能都是正确的。
分析动能定理的解题，我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能，因此，认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。
但在动量定理的解题中，由于I=
推力大小了。
这个解没有毛病可挑，是正确的。
（学生活动）思考：
如图1所示，全长L、总质量为M的柔软绳子，盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端，以恒定的水平速度v将绳子拉直。
忽略地面阻力，试求手的拉力F。
解：
解题思路和上面完全相同。
答：
Mv2答：
L
二、动量定理的分方向应用物理情形：
三个质点A、B和C，质量分别为m1、m2和m3，用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上，如图2所示，AB和BC之间的夹角为（π－α）。
现对质点C施加以冲量I，方向沿BC，试求质点A开始运动的速度。
模型分析：
首先，注意“开始运动”的理解，它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生，但是绳子的方位尚未发生变化。
其二，对三个质点均可用动量定理，但是，B质点受冲量不在一条直线上，故最为复杂，可采用分方向的形式表达。
其三，由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系
下面具体看解题过程绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I1，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I2；设A获得速度v1（由于A受合冲量只有I1,方向沿AB，故v1的反向沿AB），设B获得速度v2（由于B受合冲量为I1+I2，矢量和既不沿AB，也不沿BC方向，可设v2与AB绳夹
I2sinα=m2v1tgβ⑶
I－I2=m3v1（cosα+sinαtgβ）⑷
2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：
I1=m1v1㈠
I2cosα－I1=m2v1㈡
m2
3、最后对㈠㈡㈢式消I1、I2，解v1就方便多了。
结果为：
Im2cos
v1=22
m2（m1m2m3）m1m3sin2
（学生活动：
训练解方程的条理和耐心）思考：
v2的方位角β等于多少？
解：
解“二级式”的⑴⑵⑶即可。
⑴代入⑵消I1，得I2的表达式，将I2的表达式代入⑶就行了。
三、动量守恒中的相对运动问题物理情形：
在光滑的水平地面上，有一辆车，车内有一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态。
现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度。
第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为v，直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为v，直到将球抛完。
试问：
哪一过程使车子获得的速度更大？
模型分析：
动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意味着，本问题不能选车子为参照。
一般选地面为参照系，这样对“第二过程”的铅球动量表达，就形成了难点，必须引进相对速度与绝对速度的关系。
至于“第一过程”，比较简单：
N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的。
设车和人的质量为M，每个铅球的质量为m。
由于矢量的方向落在一条直线上，可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算。
设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为V1第二过程获得的速度大小为V2。
第一过程，由于铅球每次的动量都相同，可将多次抛球看成一次抛出。
车子、人和N个球动量守恒。
0=Nm（-v）+MV1
得：
V1=
①
设“系统”速度为u1
Nm
vM
第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用。
第一个球与（N–1）个球、人、车系统作用，完毕后，值得注意的是，根据运动合成法则v球地v球车v车地，铅球对地的速度并不
是（-v），而是（-v+u1）。
它们动量守恒方程为：
0=m（-v+u1）+〔M+（N-1）m〕u1
得：
u1=v
MNm
第二个球与（N-2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u2它们动量守恒方程为：
〔M+（N-1）m〕u1=m（-v+u2）+〔M+（N-2）m〕u2
得：
u2=
mm
v+vMNmM（N1）m
第三个球与（N-2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u3铅球对地的速度是（-v+u3）。
它们动量守恒方程为：
〔M+（N-2）m〕u2=m（-v+u3）+〔M+（N-3）m〕u3
即：
V2=
i1Mim
简通分）⋯
⋯，uN的通式已经可以找出：
得：
u3=v+
MNm
M
m
（N
v+
1）m
M
m（N
v
2）m
以此类推（过程注意：
先找uN和uN-1关系，再看uN和v的关系，不要急于化
M
m
v
Nm
+
M
m
（N
v
1）m
+
M
m（N
v
2）m
+
⋯+
m
Mm
我们再将①式改写成：
不难发现，①′式和②式都有N项，每项的分子都相同，但①′式中每项的分母都比②式中的分母小，所以有：
V1>V2。
结论：
第一过程使车子获得的速度较大。
（学生活动）思考：
质量为M的车上，有n个质量均为m的人，它们静止在光滑的水平地面上。
现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳。
第一过程，N个人同时跳下；第二过程，N个人依次跳下。
试问：
哪一次车子获得的速度较大？
解：
第二过程结论和上面的模型完全相同，第一过程结论为V1=
答：
第二过程获得速度大。
四、反冲运动中的一个重要定式
物理情形：
如图4所示，长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚），船头上有一个质量为m的人，也是静止的。
现在令人在船
上开始向船尾走动，忽略水的阻力，试问：
当人走到船尾时，船将会移动多远？
（学生活动）思考：
人可不可能匀速（或匀加速）走动？
当人中途停下休息，船有速度吗？
人的全程位移大小是L吗？
本系统选船为参照，动量守恒吗？
模型分析：
动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，要过渡到位移关系，需要引进运动学的相关规律。
根据实际情况（人必须停在船尾），人的运动不可能是匀速的，也不可能是匀加速的,运动学的规律应选择S=vt。
为寻求时间t，则要抓人和船的位移约束关系。
