第10章湍流边界层.docx
《第10章湍流边界层.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第10章湍流边界层.docx（51页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第10章湍流边界层
第10章湍流边界层
10.1壁面湍流特性和速度分布规律
当边界层内流体及管内流体处于层流流动状态时，流体受到壁面的限制仅仅表现在粘性切应力作用下，进行粘性旋涡的扩散；而当处于湍流流动状态时，流体受到壁面的限制则是在粘性切应力和湍流附加切应力的同时作用下，进行旋涡的扩散。
由于湍动旋涡的扩散速度远大于粘性旋涡扩
散的速度，因此，在相同条件下，湍流速度边界层的厚度要比层流速度边界层厚。
但在高雷诺数
的条件下，湍流速度边界层仍是贴近壁面的薄层，因此，建立湍流边界层方程的前提条件与层流时相同。
但是，由于两种切应力的作用，湍流速度边界层的结构要比层流速度边界层复杂得多。
因此,
一定要先了解壁面湍流的分层结构和时均速度分布规律。
10.1.1壁面湍流分层结构及其特性
在壁面湍流中，随着壁面距离的变化，粘性切应力和湍流附加切应力各自对流动的影响也发生变化。
以y表示离开壁面的垂直距离，随着y的增加，粘性切应力的影响逐渐减小，而湍流附加切应力的影响开始不断增大，而后逐渐减小。
这就形成了具有不同流动特征的区域。
壁面湍流速
度边界层可以分为内层（壁面区），包括粘性底层、过度层（重叠层）和对数律层（完全湍流层）；
外层，包括尾迹律层和粘性顶层（间歇湍流层）。
定义
（10.1.1）
以下对各
因为v*具有速度的量纲，故称为壁面切应力速度，它在湍流中是一个重要的特征速度层的划分做详细说明。
粘性底层：
所在厚度约为0y5匚，其内粘性切应力起主要作用，湍流附加切应力可以忽
v
略，流动接近于层流状态，因此在早期研究中称之为层流底层。
由于近期的实验研究，观察到该
层内有微小旋涡及湍流猝发起源的现象，因此称为粘性底层。
过渡层：
所在厚度约为5ry30=，其内粘性切应力和湍流附加切应力为同一数量级，流
vv
动状态极为复杂。
由于其厚度不大，在工程计算中，有时将其并入对数律层的区域中。
对数律层：
所在厚度约为30ry1O3~V0.2，其内流体受到的湍流附加切应力大于粘
vv
性切应力，因而流动处于完全湍流状态。
由这三层组成的内层，称为三层结构模式，若将过度层归入对数律层，则称为两层结构模式。
外层中的尾迹律层和粘性顶层所在厚度分别约为103=y0.4和0.4y。
对于尾迹
v
律层，层内流体受到的湍流附加切应力远远大于粘性切应力，流动处于完全湍流状态，但与对数律
层相比，湍流强度已明显减弱；对于粘性顶层，由于湍流的随机性和不稳定性，外部非湍流流体不
断进入边界层内而发生相互掺混，使湍流强度显著减弱，同时，边界层内的湍流流体也不断进入临近的非湍流区，因此，湍流和非湍流的界面是瞬息变化的，具有波浪的形状。
因此，所谓湍流速
度边界层厚度是平均意义上的厚度。
实际上，湍流峰可能伸到之外，而外流的势流也可以深
入到之内。
这就是导致粘性顶层内的流动呈现间歇性的湍流，即在空间固定点上的流动有时是湍流，有时是非湍流。
10.1.2光滑壁面内层的时均速度分布
这个区域一般假设为常应力区域。
若用y1表示无量纲离壁面距离，则对于光滑壁面,
存在如下无量纲函数关系:
Vxf
*fyv
其中Vx表示湍流的时均速度。
（10.1.2）
1•粘性底层（0y5r）
V
这一层紧贴壁面，在早期的研究中一度认为该层流态是层流，直到最近才在研究中发现这一层的流动中有小涡存在，湍流的猝发大都起始于该层。
该层中，湍流的附加切应力很小，通常可以
忽略不记。
根据Prandtl的混合长度理论，有：
dVx
对上式进行积分，考虑到当y=0时，Vx
（10.1.3）
0，可以得到时均速度的分布式为:
ww
Vx—y——y（10.1.4）
-vyv
Vx厂，y
V
所以有
Vxy
可见，速度分布是线性的。
因此，粘性底层又称为线性底层。
2.过渡层（5ry
