Matlab小波分析在信号处理中的应用.docx

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Matlab小波分析在信号处理中的应用

小波分析理论与应用

——Matlab小波分析在信号处理中的应用

学号：

201522010641

姓名：

李梦姣

学院：

通信与信息工程学院

指导老师：

李建平

Matlab小波分析在信号处理中的应用

摘要:

本文在对傅立叶变换和窗口傅立叶变换以及小波变换比较分析的基础上，重点探讨了Matlab小波分析对普通信号进行分析、消噪、压缩和奇异点检测等信号处理中的各种应用，并提出一些自己的看法。

关键词:

小波变换；信号处理；消噪；压缩

Abstract:

Thispaperfocusesontheuseofordinarysignalanalysis,de-noising,compressionandsingularpointdetectionetc,basedonthecomparativeanalysisofthewindowofthefouriertransformandfouriertransformandwavelettransform,andmakesomeownviews.

Keywords:

WaveletTransform;SignalProcessing;De-noising;Compression

1.引言

小波分析是目前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，它与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。

通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变换被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的发展。

至今，对于其性质随时间稳定不变的信号而言，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。

但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而最适用于非稳定信号分析处理的工具是小波分析。

所以对于小波分析的重要性、优越性还有不成熟性，研究它是十分迫切与必要的。

2.傅立叶变换和窗口傅立叶变换

2.1经典傅立叶变换

傅立叶变换（FourierTransform）是用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出来的一种数学方法，它可将时空信号变成频率信号。

原始的多媒体数据一般为时空信号，在时空上有最大分辨率并可利用时空上的相关性进行数据压缩。

Fourier变换可将时空域中的多媒体信号映射到频率域来研究，既符合人类感觉特征，也可以利用信号在频率域中的冗余进行数据压缩。

所以傅立叶变换架起了时间域和频率域之间的桥梁。

一维信号f（t）的傅立叶变换定义为：

它度量了信号在所有不同频率中的振荡信息。

傅立叶变换的逆变化为：

意味着信号可展开为不同频率正弦信号的线性叠加。

从

（1）式中我们可以看出傅立叶变换的核函数是正弦函数，它不包含任何时域信息。

而从

（2）式中也可以看出来傅立叶逆变换的时域特征中也不包含信号的任何频域信息。

这就使得我们只能从信号的时域和频域分别观察而不能将二者结合起来。

而且傅立叶谱的信号统计特性是信号整个时域内的积分，在时间域上是无限的，非局部化的，没有局部化分析信号的功能。

所以这就产生了时域和频域的局部化矛盾，也就激励着我们去寻找一种新的时频分析方法即能在时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。

2.2窗口傅立叶变换

鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，匈牙利人DennisGabor于1946年提出窗口傅立叶变换，它可以对时空信号进行分段或分块，即时空—频谱分析。

对任意一个能量有限的信号f（t）∈

（R）,其窗口傅立叶变换定义为：

其中g（t-τ）是一种能量主要集中在τ附近且衰减很快的函数。

所以上式中的积分实质上只在τ附近的一段时间内进行。

也就是说窗口傅立叶变换给出了信号在t=τ附近一段时间内的频率信息，所以窗口傅立叶变换在时域内是局部化的。

由（3）式明显地看到窗口傅立叶变换的确是传统傅立叶变换的一种改进，即核函数由

改进为：

再由（3）式可得到在时间—频率平面内点（w，

）处的窗口傅立叶变换为：

定义：

式（6）中

和

分别称为g（t）和g（w）的标准差，它们描述了时-频窗的宽度。

但从式（6）中可看到时-频窗的宽度与窗的中心无关，即其时-频窗的宽度是固定不变的。

一旦窗函数确定，则窗口的形状和大小都将保持不变，与（τ0,w0）频率无关。

若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g（t），这就使得窗口傅立叶变换的时间-频率局域化性质受到了限制。

而我们熟知的是，在研究高频信号的局部性质时，窗口应该开得小点；而在研究低频信号的局部性质时，窗口应该开得大一些。

所以，由于窗口傅立叶变换的种种严重缺点，使它未能得到广泛的应用和进一步的发展，因而迫切需要一种更好的时-频分析方法。

下面将介绍的小波（Wavelet）变换继承和发展了窗口傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基等缺点，是比较理想的对信号进行局部频谱分析、处理非卷积型线性算子、变系数线性微分算子等的数学工具。

3.小波变换

3.1小波

小波是一种持续时间很短的波，即小区域的波，是一种特殊的、长度有限、平均值为0的波形。

但并不是任意持续时间很短的波都是小波，它必须满足以下容许条件：

满足式（7）的时间函数φ（t）称为母小波或基本小波通常简称为小波。

容许条件意味着

在ω=0处的值必须为零，即

=0，从傅立叶变换的定义可得：

由式（8）可知，φ（t）必须时正时负地波动，否则φ（t）的积分不会为零。

在实际应用中，要求小波具有良好的时域局部化性质，即当t→±∞时要求φ（t）速降至零。

也就是说，小波是持续时间很短的衰减振荡，它在时域内是局部的。

在频率域，同样也要求当ω→±∞时,

（ω）速降至零，这也是容许条件式（7）对

（ω）的约束。

小波在时域和频域内都是局部的，这是小波最重要的特性。

3.2小波变换的由来和作用

小波分析方法是一种窗口大小固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局域化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为“数学显微镜”。