对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时刻”过程，应用动量守恒（设末态人的速率为v，船的速率为V），令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算，有：
0=MV+m（-v）即：
mv=MV由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系。
而且不难推知，对中间的任一过程，两者的平均速度也有这种关系。
即：
mv=MV
①
设全程的时间为t，乘入①式两边，得：
mvt=MVt
设s和S分别为人和船的全程位移大小，根据平均速度公式，得：
ms=MS②
受船长L的约束，s和S具有关系：
s+S=L
③解②、③可得：
船的移动距离S=mL
Mm（应用动量守恒解题时，也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与分解的定式。
时间允许的话，可以做一个对比介绍。
）
另解：
质心运动定律人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度→系统质心无位移。
先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x表达。
根据力矩平衡知识，得：
），又根据，末态的质量分布与初态比较，相对整
2（mM）体质心是左右对称的。
弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌。
（学生活动）思考：
如图5所示，在无风的天空，人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡，人和气球地质量分别为m和M，此时人离地面高h。
现在人欲沿悬索下降到地面，试问：
要人充分安全地着地，绳索至少要多长？
解：
和模型几乎完全相同，此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）。
mM
答：
h。
M
这样，特征就明显了：
质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和MR的
Mm椭圆。
五、功的定义式中S怎么取值？
在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等，S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢？
我们先看下面一些事例。
1、如图9所示，人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动。
试问：
人是否做了功？
2、在本“部分”第3页图1的模型中，求拉力做功时，S是否可以取绳子质心的位移？
3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼。
楼梯是否做功？
4、如图10所示，双手用等大反向的力F压固
定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离S，汽缸中封闭气体被压缩。
施力者（人）是否做功？
在以上四个事例中，S若取作用点位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动，而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受力者）质心位移，只有第2、3例是做功的，而且，尽管第2例都做了功，数字并不相同。
所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧。
面对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点。
第1例，手和讲台面摩擦生了热，内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功。
S宜取作用点的位移；
第2例，求拉力的功，在前面已经阐述，S取作用点位移为佳；第3例，楼梯不需要输出任何能量，不做功，S取作用点位移；第4例，气体内能的增加必然是由人输出的，压力做功，S取作用点位移。
但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理，第1例，人对讲台不做功，S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例，气体宏观动能无增量，S取质心位移。
（第3例的分析暂时延后。
）以上分析在援引理论知识方面都没有错，如何使它们统一？
原来，功的概念有广义和狭义之分。
在力学中，功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。
所以功也可定义为能量转换的量度。
一个系统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度。
能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化。
由此可见，上面分析中，第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功，它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已。
而且，我们不难归纳：
求广义的功，S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移。
那么我们在解题中如何处理呢？
这里给大家几点建议：
1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功。
当然，求解功地问题时，还要注意具体问题具体分析。
如上面的第3例，就相对复杂一些。
如果认为所求为狭义的功，S取质心位移，是做了功，但结论仍
然是难以令人接受的。
下面我们来这样一个处理：
将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对理想的组合：
刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11所示），人
每一次蹬梯，腿伸直将躯体重心上举，等效为弹簧将刚性物体举起。
这样，我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面，人既是输出能量（生物能）的机构，也是得到能量（机械能）的机构——这里的物理情形更象是一种生物情形。
本题所求的功应理解为广义功为宜。
以上四例有一些共同的特点：
要么，受力物体情形比较复杂（形变，不能简单地看成一个质点。
如第2、第3、第4例），要么，施力者和受力者之间的能量转化不是封闭的（涉及到第三方，或机械能以外的形式。
如第1例）。
以后，当遇到这样的问题时，需要我们慎重对待。
学生活动）思考：
足够长的水平传送带维持匀速v运转。
将一袋货物无初
速地放上去，在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f，对地的位移为S。
试问：