V
30r）V
注意到无量纲速度和无量纲离壁面距离:
由于在该层中，两种切应力为同一数量级，流动现象极为复杂，分析起来也极为困难，因此,通常由实验来确定时均速度的分布：
心51ln3.055ln以（10.1.5）
3•对数律层（30=y103r0.2）
vv
该层处于内层的外部区域。
由理论和实验研究表明，该层中，湍流附加切应力远远大于粘性
切应力，粘性切应力可以略去不计。
有：
Vx
Vx
（10.1.6）
对于内层，通常假设
kv*y，代入上式，并且考虑到v*
vx
，整理可得:
*Ivx
vky——y
转换成相应的无量纲形式得
匹丄
dyky
（10.1.7）
（10.1.8）
积分上式，得
vx
Inyk
（10.1.9）
通常根据实验取k=0.4，C=5.5（或5），于是对数律层的速度分布为
（10.1.10）
vx2.5lny5.5
如果采用不计过度层的两层结构模式，可以认为粘性底层与对数律层的分界面在y10.8处,
由于该处也属于粘性底层，因此有
v
y10.8
（10.1.11）
对式（10.1.8）进行积分得
vx
1y1
10.8
dvxdy
xk10.8y
（10.1.12）
即
vx
1y
10.8-ln
（10.1.13）
k10.8
取k=0.41，整理上式，可得
vx
2.441ny5.0
（10.1.14）
可见，上式与式
（2）相符合，这说明了内层若按两层划分，只要适当选取粘性底层与对数律层的分界面，所得的对数律层的速度分布与按三层划分的对数律层的分布是一致的。
可以看出对数律
层内的时均速度分布是对数形式，虽然这是在某些限定的简化条件下得出的，但是却与实验相符合。
10.1.3外层时均速度分布
根据实验观察，由于壁面的滞止作用，外层中的时均速度仍然低于边界层外的势流速度V，但
其受壁面的影响比内层要大大减弱，并且比较明显的受到沿壁面在流动方向上压力梯度业的影
响。
当引用亏损速度VVx时，根据实验存在函数关系式:
1•尾迹律层（10’=y0.4）
v
湍流强度与对数律层相比已
这一层中，流动已经完全进入湍流状态，湍流应力起主要作用经明显减弱。
这一层中的时均速度分布用亏损速度来表示是：
VVx1y
-—InA（10.1.16）
vk
前面已经介绍过k=0.4，由实验研究表明，对于管内流动和边界层流动，k都是此值。
而常数C
的数值对于这两种流动有明显的不同：
对于管内的流动C0.65，而对于边界层流动C2.35
2•粘性顶层（0.4y）
由于粘性顶层内流动呈现间歇性的湍流，流动现象十分复杂，时均速度分布主要由实验来确定,
可表示为:
VVx
*
V
2
9.61-
（10.1.17）
10.1.4通用速度分布公式
上面应用了湍流时均动量方程与Prandtl混合长度理论的假设，以及量纲分析和实验材料，分别得出壁面湍流的各层速度分布。
实际上，这种机械地将湍流分层，所得到的时均速度分布表达
式有可能使速度分布在某些层与层之间不连续，以致于当利用热量和动量比拟的方法求解温度分布时，在相应层间，温度梯度也可能是不连续的。
特别是温度分层公式在应用上是不方便的，因此，
许多学者都力图求得适合整个内层的时均速度分布的表达式，进而可以求得相应的温度分布表达式。
湍流时均动量方程在某些简化条件下，利用壁面的边界条件及Prandtl混合长度理论，得到
y1exp
_y
A
（10.1.19）
dvx
dVx
dy
t
dy
dVx
2
2dvx
lw
（10.1.18）
dy
dy
由此式出发，若能给出混合长度
l或湍流粘度
t的函数表达式，
可以求出相应的时均速度分布
范•德来斯特于1956年提出了适用于整个内层的混合长度表达式
22ydVx
Ady
*2V
将上式的l表达式代入，则对整个内层有
dVx22
-y1expdy
无量纲化为
式中
其中
dVx
ay
dy
dVx
dy
-1
0
（10.1.21）
ay
2
y1
exp
2
y
A
y
*
yv
Vx
Vx
*
0.41或0.4，范•德来斯特通过实验确定
A
V
*
AV25.3
2
由式（10.1.21）得
积分上式，并利用y
