学生微积分运算命令与例题.docx
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学生微积分运算命令与例题
求极限运算
命令形式1:
Limit（f）
功能:
计算
其中f是符号函数。
命令形式2:
Limit（f,x,a）
功能:
计算
，其中f是符号函数。
命令形式3:
Limit（f,x,inf）
功能:
计算
，其中f是符号函数。
命令形式4:
Limit（f,x,a,’right’）
功能:
计算
，其中f是符号函数。
命令形式5:
Limit（f,x,a,’left’）
功能:
计算
，其中f是符号函数。
注意:
在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Matlab的默认状态为求右极限。
例4：
求极限
解：
Matlab命令为:
symsx↙
y=（1/（x*（log（x））^2））-1/（x-1）^2;
limit（y,x,1,'right'）↙
ans=
1/12
此极限的计算较难，用Matlab很容易得结果。
例6：
求极限
解：
Matlab命令为:
symsx↙
y=（1+tan（x））/（1+sin（x））^（1/x^3）;↙
limit（y）↙
ans=
0
导数与微分
6.2.1一元函数的导数与微分
导数是函数增量与自变量增量之比的极限，即
.在Matlab中求函数的导数及其他一些类似运算均由diff命令来完成.
●用差分法求导数的数值解
用差分法求导数比较粗略，误差较大，尽量少采用差份法取计算数值微分，具体指令为：
D=diff（X）求向量或矩阵的差分
因为
，则
，所以y对x的导数近似等于y的有限差分除以x的有限差分。
例7：
用差分法求出
的导数。
解：
（1）建立M命令文件:
x=-5:
.1:
5;
y=（x+tan（x））.^（1/2）+sin（x）.*cos（5*x）;
dx=diff（x）;
dy=diff（y）;
disp（'f（x）的导数为：
'）
yd0=dy./dx
●对符号函数求一阶导diff（f）
格式：
diff（f）,其中f是符号函数。
例9：
求
的导数。
解：
Matlab命令为：
symsx↙
r=sqrt（1+x^2）;↙
y=1/2*atan（r）+1/4*log（（r+1）/（r-1））;↙
diff（y）↙
●对符号函数求n阶导
格式：
diff（f,n）,其中f是符号函数。
例10：
求
的一阶、二阶导数。
解：
Matlab命令为：
symsabx↙
y=（a*x+tan（3*x））^（1/2）+sin（x）*cos（b*x）;↙
y1=diff（y）;↙
y2=diff（y,2）;↙
disp（'一阶导数为:
'）,pretty（y1）↙
一阶导数为:
2
a+3+3tan（3x）
1/2-------------------+cos（x）cos（bx）-sin（x）sin（bx）b
1/2
（ax+tan（3x））
disp（'二阶导数为:
'）,y2↙
二阶导数为:
y2=
1/4/（a*x+tan（3*x））^（3/2）*（a+3+3*tan（3*x）^2）^2+3/（a*x+tan（3*x））^（1/2）*tan（3*x）*（3+3*tan（3*x）^2）-sin（x）*cos（b*x）-2*cos（x）*sin（b*x）*b-sin（x）*cos（b*x）*b^2
（3）分析结果:
参数方程求导
对参数方程
所确定的函数y=f（x），根据公式
，连续两次利用指令diff（f）就可求出结果。
例15.求参数方程
的一阶导数。
解:
Matlab命令:
symst↙
x=t*（1-sin（t））;↙
y=t*cos（t）;↙
dx=diff（x,t）↙
dx=
1-sin（t）-t*cos（t）
dy=diff（y,t）↙
dy=
cos（t）-t*sin（t）
pretty（dy/dx）↙
cos（t）-tsin（t）
---------------------
1-sin（t）-tcos（t）
6.2.2多元函数求导
●对多元函数求导
格式：
diff（f,x,n）,表示对变量x求n阶导数,其中f是符号函数,。
例16：
求
解:
Matlab命令:
symsabcx↙
y=a*sin（b*exp（c*x）+x^a）*cos（c*x）;↙
diff（y,x）↙
例18:
对函数
求
解:
Matlab命令:
symsxy↙
z=x^3*y^2+sin（x*y）;↙
diff（z,x,3）↙
ans=
6*y^2-cos（x*y）*y^3
6.2.3隐函数求导
●一元隐函数求导
由方程
确定的隐函数y=y（x），则
例23：
求
所确定的隐函数y=y（x）的导数
。
解:
Matlab命令:
symsxy↙
f=x*y-exp（x）+exp（y）;↙
dfx=diff（f,x）;↙
dfy=diff（f,y）;↙
dyx=-dfx/dfy;↙
pretty（dyx）↙
-y+exp（x）
-----------
x+exp（y）
结果分析：
●多元隐函数求导
由方程
确定的隐含数z=z（x,y）,则
，
例24.
