二项式定理典型例题.docx

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二项式定理典型例题

高考数学专题复习二项式定理练习题

1.在二项式的展开式屮，前三项的系数成等差数列，求展开式屮所有有理项.

I2

分析：

本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.

解：

二项式的展开式的通项公式为：

2n」r

Ty=C：

（Jx）2

C/F

1

n,t3

2

得系数为：

ti=1,t2

n（n—（）,

z248

1由已知：

2t2t3n=1n（n—1）,

8

n=8

通项公式为

一16J3r

1……

TTiziC：

-rX4r=0,1,2_8,Tn为有理项，故16-3r是4的倍数，

2

r=0,4,8.

—X2•

256

得到了有理项.类

依次得到有理项为Ti=x4,Ts=C；丄x=*35x,Tg=C8wx,

282

说明：

本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值,

似地，（、“2汽3）1°。

的展开式中有多少项是有理项？

可以通过抓通项中r的取值，得到共有系

数和为3n•

2.⑴求（1-X）3（1*X）10展开式屮"的系数；⑵求（X1*2）6展开式屮的常数项.

X

分析：

本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，

（1）可以

视为两个二项展开式相乘；

（2）可以经过代数式变形转化为二项式.

解：

d）（1-x）3（1-X）10展开式屮的0可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

用（1・X）3展开式屮的常数项乘以（1X）"展开式中的X5项，可以得到C；咲5；用

310444

（1・X）展开式中的一次项乘以（1X）展开式中的X项可得到（-3x）（Crx）=-3CwX:

位。

10Q233353

用（1—X）3中的x2乘以（1・xy°展开式中的X3可得到3xCwX=3CioX；用（1—X）3中的

X3项乘以（1x）1°展开式中的冷项可得到-3x3CoX2--CoX5,合并同类项得X5项为:

_c4o-3C；o—G:

）x'—63x'.

（2）x+l+2=（仮+丄］

X

（宀5+刊•

由

展开式的通项公式T19?

（・2严

CAx6J,可得展开式

的常数项为C；2二924.

说明：

问题

（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决.

26c

3•求（1-X-X）展开式中X5的系数.

分析：

（1・X-X2）6不是二项式，我们可以通过

1-X-X2=（1-x）-X2或1・（x-x2）

把它看成二项式展开.

解：

方法一：

（1X・X2）6=（1•x）-x2f

65244

=（1x）-6（1x）x15（1x）x-

其中含X5的项为C：

X5-6C；X515C4X5=6x5.

含塔项的系数为6.

方法二：

（1x-X2）6=1（x-X2）F

=16（X-X2）-15（x-X2）220（x-X2）315（x-X2）46（x-x2）5（x-x2）6

其中含X5的项为20（-3）X515（-4）x56X5=6X5.

二x5项的系数为6.

方法3:

本题还可通过把（1X?

）6看成6个1-X-x2相乘，每个因式各取一项相乘

可得到乘积的一项,

X5项可由下列几种可能得到.5个因式中取x

-个取1得到CeX5.

313

3个因式屮取x,—个取两个取1得到CeCsX・（-X）.

1个因式屮取X,两个取・X2,

1222

三个取1得到CeCsX{-X）-

合并同类项为（C；-W,

C；c5）x5=6x5,X5项的系数为6•

1

4•求证：

（1）Cn-2Cn

n

nCn二

1（2n1-1）•

n+1

C°Cn・C2

・C：

（2）Cn6：

1Cn

23

分析：

二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式

将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质

解：

⑴「=—n!

一二n•Z二ncn；k!

（n—k）!

n!

（k-1）!

（n—k）!

（n-1）!

（k_1）!

（n+k）!

•••左边=口C°_L+nC]_i+…+n

=n（C°j-Cnj・Cnbn2nJX右边.

丄C）丄一n!

—

k1k1k!

（n-k）!

（k-1）!

（n-k）!

（n1）!

n1（k1）!

（n-k）!

n1

1（2n1-1）=右边.

•左边二亠cr+—ch+…+丄n1n1

n1n1

说明：

本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质

求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定

理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：

求

9108978

2C102C102Cw

2

-2Cw10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与

（12）1°的展开式接近，但要注意:

（1b2）iaCooCo2Co

22

•...Co

-29-Cw-210

=121022C0

29C：

o21oCio

2

-12（102Cr

89

2Go

910

2Cw）

从而可以得到：

10•2Cio>280：

o.29C；0二丄（310_1）-

2

5.利用二项式定理证明：

32n2・8n-9是64的倍数.