vx
dvx
dy
1.14a
2a
1.14a
0的边界条件，得
（10.1.22）
2dy
1
22
22y
114y1exp-
5.3
（10.1.23）
上式适用于粘性底层、过度层、对数层的整个内层区，称为内层关系式。
式，因此应用起来不太方便。
另外，1956年Coles.D提出适合于整个边界层的时均速度分布关系式
但是，由于它是积分形
Vx丄山yB—W-
（10.1.24）
可以看出，上式是在内层的对数律层时均速度分布的基础上加一修正项，由于湍流边界层中，压力
梯度对外层特性影响明显，显然修正项与压力梯度竺成函数关系，称
dx
dx
为平衡参数，它反映了压力梯度的大小，将为常数的湍流边界层称为平衡湍流边界层，否则为非
平衡湍流边界层。
根据Coles.D的设想，认为式（10.1.24）中的是反映压力梯度影响的剖面参数，
称为尾迹参数,
。
而W*称为尾迹律函数。
Coles.D通过实验和计算得出了W1和
得近似函数拟合形式:
22sin2于
1cos
（10.1.25）
对于平衡湍流边界层，当0.5时,
可以拟合为
0.75
0.8
0.5
不过，在很大时，也可以认为
12.1.,—（10.1.27）
将以上和W1的经验函数表达式代入到式（10.c）中，就可以得出适合于整个湍流边界层的时均速度分布表达式
10.1.5粗糙壁面的时均速度分布
壁面的粗糙度对外层的时均速度分布的影响可以忽略。
律，对光滑和粗糙壁面都适用。
粗糙度的影响主要在内层
因此，前面所介绍的外层时均速度规
根据Prandtl的推理，粗糙壁面时均
，离壁面距离y,以及壁面粗糙高度，
而与壁面在流动方向上的压力梯度
空无关，即:
dx
vxF
（10.1.28）
由量纲分析得
yvv
（10.1.29）
应用内层与外层交界处速度梯度相等的条件,
*df纶丄
yv
（10.1.30）
由变量独立的条件，上式左右两边必然等于同一常数
Vvx
经积分可得
Dln$A
（10.1.31）
速度的分布取决于壁面切应力w，流体密度，动力粘度
（10.1.32）
其中D1
k
因此对于粗糙壁面，时均速度分布为
（10.1.33）
竺亠空B
vk
注意到当粗糙高度
0时，上式应还原为光滑壁面的速度分布形式，即
（10.1.34）
两式相减，可得
Vx
v
通常式中的Vx根据实验资料给出，即
（10.1.35）
___1V
VxVx光Vx粗—In10.3一
k
因此粗糙壁面的时均速度分布的表达式为
*
l|n^V_
k
C-In1
k
0.3
（10.1.36）
上式适用于粗糙壁面的整个内层（壁面区）
10.2湍流边界层基本方程
本节为了简便，紧推导二维不可压缩、常物性流体平稳湍流边界层方程。
同层流边界层微分
方程的建立一样，在流动平面内，取边界层坐标系xoy。
以物体壁面前缘点o为坐标原点，沿物体壁面的流动方向为x轴，其外法线方向为y轴，相应的时均速度分别为Vx,Vy。
时均温度为T
10.2.1湍流速度边界层方程
层流速度边界层方程是由连续性方程和N-S方程简化而得，这里所要建立的湍流速度边界层
方程则要由湍流时均运动连续方程和湍流时均动量方程简化而得。
对于二维不可压缩流体0,因此对于二维常物性流体，不记质量力，在平稳湍流流动时，
t
连续方程和动量方程可以写成：
Vx
Vy
-0
（10.2.1a）
x
y
—
2-
2—
2
Vx'
Vx
-vyVy「
1_p
Vx
Vx
Vx
VxVy
（10.2.1b）
2
2
x
y
x
x
y
x
y
2-
2
2
Vx-
Vx
-Vy
Vy-
1p
Vy
Vy
Vy
VxVy
（10.2.1c）
2
2
x
y
y
x
y
y
x
在湍流边界层的薄层内，时均速度Vx和Vy以及边界层内的坐标x和y的关系分别为：
VyVx，yx
因而
yx，
xy
对于式（10.2.1a），（10.2.1b）和（10.2.1c）进行数量级比较，过程与层流时类似。
连续方程（10.2.1a）
的两项数量级相同，因而边界层流动的连续方程为
VxVy
xy0
xy
动量方程式（10.2.1b）和（10.2.1c）中的压力项是被动项，其数量级的大小取决于速度场，而不能预先确定。