，其中z=z（x,y）,求
，
。
解:
Matlab命令symsxyz↙
u=x^2+y^2+z^2;↙
dux=diff（u,x）;duy=diff（u,y）;duz=diff（u,z）;↙
dzx=-dux/duz↙
dzx=
-x/z
dzy=-duy/duz↙
dzy=
-y/z
结果分析：
，
。
6.1求不定积分
高等数学中求不定积分是较费时间的事情，在Matlab中，只要输入一个命令就可以快速求出不定积分来。
指令：
int（f）f是被积函数，表示对默认的变量求不定积分。
int（f,v）f是被积函数，表示对变量v求不定积分
例25：
计算
解:
Matlab命令：
symsx↙
y=1/（sin（x）^2*cos（x）^2）;↙
int（y）；↙
pretty（int（y））↙
1cos（x）
--------------2------
sin（x）cos（x）sin（x）
例26：
计算
解:
Matlab命令：
symsabx↙
y=[a*xb*x^2;1/xsin（x）];↙
int（y,x）↙
ans=
[1/2*a*x^2,1/3*b*x^3]
[log（x）,-cos（x）]
定积分的符号解法
指令：
int（f,v,a,b）f是被积函数，表示对变量v求区间[a,b]上的定积分。
例31：
解：
Matlab命令为：
symsxa↙
f=sqrt（x^2+a）;↙
int（f,x,-2,2）;↙
pretty（int（f,x,-2,2））↙
1/21/21/2
2（4+a）+1/2alog（2+（4+a））-1/2alog（-2+（4+a））
例32:
求
解：
Matlab命令为:
symstx↙
y1=exp（t^2）;y2=t*y1^2;↙
r1=int（y1,t,0,x）;r2=int（y2,t,0,x）;↙
f=r1^2/r2;↙
limit（f,x,0）↙
ans=
2
6.4.2广义积分
指令：
int（f,v,a,inf）f是被积函数，表示对变量v求区间
上的定积分
int（f,v,-inf,b）f是被积函数，表示对变量v求区间
上的定积分
int（f,v,-inf,inf）f是被积函数，表示对变量v求区间
上的定积分
例35.计算广义积分
解:
Matlab命令symsx↙
f=1/（x^4）;↙
int（f,x,1,inf）↙
ans=
1/3
例36:
计算瑕积分
解:
Matlab命令symsx↙
f=x/sqrt（1-x^2）;↙
int（f,x,0,1）↙
ans=
1
6.4.3计算二重积分
指令：
dblquad（'fun',inmin,inmax,outmin,outmax）
其中：
例37.计算
D由y=1,x=4,x=0,y=0所围
解:
Matlab命令为：
ff=inline（'x*y','x','y'）;↙
dblquad（ff,0,4,0,1）↙
ans=
4
例38.计算
解:
Matlab命令ff=inline（'x.^2+y','x','y'）;↙
dblquad（ff,0,1,0,1）↙
ans=
0.8333
6.2函数展开成幂级数
6.5.1一元函数泰勒展开
指令：
taylor（f）f是待展开的函数表达式,展开成默认变量的6阶麦克劳林公式
taylor（f,n）f是待展开的函数表达式,展开成默认变量的n阶麦克劳林公式
taylor（f,n,v,a）f是待展开的函数表达式,展开成变量v=a的n阶泰勒公式
例39.将函数
展开为x的6阶麦克劳林公式。
解:
Matlab命令symsx↙
f=x*atan（x）-log（sqrt（1+x^2））;↙
taylor（f）↙
ans=
1/2*x^2-1/12*x^4
例40.将函数
展开为关于（x-2）的最高次为4的幂级数。
解:
Matlab命令：
symsx↙
f=1/x^2;↙
taylor（f,4,x,2）;↙
pretty（taylor（f,4,x,2））↙