正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。

小波变换的含义是：

把一个称为基本小波的函数

（ω）做位移τ后，再在不同尺度a下与待分析信号x（t）做内积：

小波变换的时频窗口特性与窗口傅立叶的时频窗口不一样，因为仅影响窗口在相平面轴上的位置，而a不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。

这样小波变换对不同频率在时域上的取样步长是可调节的，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点，这便是它优于经典的傅立叶变换和窗口傅立叶变换的地方。

从总体上来说，小波变换比窗口傅立叶变换具有更好的时频窗口特性。

由此可见，小波变换具有以下特点和作用：

（1）具有多分辨率的特点，可以由粗到细逐步观察信号。

（2）小波变换可以看成用基本频率特性为

（ω）的带通

滤波器在不同尺度a下对信号滤波。

由于傅立叶变换的尺度性，如果φ（t）的傅立叶变换是φ（ω），则

的傅立叶变换为│a│φ（aω），因此这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。

（3）适当地选择基小波，使φ（t）在时域上为有限支撑，φ（ω）在频域上也比较集中，此时小波在时、频两域中就都具有表征信号局部特征的能力，这样有利于检测信号的瞬态或奇异点。

3.3小波变换与傅立叶变换的比较

（1）傅立叶变换的实质是把能量有限的信号f（t）分解到以

为正交基的空间；而小波变换则是分解到

（R）（平方可积函数）空间。

（2）傅立叶变换用到的基本函数只有sin（ωt）、cos（ωt）和

，具有唯一性；小波分析用到的小波函数则不是唯一的，同一个问题选用不同的小波函数进行分析有时结果会相差很远。

（3）小波变换在时-频域中都具有很好的局部化能力，而傅立叶变换只在频域中对于那些频率成分比较简单的确定信号有较好的局部化能力，其在时域中没有局部化能力。

（4）小波变换带通滤波器的带宽△ω正比于中心频率ω，且其值是一个常数，即具有一个恒定的相对带宽。

而窗口傅立叶变换的带通滤波器的带宽与中心频率w无关。

4.Matlab小波变换在信号处理中的应用

小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的工作者所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。

同传统的处理方法相比，小波变换产生了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。

其典型应用包括信号降噪和压缩、对普通信号进行分析及检测信号特征等。

比如它可以用于电力负载信号的分析与处理，小波变换可以用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中未知瞬态信号等。

4.1小波分解在普通信号分析中的应用

小波变换工具箱中用于一维小波分解的函数为wavedec。

下面对几个常见的信号进行小波分析，以此来观察小波的功能和特性。

4.1.1正弦波的线性组合

s（t）=sin（3t）+sin（0.3t）+sin（0.03t）（10）

s（t）是三个正弦波叠加而成的信号，这三种正弦波的周期大约分别为2、20、200，且幅值为1，其采样周期为1。

下面应用db3小波对式（10）信号进行5层分解，结果如图一至图四所示。

从图三可以看出，细节信号d1显示了周期最小的正弦波，细节信号d4显示了周期为20的正弦波，而周期为200的正弦波则出现在近似信号a4中，如图四所示。

这是因为利用小波对信号进行分解时，它将信号分解为低频部分（近似信号）和高频部分（细节信号）。

另外在图四表示出了小波分解得到的其他结果，如近似信号a3和a4之间出现了不连续。

4.1.2含噪的正弦信号

其表达式为：

s（t）=sin（0.03t）+b（t）（11）

该信号是由一个正弦信号和白噪声信号叠加而成。

下面应用db3小波对其进行5层分解，结果如图五至图八所示。

从上面四个图中我们可以看到，正弦波信号体现在逼近（近似）信号部分，而白噪声信号体现在细节信号部分，因为噪声通常是表现为高频信号。

4.2小波变换在信号降噪和压缩中的应用

4.2.1Matlab信号的小波降噪

信号的降噪和压缩是小波的重要应用之一，小波能够降噪主要基于小波变换具有如下三大特点:

（1）多分辨率特性:

由于采用了多分辨率的方法,所以可非常好地刻画出信号的非平稳性,如突变和断点等,可以在不同分辨率下根据信号和噪声的分布来消噪。

（2）去相关性：

小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪。

（3）基函数选择灵活：

小波变换可以灵活选择基函数，也可根据信号特点和降噪要求选择多带小波、小波变换等，对不同的场合，可以选择不同的小波母函数。

对信号消噪实质上是抑制信号中的无用部分，增强信号中有用部分的过程。

一般地，一维信号消噪的过程可分为如下3个步骤：

（1）一维信号的小波分解。

选择一个小波并确定分解的层次，然后进行分解计算。

（2）小波分解高频系数的阀值量化。

对各个分解尺度下的高频系数选择一个阀值进行软阀值量化处理。

（3）一维小波重构。

根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行一维小波重构。

小波分析进行阀值处理一般有下述3种方法。

（1）默认阀值消噪处理。

该方法利用ddencmp函数生成信号的默认阀值，然后利用函数wdencmp进行消噪处理。

（2）给定阀值消噪处理。

在实际的消噪处理过程中，阀值往往可以通过实验公式获得，这种阀值比默认阀值的可信度高。

（3）处理。

该方法是将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频信号部分，然后对信号进行小波重构。

这种方法比较简单，且消噪后的信号比较平滑，但是容易丢失信号中的有用成分。

下面利用小波分析对含噪正弦波进行消噪，结果如图九至图十一所示。

从上面三个图可看出：

消噪后的信号大体上恢复了原始信号的形状，并明显地除去了噪声所引起的干扰。

但是，恢复后的信号和原始信号相比，有明显的改变。

这主要是因为在进行消噪处理的过程中所用的分析小波和细节系数阀值不恰当所致。

下面就用小波分析含噪信号且选取不同阀值进行消噪，结果如图十二所示。

图十二中从上到下分别是原始信号、含噪信号、启发式阀值降噪信号、固定形式阀值降噪信号、minimax阀值降噪信号。

从图中可以看出，用不同阀值对噪声信号进行消噪，会得出不同的结果。

所以在实际应用中要根据情况选用不同的阀值处理方法来对信号进行分析处理。

4.2.2Matlab信号的小波压缩

应用一维小波分析之所以能够对信号进行压缩，是因为一个比较规则的信号是由一个数据量很小的低频系数所组成的。

对低频系数的选择有一个要求，即需要在一个合适的分解层上选择低频系数。

主要包括以下三个步骤：

①信号的小波分解。

②对高频系数进行阀值量化处理。

对第1到第N层的高频系数，均可选择不同的阀值，并且用软阀值进行系数的量化。

③对量化后的系数进行小波的重构。

一般地，有两种比较有效的信号压缩方法，一是对信号进行小波尺度的扩展，并且保留绝对值最大的系数。

在这种情况下，可选择使用全局阀值，此时仅需输入一个参数即可。

二是根据分解后各层的效果来确定某一层的阀值，且每层的阀值可以互不相同。

下面利用小波分析对给定的信号进行压缩处理，以及小波分析在信号消噪和压缩两方面的应用综合起来分析，以便对小波的这两个重要应用有更直观的认识。

结果如图十三所示。

图十三中最上面的波形图是原始信号，中间的是用固定阀值压缩的信号，最下面的图是全局阀值降噪后的信号。

我们可以看到压缩和降噪后的信号基本相同，差别微小。

因为压缩和消噪原理都是去掉多余部分，保留有用信号。

4.3Matlab小波奇异点的检测及定位清除

信号中不规则的突变部分往往带有十分重要的信息。

譬如在故障诊断中，故障通常表现为输出信号发生突变，因而对信号的奇异点（暂态信号）的检测有着非常重要的意义。

下面就利用小波分析对信号的奇异点进行检测，结果如图十四至十六所示。

从图十六中的细节信号d4中可以检测出奇异点位置大概t=2850，由细节信号d3也基本能看出t=2850处的奇异点上面已检测出信号中含有奇异点，那该如何消除检测出的奇异点，以便选择我们所需要的没有故障的正常信号，结果如图图十七至图十九所示。

从原始信号波形图中可以明显的看到在t=1193和t=1215两处是存在奇异点的。

进一步利用db3小波对信号进行5层分解，得到的1层—3层细节信号。

奇异点包含在细节信号d1和d2中，且与原信号中的奇异点是同步的。

为了消除奇异点，重构信号时令细节信号d1、d2和d3等于零，这样就能消除信号的奇异点，得到的信号波形如图十九所示。

5.结束语

本文通过对傅立叶变换和窗口傅立叶变换以及小波变换的比较分析，使我们更清楚地认识到小波分析及其在信号处理中的重要作用，并利用Matlab工具箱仿真分析了小波变换在信号处理中的各种应用。

（1）普通信号的分析。

利用小波的分解来分析普通的信号，可以清楚地看到它的逼近信号和细节信号。

（2）消噪作用。

通过小波分解、软阀值量化和小波重构这三个步骤可对信号进行消除噪声的处理，可得到一定平滑的效果。

但由于小波基和阀值的选取不同，使原始信号和消噪信号不完全重合，存在一定的不精确度。

（3）压缩作用。

通过小波分解、硬阀值量化和小波重构这三个步骤来进行信号的压缩，压缩后的信号基本上除去了冗余信号，得到我们所需要的重要信息，更有利于我们存储和传输。

（4）奇异点的检测及其定位清除.

参考文献

[1]张德丰.Matlab小波分析与工程应用[M].北京：

国防工业出版社,2008.

[2]郭晶,孙伟娟.小波分析理论与Matlab7应用[M].北京：

电子工业出版社,2005.

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