在湍流边界层中，雷诺应力项和粘性应力项应与惯性力项同一数量级而共存。
这与层流边
界层方程建立过程中，所用到的边界层内粘性力项和惯性力项为同一数量级的原则是一样的。
但
是方程式（10.2.1b）中的两项雷诺应力
因而暂时全部保留，粘性力的两项中,
2
幺与上巴是否都与惯性力项同一数量级，现在还不清楚,xy
22-Vx与_Vx
y2
x2
相比是小量，可以略去，因此方程式（10.2.1b）
可以简化为
_Vx_vy
VxVy-
xy
2_
Vx
~2
y
2
VxVxVy
xy
（10.2.2）
式（10.2.1c）中的
沁与式（10.2.1b）中的
x
VyVy
Vx-Vy-以及两粘性应力项
xy
2-
Vy
~2~
x
沁相比是小量级。
另外式（10.2.1c）中两惯性力项y
2-
Vy
2-同式（10.2.1b）中相应的两惯性力以及粘性应力项y
相比，也都是高阶小量，所以式
（10.2.1c）可以简化为
1_Py
再将式（10.2.3）从边界层内y到边界上可以认为零，即Ve0，因此
2
y
进行积分。
（10.2.3）
PeX
Px,y
2
Vy
在y=
处,
压力为Pex，脉动速度在外边界层
（10.2.4）
于是，式（10.2.2）中
2
Vy
x
2
Ll
x
将上式代入（10.2.2）中,
pdPexdx
式中，表示边界层外界的势流速度
Vxvy、，dVVx
vdVdx
（10.2.5）
可以得到
22
VyVx
VxVyVVxVy一
xydxyyx
由于Vx与Vy为同一数量级，因此一般情况下，上式最后一项是可以忽略的层方程为：
（10.2.6）
于是，湍流速度边界
式中
-Vx
Vx一
x
-Vy
Vy「
y
vdx
1txy
y
（10.2.7）
txy
Vx
y
VxVy
1022湍流温度边界层方程
Vyy在边界层内对上式进行数量级比较，可得简化后耗散函数的表达式
Vx
VyVx
2
Vy
Vz
y
对于二维不可压缩、常物性流体的平稳湍流，当
qV
0时，湍流的时均能量方程可以写为
亍亍
T
亍
CpVx
V
y
k
CpVj
—
k
CpVyT（10.2.8）
xyx
-
y
y
式中时均耗散函数
—可以表示成
Vx
2
Vx
Vx
Vy
Vx
2-
Vx
VxVy
x
-
y
-
y
Vx
（10.2.9）
Vx
VxVy——
yy
将式（10.2.9）代入式（10.2.10）中，并将其余各项进行数量级比较，所得出的湍流温度边界层方程为
T_T
CpVxVy-
xy
上式右边的第二项考虑了粘性耗散。
CPVyT
Vx
Vy
Vx
y
（10.2.10）
10.2.3基本方程组及边界条件
归纳以上各基本方程:
连续方程
Vx
x
速度边界层方程
Vx
x
Vy
dV
Vdxy
VxVy
温度边界层方程
T
Vy「
y
为二维不可压缩流体平稳湍流边界层基本方程组，其边界条件为
Cp
Vx-
x
k丄CpVyr
y
Vx
VxVy
Vx
y
0:
VxVy0,TTw
VxVX,TTex
Vx；yT:
TTex
上式中，TeX为温度边界层外边界上的温度分布
1024动量积分关系式
以Vx乘连续方程的两边,
可得
VVx
VVy
y
利用连续方程，可将速度边界层方程改写为
-dV
Vx
（10.2.11）
—2
vx
VxVy
dx
Vx
y
VxVy
（10.2.12）
（10.2.11）-（10.2.12得
气"J
VVx
dx
VxVy（10.2.13）
将上式从0到对y进行积分，有
VxV
Vx
dy
dV
dx
dy
—VVy
y
VxVy
Vx
y
VxVydy
上式左边第一项
左边第三项，由于y
x*
x
dx0
时，Vx
V和y
0时,
VVxVxVydy
Vv
y
d
0
x
Vx
VxVy
Vx
Vx
Vy
|0
dy
右边则由于壁面和在外边界上,
脉动速度
Vx，
Vy均为零,
于是
0,所以
Vx
VxVy
Vx
VxVy
|0
dy
（10.2.14）
（10.2.15a）
（10.2.15b）
Vx
yy
d
dx