分析：

64是8的平方，问题相当于证明32n°—8n・9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32n2=9n1=（8-1）n1,将其展开后各项含有8b与序的倍数联系起

来.

解：

・/3勿2・8n_9

=9n1_8n_9=（81）n1_8n_9

n11nn」2n

=8+Cn屮8+…+C丄8+Cn4i8+1—8n—9

-8n1C；i8n...1寸828（n1）1-8n_9

=8n1Cm8n……C行82

=（8n1C18%㈡；）64是64的倍数

说明：

利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.

10

&若将（x-y•z）展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）.

A.11B.33C.55D.66

1010

分析：

（x•y•z）看作二项式[（xy）z]展开.

解：

我们把丫乙看成仪⑷乙按二项式展开，共有11“项”，即

10

（xyZ）10=[（x-y）■z]10=»CA（x-y）10J

k=0

这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式（x・y）10oM开，

不同的乘积G0（x-y）10，zk（k=0,1,…,10）展开后，都不会出现同类项.

下面，再分别考虑每一个乘积G0（x-y）10*zk（k=0,1,…，10）.

其中每一个乘积展开后的项数由（x•y）w*决定，

而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.

故原式展开后的总项数为1110A66,

•••应选D.

后写出通项，令含X的幕指数为零,

n

解：

当x>0时x+丄I

x丿

进而解出

・2n

L-

IT

•、x・

人1二C；n（、X严（-1）r=

（-1）rC2rnC.X）2n，r,

vx

令2n-2r=0,得n=r,

•••展开式的常数项为（「）nC；n

当X：

0时，X1—2十1）n

x-2转化为

、2n

仟占•然

同理可得，展开式的常数项为（_1）门C：

n

无论哪一种情况，常数项均为（_1）nC；n

令（・1）nC；n20,以1,2,3,…，逐个代入，得n=3项小于第4项，贝Ux的取值范围是

3X

3•10.I.G+丄〕的展开式的第

分析：

首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项,

再根据题设列出不等式即可.

〔厂、I0

解：

使吋x+亍二I有意义，必须XA0:

依题意，有T3:

:

:

T4，即G2Q〉

109-10981

\Z••■

213213x

解得。

乂魯648•

o、

9.若x+丄一2I的展开式的常数项为—20,求n•x丿

分析：

题中x=0,当x0时，把三项式

x2）二（X-丄）；当xcO时，同理x+二一2|=（-1

xx

•••X的取值范围是

•应填：

0■x

x0

9

85648.

Q

1:

2：

3,这三项是第几项？

若

11.已知（XbgN•i）n的展开式中有连续三项的系数之比为展开式的倒数第二项为

解：

设连续三项是第k

k2项伙A/且k1），则有

112,求x的值.

2:

3,

n!

n!

k!

（n・k）!

1：

2：

3

（k1）（n-k-1）!

（n-k）（n-k1）

k（n-k）

1：

2：

3.

・k（nk）

（n_k）（n_k+1）

k（k1）2

k（n-k）-3

2n-k+1-2

=n=14,

g_2

（n-k）-3

k=5所求连续三项为第5、6、7三项.又由已知,

Ci143x'°92a112.即x'°92X=8.

两边取以2为底的对数，（log2X）J3,

log2X=

.3,

-x=23,或x=2『弓.

说明：

当题目屮已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.

12.（12x）n的展开式屮第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项

和系数最大的项.

分析：

根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项.

解:

Te=Cn（2x）5,T7二C；（2x）6,依题意有

C；25=C；二n=8.

8444

•（12x）的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C8（2X）-1120x.

设第r1项系数最大，则有

c8-2>c8a

c8-2r

•••r二5或r=6（vr•二0,1,2,,8）.

•••系娄最大的项为：

Te=1792x5,T7=1792x6

说明：

（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时屮间两项的二

项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.

（2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.

13.设f（xH（1x）m（1x）n（m,n・N.）,若其展开式屮关于x的一次项的系数和

2

为11,问rn,n为何值时，含x项的系数取最小值？

并求这个最小值.

分析：

根据已知条件得到

最小值问题.

2

X的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨

解：

CmC：

=nm=11.

22

mnf11

（n

ii2yy

2）4

11

5.5等距离，且对n・N,5、6距5.5最近，所以（n

2

）2

99

的最小值在门二5或门二6

4

110-2mn2

2

处取得.