23
3/4-1/4x+3/16（x-2）-1/8（x-2）
例41：
用正弦函数sinx的不同Taylor展式观察函数的Taylor逼近特点。
解：
（1）建立命令文件
symsx
y=sin（x）;
f1=taylor（y,3）;f2=taylor（y,6）;f3=taylor（y,15）;
subplot（2,2,1）,ezplot（y）,axis（[-66-1.51.5]）,gtext（'sin（x）'）
subplot（2,2,2）,ezplot（f1）,axis（[-66-1.51.5]）,gtext（'3阶泰勒展开'）
subplot（2,2,3）,ezplot（f2）,axis（[-66-1.51.5]）,gtext（'6阶泰勒展开'）
subplot（2,2,4）,ezplot（f3）,axis（[-66-1.51.5]）,gtext（'15阶泰勒展开'）
（2）运行命令文件
图6.8函数y=sinx与它的不同阶泰勒展开式的图像
6.5.2多元函数的完全泰勒展开
指令：
mtaylor（f,v）f是待展开的函数表达式，v是变量名列表。
mtaylor（f,v,n）f是待展开的函数表达式，v是变量名列表，n是展开阶数。
由于mtaylor并不在Matlab符号运算工具箱中，它是Maple符号运算库中的命令。
因此在Matlab使用mtaylor的格式为：
maple（‘readlib（mtaylor）’）
maple（‘mtaylor（f,v,n）’）
例42：
在（1,0,0）处对函数
进行完全泰勒展开。
解:
Matlab命令：
maple（'readlib（mtaylor）'）;↙
maple（'mtaylor（sin（x^2+y^2/z）,[x=1,y=0,z=0],3）'）↙
ans=
sin
（1）+2*cos
（1）*（x-1）+cos
（1）*y^2/z+（-2*sin
（1）+cos
（1））*（x-1）^2-2*sin
（1）*y^2/z*（x-1）-1/2*sin
（1）*y^4/z^2
6.3求和、求积、级数求和
6.6.1求和
sum（x）求向量x的和或者是矩阵每一列向量的和
cumsum（x）x是向量,逐项求和并用行向量显示出来;x是矩阵,则对列向量进行操作。
例43：
a=1:
5;A=[123;234;789];↙
sum（a）↙
ans=
15
cumsum（a）↙
ans=
1361015
sum（A）↙
ans=
101316
cumsum（A）↙
ans=
123
357
101316
6.6.2求积
prod（x）求向量x的积或者是矩阵每一列向量的积
cumprod（x）x是向量,逐项求积并用行向量显示出来;x是矩阵,则对列向量进行操作。
例44：
a=1:
5;A=[123;234;789];↙
prod（a）↙
ans=
120
cumprod（a）↙
ans=
12624120
prod（A）↙
ans=
1448108
cumprod（A）↙
ans=
123
2612
1448108
6.6.3级数求和
●symsum（s）
s为求和的级数的通项表达式，对默认的变量如k求由0到k-1的有限项的和.
例45：
求
解:
Matlab命令：
symsn↙
f=n^3;↙
symsum（f）↙
ans=
1/4*n^4-1/2*n^3+1/4*n^2
●symsum（s,v）
s为求和的级数的通项表达式，对变量v求由0到v-1的有限项的和.
例46：
求
解:
Matlab命令：
symsabx↙
f=a*n^3+（a-1）*n^2+b*n+2;↙
collect（symsum（f,n））↙
ans=
1/4*a*n^4+（-1/3-1/6*a）*n^3+（1/2-1/4*a+1/2*b）*n^2+（-1/2*b+11/6+1/6*a）*n
●symsum（s,v,a,b）
s为求和的级数的通项表达式，对变量v求由a到b的有限项的和.