式（10.2.17）为不可压缩流体湍流速度边界层的动量积分关系式,
0Vx
Vx
dV
dx
Vx
（10.2.16c）
（10.2.17）
在形式上与层流速度边界层的动量
积分关系式完全相同，只是速度是以时均速度表示度2的定义式
引用以时均速度表达的位移厚度1和动量厚
vx
Vdy
（10.2.18）
Vx
0V
1Vxdy
V
（10219）
则式（10.2.17河以改写为
d2
dx
2dV
Vdx
（10.2.20）
式中H—，与层流时相同，称为形状因子，是与壁面形状有关的参数。
2
式（10.2.18）为湍流动量积分关系式的另一种形式。
湍流速度边界层的动量积分关系式解法的基本思想与层流时类似：
补充一个速度分布公式，利
用1、2等的定义式，将动量积分关系式化为关于速度边界层某以特征量的常微分方程，最后根据
边界条件求解这一常微分方程。
根据式（10.2.18）和式（10.2.19），可以分别写出
v*VV1
*dy
V0v
V2
匚
V20
1、
VVxxdy
V
V2VVx
（10.2.21）
竺二y
式中
2
Vvx
-dyv
（10.2.22）
Cfx
被称为壁面摩擦系数。
另外，亏损厚度1和平方亏损厚度
2分别表示为
0^dy
0v
VVx
*
V
形状因子
式中G—，被称为亏损形状因子
1_2
一~2
0~分层进行积分的困难，采用柯尔斯提
（10.1.24）可得
（10223）
2
2123.1791.5
—2~2
xx
x1
2
23.1791.5
（10224）
（10.2.25）
23.1791.5*2
x1
（10.2.26）
丄ln—B-
（10.2.27）
10.3湍流速度边界层的求解
当来流的雷诺数Re1匕丄（L为沿流动方向壁面的长度）
足够大时，沿壁面边界层流动流体,
就从前缘开始先经过层流段，再经过过度段，才达到湍流流动的区域。
因此湍流速度边界层实际
上总是从前缘点之后一段距离才开始的。
这种具有层流段、过度段和湍流段的边界层称为混合边
为了讨论方便，首先假设从壁面的前缘开始，就是湍流边界层流动。
界层。
10.3.1
光滑平板湍流速度边界层
由于各层时均速度分布规律是不同的，为了避免从
出的适用于整个湍流速度边界层的通用时均速度分布公式
1.
（10.3.1）
，Re
JC
，Cfx
w
V2
式（10.3.1河以改写为
由于CfxCfxx，即
dRe
2
dRe;
x，而2
Cfx
2
（10.3.2）
2，所以
Re2，其具体关系式可以推导如
下。
取Coles,D•通用时均速度分布关系式中所以
1In
0.4
即
eV
另外
210.5
0.4
把（10.3.3）式代入得
Re2
V23.75
J丄5.53
0.4
（10.3.3）
23.1790.51.5
0.52
22
0.422
24.7780.48
2e
（10.3.4）
上式就是2Re2的具体关系式，将式（1032）与上式利用x=0,20的边界条件，进
行数值积分，可以求得与Rex的关系，进一步可求出边界层其他参数与Rex的关系，最后可以得到如下的拟合公式：
Cfx
0.025Rex7
（10.3.5a）
Re2
0.0142Rex67
（10.3.5b）
Re1
0.018Rex67
（10.3.5c）
Re
0.14Re/7
（10.3.5d）
由此不难看出，边界层的各种厚度，!
，2都随着x67近似线性的增长，与平板层流边界层解的结果式中各种厚度随x12相比，要快得多，而且局部壁面摩擦阻力系数也大得多。
以上湍流边界
层拟合式适用于105Rex109的范围。
如果忽略外层尾迹的影响尾迹参数0，重复上述计算，可得到忽略外层尾迹影响的壁面
局部摩擦阻力系数为
Cfx0.027Rex‘7（10.3.6a）
将上式与式（10.3.5a）进行比较，可以看出平板湍流边界层外层尾迹项对壁面摩擦的影响很小，实验证明按式（10.3.5a）计算的Cfx值偏小，因此通常在工程上常取
Cfx0.026Rex17（10.3.7b）
值得注意的是外层尾迹项对边界层各种厚度影响却比较明显，如果忽略尾迹参数，会有较大的
升级会员 