若（3x-1）7=a7X7a6X6亠Aaixao,

*3

3§a?

；（3）a。

"aia?

亠亠a?

；

（2）ai

a?

w4a6.

解:

⑴令x=0,则ao--1,

令x=1,贝ija?

aA—ai•ao=27=128.

•-aia2az=129.

由①2②得：

aa3asa?

J[128_（-4）7]=8256

22

⑶由」得：

2

a°a?

84.

1/、

（（a?

aeasa4a3a2aiao）

2

•（-3?

■a6-3534-3332~3i■3o）]

1[128（J）7]=£128.

说明：

（1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法•这是一种重要的方法，它适用于恒等式.

（2）—般地，对于多项式g（x）=（px・q）nz:

a°-a/・a?

x•anXn,g（x）的各项

的系数和为g

（1）：

1

g（x）的奇数项的系数和为・[g

（1）g（-1）].

常数项为1,（x2）5的展开式中x的系数为C524,常数项为25•

因此原式中x的系数为C525C52a240•

解法3：

将（X23x2）5看作5个三项式相乘，

展开式屮x的系数就是从其中一个三项式屮取3x的系数3,

从另外4个三项式屮取常数项相乘所得的积，即C53C4・24=240•

•••应选B•

I39

19•已知的展开式屮x3的系数为一，常数a的值为

I丿4

分析：

利用二项式的通项公式.

解：

在的展开式屮,

通项公式为山二C；・lx

二C；（u）ra9J

根据题设,

T9諾ax3•

16

3

-r-A3,所以r=8•代入通项公式，得

根据题意’9a3wa=4.164

•应填：

4-20.若n・N・，求证明：

32n3-24n・37能被64整除

分析：

考虑先将3勿3拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开.

解：

32n3-24n37

=332n2_24n37

=39n1-24n37

=3（81）n1-24n37

=3[Ch8n41+C：

十8n+C：

十8心十…+Ch8+C：

*]-24n+37

-3[8n1C：

i8nW*>（n1）81]-24n37

=3[8n1Cm8nCn\8n，C：

:

82（8n9）]-24n37=382[8nA+Cn+8n<+C：

十'8心+…+C：

*]+3（8n+9）—24n+37

=364[8n-+Cn_i8门~+CA8心+..J+64,

-8nA,Cn+8nA,需卅8心，…均为自然数，

•••上式各项均为64的整数倍.

•••原式能被64整除.

说明：

用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的

和式，再展开证Z•该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷.

2

21.已知於3x2）n的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992-

（1）求展开式屮二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项.

分析：

先由条件列方程求出n・

（1）需考虑二项式系数的性质；

（2）需列不等式确定r・

解：

令x=1得展开式的各项系数之和为（13）A22n,而展开式的二项式系数的和为

C°C1CnCn=2n,

.•.有22n_2n=992-

•n=5•

（D-n=5,故展开式共有6,其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.

2

2.3\32.26

・」3-c5（x）（3x）90x,

222

T4二C：

（x和2（3x2）3=270xA

（2）设展开式屮第r1项的系数最大.

2104r

t/3、5・r2.rrrt

r1=C5（x3）（3x）^L53'

c53r_C5V

C53rC13r1

r6-r

丄芋

-5—r

解得Yr2

r-4,即展开式中第5项的系数最大.

226

Ts=CS（X3）1（3X04=405X3

说明：

展开式屮二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦

不同.前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求岀几

个r,这时还必须算出相应项的系数后再比较大小.

22.求二项式（a-2b）4的展开式.

解：

根据二项式定理得（a-2b）4=C04a4+C14a3（-2b）+C24a2（-2b）2+C34a（-2b）3+C44（—2b）4=a4—8a3b+24a2b2—32ab3+16b4.

在（x3x2）的展开式中x的系数为（）.

A.160B.240C.360D.800

分析：

本题考查二项式定理的通项公式的运用•应想办法将三项式转化为二项式求解.

解法由（X23X2）5-[（X23X）2]5,

得Ti二C；（x2•3x）5J<2k

二C；2k（x23x）5*.

再一次使用通项公式得，T「二C；<2kC；*3rx10Jk,,

这里0岂k乞5,0乞r岂5・k.

令10—2k—r=1,即卩2kr=9.

所以r-1,k=4,由此得到x的系数为C；<243=240.

解法2：

由（x23x2）A（x1）5（x2）5,知（x1）5的展开式中x的系数为C；