甘肃省兰州市第一中学届高三上学期期中考试数学理.docx
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甘肃省兰州市第一中学届高三上学期期中考试数学理
兰州一中2019-2020-1学期期中考试试题
高三数学（理科）
说明：
本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2．设
，则
（）
A．2B．
C．
D．1
3．已知
，则
=（）
A．
B．3C．6D．12
4．下列说法不正确的是（）
A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”
B．“
”是“
”的充分不必要条件
C．若
为假命题，则
均为假命题
D．若命题：
“
，使得
”，则
“
，均有
”
5．已知平面向量
满足
，且
，则
与
的夹角为（）
A．
B．
C．
D．
6．设
，若2是
与
的等比中项，则
的最小值为（）
A．16B．8C．4D．2
7．若双曲线
的一条渐近线被圆
所截得的弦长为2，则双
曲线
的离心率为（）
A．2B．
C．
D．
8．某程序框图如图所示，则输出的结果
等于（）
A．43B．28C．16D．7
9．函数
的图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
10．我国古代数学名著
九章算术
记载：
“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：
“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如上图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为
A．
B．160C．
D．64
11．若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
，若函数
有
个零点，则实数
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．甲、乙两校各有3名教师报名支教．若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为_______.
14．直线
与抛物线
交于
两点，且
经过抛物线的焦点
，已知
，则线段
的中点到准线的距离为__________．
15．已知定义域为
的奇函数
满足
，且当
时，
，
则
_______.
16．已知向量
满足
，则
的最大值为_____.
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
共60分．
17．（本题满分12分）已知函数
的图象的相邻两条对称轴的距离是
，当
时
取得最大值2．
（1）求函数
的解析式；
（2）若函数
的零点为
，求
．
18．（本题满分12分）已知等比数列
的前
项和为
成等差数列，且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
.
19．（本题满分12分）如图，在
中，
，点
在
边
上，
，
为垂足.
（1）若
的面积为
，求
的长；
（2）若
，求角
的大小.
20．（本题满分12分）设函数
（
为常数）.
（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；
（2）若函数
在
内存在唯一极值点
，求实数
的取值范围，并判断
是
在
内的极大值点还是极小值点.
21．（本题满分12分）已知函数
（
为实数常数）
（1）当
时，求函数
在
上的单调区间；
（2）当
时，
成立，求证：
．
（二）选考题：
共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本题满分10分）（选修4-4：
坐标系与参数方程）
在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）
为曲线
上的动点，点
在线段
上，满足
，求点
的轨迹
的直角坐标方程；
（2）设点
的极坐标为
，点
在曲线
上，求
面积的最大值．
23．（本题满分10分）（选修4-5：
不等式选讲）
已知函数
的最小值为M．
（1）求M；
（2）已知实数
满足
，求
的最小值．
兰州一中2019-2020-1学期高三年级期中考试试题
数学（理科）答案
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
B
C
C
B
A
B
C
A
A
D
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
14.
15.
16.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.
17．（本题满分12分）已知函数
（
）的图象的相邻两条对称轴的距离是
，当
时取得最大值2．
（1）求函数
的解析式；
（2）若函数
的零点为
，求
．
【解析】
（1）由题意知，振幅A=2，周期T=
，∴
，∴
．
将点
代入得：
，又
，故
．
∴
．……………………6分
（2）由函数
的零点为x0知：
x0是方程
的根，故
，
得sin（2x0+
）=
又（2x0+
）+（
-2x0）=
，
∴
．……………………12分
18．（本题满分12分）已知等比数列
的前
项和为
成等差数列，且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
.
【解析】
（1）设等比数列
的公比为
，
由
成等差数列知，
，所以
，即
.
又
，所以
，所以
，
所以等比数列
的通项公式
.……………………6分
（2）由
（1）知
，所以
所以数列
的前
项和：
.……………………12分
19．（本题满分12分）如图，在
中，
，点
在边
上，
，
为垂足.
（1）若
的面积为
，求
的长；
（2）若
，求角
的大小.
【解析】
（1）由已知得
又
解得
，在
中，由余弦定理得
∴
即
的长为3.……………………6分
（2）由已知得，
为
中点，∴
，
在
中，由正弦定理得
，所以
，
又
，所以
，
∴
，∴
，又
，∴
.………………12分
20．（本题满分12分）设函数
（
为常数）.
（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；
（2）若函数
在
内存在唯一极值点
，求实数
的取值范围，并判断
是
在
内的极大值点还是极小值点.
【解析】
（1）当
时，
，
，
所求切线的斜率
，又
.
所以曲线
在
处的切线方程为
.……………………5分
（2）
.
又
，则要使得
在
内存在唯一极值点，则
在
存在唯一变号零点，即方程
在
内存在唯一解，即
与
在
范围内有唯一交点.设函数
，则
，
在
单调递减，又
；当
时，
时，
与
在
范围内有唯一交点，设为
.
当
时，
，
，则
，
在
为减函数；当
时，
，则
，
在
为增函数.即
为函数
的极小值点.
综上所述：
，且
为函数
的极小值点.……………………12分
21．（本题满分12分）已知函数
（
为常数）
（1）当
时，求函数
在
上的单调区间；
（2）当
时，
成立，求证：
．
【解析】
（1）
，
当
时，由
得
，解得
，
由
得
，解得
，
所以函数
在
的单调递增区间是
，单调递减区间是
．……5分
（2）当
时，由
得
即
恒成立（*），
设
，则
，由题可知
①当
时，
，所以
在
上单调递增，
，可知
且
时，
，使得
，可知（*）式不成立，则
不符合条件；
②当
时，
，所以
在
上单调递减，
，可知（*）式成立，则
符合条件，所以
成立；
③当
时，由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递增，可知
在
上单调递减，
所以
，由（*）式得
，
设
，则
，所以
在
上单调递减，
而
，
，可知
．
综上所述，
．……………………12分
22．（本题满分10分）在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）
为曲线
上的动点，点
在线段
上，且满足
，求点
的轨迹
的直角坐标方程；
（2）设点
的极坐标为
，点
在曲线
上，求
面积的最大值．
【解析】
（1）设点
的极坐标为（
）（
＞0），
的极坐标为
（
），由题设知
=
，
=
.
由
得
的极坐标方程
因此
的直角坐标方程为
.…………………5分
（2）设点
的极坐标为
（
）.则
，于是
面积
当
时，
的面积取得最大值
.
所以
面积的最大值为
.……………………10分
23．（本题满分10分）已知函数
的最小值为M.
（1）求M；
（2）若实数
满足
，求
的最小值.
【解析】
（1）
，如图所示：
∴
，∴
.……………………5分
（2）由
（1）知
∴
∴
∴
∴
，当且仅当
，
，
时值最小.
∴
的最小值为3.……………10分
（注：
柯西不等式也可）
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