求摩擦力的功时，是否可以用W=fS？
解：
按一般的理解，这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移。
注意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题，仔细分析，不难发现，每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S。
（另解：
求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和。
）
答：
否。
（学生活动）思考：
如图12所示，人站在船上，通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。
试问：
缆绳是否对船和人的系统做功？
解：
分析同上面的“第3例”。
答：
否。
六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合
物理情形：
如图13所示，直角形的刚性杆被固定，水平和竖直部分均足够长。
质量分别为m1和m2的A、B两个有孔小球，串在杆上，且被长为L的轻绳相连。
忽略两球的大小，初态时，认为它们的位置在同一高度，且绳处于拉直状态
现无初速地将系统释放，忽略一切摩擦，试求B球运动L/2时的速度v2。
模型分析：
A、B系统机械能守恒。
A、B两球的瞬时速度不等，其关系可据
“第三部分”知识介绍的定式（滑轮小船）去寻求。
（学生活动）A球的机械能是否守恒？
B球的机械能是否守恒？
系统机械能守恒的理由是什么（两法分析：
a、“微元法”判断两个WT的代数和为零；b、无非弹性碰撞，无摩擦，没有其它形式能的生成）？
由“拓展条件”可以判断，A、B系统机械能守恒，（设末态A球的瞬时速率为v1）过程
的方程为：
L
，设绳子的瞬时迁移速率为v，根
m2g2=在末态，据“第三部分”知识介绍的定式，有：
v1=v/cos30°,v2=v/sin30
1212
m1v1+m2v2
211222
绳与水平杆的瞬时夹角为30
两式合并成：
v1=v2tg30°=v2/3
m1m2
七、动量和能量的综合
（一）
物理情形：
如图14所示，两根长度均为L的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接，另一端分别与质量为m和2m的小球相连。
将此装置的两杆合拢，铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下，使两小球向两边滑动，但两杆始终保持在竖直平面内。
忽略一切摩擦，试求：
两杆夹角为90°时，质量为2m的小球的速度v2。
模型分析：
三球系统机械能守恒、水平方向动量守恒，并注意约束关系——两杆不可伸长。
（学生活动）初步判断：
左边小球和球形铰链的速度方向会怎样？
设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v1（方向：
水平向左），球形铰链的速度为v直方向夹θ角斜向左），
有：
对题设过程，三球系统机械能守恒，
v2cos45
右边杆子不形变，有：
vcos（45°+θ）
v1、v2
四个方程，解四个未知量
v和θ），是可行的。
推荐解方程的步骤如下——
1、③、④两式用v2替代v1和v，代入②式，解θ值，得：
tgθ=1/4
2、在回到③、④两式，得：
3、将v1、v的替代式代入①式解v2即可。
结果：
v2=3gL（22）
20
（学生活动）思考：
球形铰链触地前一瞬，左球、铰链和右球的速度分别是多少？
解：
由两杆不可形变，知三球的水平速度均为零，θ为零。
一个能量方程足以解题。
答：
0、2gL、0。
（学生活动）思考：
当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？
解：
水平方向用“反冲位移定式”，或水平方向用质心运动定律。
答：
3L。
8
进阶应用：
在本讲模型“四、反冲⋯⋯”的“进阶应用”（见图8）中，当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？
解说：
此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识，数学运算比较繁复，是一道考查学生各种能力和素质的难题。
据运动的合成，有：
v点半球=v点地+v地半球=v点地-
v半球地
其中v半球地必然是沿地面向左的，为了书写方
便，我们设其大小为v2；v点半球必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的，设大小为v相。
根据矢量减法的三角形法则，可以得到v点地（设大小为v1）的示意图，如图16所示。
同时，我们将v1的x、y分量v1x和v1y也描绘在图中。
由图可得：
v1y=（v2+v1x）tgθ质点和半球系统水平方向动量守恒，有：
Mv2=mv1x
1
12m（v12x+v12y）③
v2、v1x、v1y）是可行的，但数学运算繁复，推
1、由①、②式得：
v1x=
M
v2，
m
v1y=（mMtgθ）v2m
2、代入③式解v2
，得：
v=
2
2mgR（1
cos
）
22
22
M2
Mm（M
m）
2tg2
3、由v12
=
2
v1x+
2
v1y
解
v1，
得：
v1
2222
2gR（1cos）（M22Mmsin2m2sin2）
=22
M2Mmm（Mm）sin2
v相
R
这就是最后的解。
一个附属结果：
质点相对半球的瞬时角速度ω
2g（mM）（1cos）
运动。
车第三次碰墙，⋯⋯共同速度v3=3=3v3，朝墙运动
以此类推，我们可以概括铁块和车的运动情况——铁块：
匀减速向右→匀速向右→匀减速向右→匀速向右⋯⋯平板车：
匀减速向左→匀加速向右→匀速向右→匀减速向左→匀加速向右→匀速向右⋯⋯
显然，只要车和铁块还有共同速度，它们总是要碰墙，所以最后的稳定状态是：
它们一起停在墙角（总的末动能为零）。
1、全程能量关系：
对铁块和车系统，－ΔEk=ΔE内，且，ΔE内=f滑S相，12
即：
（m+M）v=μmg·S相
2
代入数字得：
S相=5.4m
2、平板车向右运动时比较复杂，只要去每次向左运动的路程的两倍即可。
而向左是匀减速的，故
n次碰墙的总路程是：
ΣS=2（S1+S2+S3+⋯
+Sn
）=
v21
a（1+32+a3
1
314+⋯
+2（1n1））
2（n1）
32（n1）
2=v
（1+312
1
1
⋯+2（n1））
+4
+
mg
32
34
32（n1）
M
碰墙次数n→∞，代入其它数字，得：
ΣS=4.05m
（学生活动）质量为M、程度为L的木板固定在光滑水平面上，另一个质量为m的滑块以水平初速v0冲上木板，恰好能从木板的另一端滑下。
现解除木板的固定（但无初速），让相同的滑块再次冲上木板，要求它仍能从另一端滑下，其初速度应为多少？
2解：
由第一过程，得滑动摩擦力f=mv0。
2L第二过程应综合动量和能量关系（“恰滑下”的临界是：
滑块达木板的另一端，和木板具有共同速度，设为v），设新的初速度为v0
mv0=（
1（m+M）v2=fL
2
12
mv0
20解以上三式即可。
答：
mM
v0=Mv0。
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