例47：
求
解:
Matlab命令：
symsabx↙
f=a*n^3+（a-1）*n^2+b*n+2;↙
collect（symsum（f,n,0,100））↙
ans=
25840850*a+5050*b-338148
6.4求函数的零点
●用fzeros求函数的零点
z=fzero（‘fun’,x0,tol,trace）
其中fun是被求零点的函数文件名，x0表示在的附近找零点，tol代表精度，可以缺省。
缺省时，tol=0.001.trace=1,迭代信息在运算中显示,trace=0，不显示迭代信息，默认值为0。
此命令不仅可以求零点，而且可以求函数等于任何常数值得点。
例48：
通过求
的零点，综合叙述相关指令的用法。
解：
（1）建立M函数命令文件
functiony=gg（x）
y=sin（x）.^2.*exp（-0.1*x）-0.5*abs（x）;
（2）建立M命令文件
clf
x=-10:
0.01:
10;
y=gg（x）;
plot（x,y,'r'）;holdon,plot（t,zeros（size（t））,'k--'）;
xlabel（'t'）;ylabel（'y（t）'）,holdoff
disp（'通过图形取点'）
[tt,yy]=ginput（3）
xzero1=fzero（'gg',tt
（1））;
xzero2=fzero（'gg',tt
（2））;
xzero3=fzero（'gg',tt（3））;
disp（'零点的横坐标'）
disp（[xzero1xzero2xzero3]）
holdon
plot（xzero1,gg（xzero1）,'bp',xzero2,gg（xzero2）,'bp',xzero3,gg（xzero3）,'bp'）
legend（'gg（x）','y=0','零点'）
（3）运行命令文件
通过图形取点
tt=
-2.0530
-0.5960
0.5960
yy=
-0.0251
0.0050
-0.0251
零点的横坐标
-2.0074-0.51980.5993
图6.9函数零点分布观察图
例49：
求
在x=2附近的零点，并画出函数的图像。
解：
（1）建立M函数命令文件
functiony=gg2（x）
y=3*2.^（5*x）.*（x.^2+cos（x））-40;
（2）建立M命令文件
clf
x=-4:
.1:
5;
y=gg2（x）;
xzero=fzero（'gg2',-0.5）
plot（x,y,'b',xzero,gg2（xzero）,'rp'）
axis（[-45-100300]）
legend（'f（x）','零点'）
（3）运行命令文件
xzero=
0.6846
图6.10函数零点分布观察图
6.5求函数的极值点
●fminbnd
x=fminbnd（fun，x1，x2）%5.3版本及其以后的版本中使用
其中fun是被求零点的函数文件名，x1,x2表示在区间[x1,x2]内找极小值点。
例50：
求
在区间[-1，1]内的最小值，并画出函数的图像。
解：
（1）建立M函数命令文件
functiony=gg2（x）
y=3*2.^（5*x）.*（x.^2+cos（x））-40;
（2）建立M命令文件
clf
x=-2:
.1:
2;
y=gg3（x）;
xmin=fmin（'gg3',-1,1）
plot（x,y,'b',xmin,gg3（xmin）,'rp'）
legend（'f（x）','极小点'）
（3）运行命令文件
xmin=
-2.7756e-017
图6.10函数极小点分布观察图
例51：
求函数y=3x4-5x2+x-1,在[-2,2]的极大值、极小值和最大值、最小值。
解:
先画出函数图形，再确定求极值的初值和命令。
Matlab命令为：
fplot（'3*（x.^4）-5*（x.^2）+x-1',[-2,2]）,gridon↙
图6.11函数y=3x4-5x2+x-1的图像
从图中看到函数在-1和1附近有两个极小值点，在0附近有一个极大值点.下面我们分别求之，并标在图形上。
（1）建立M函数命令文件
functiony=ff1（x）
y=3*x.^4-5*x.^2+x-1;
（2）建立M命令文件
clf,
x=-2:
.1:
2;y=ff1（x）;
xmin1=fmin（'ff1',-1,0）
xmin2=fmin（'ff1',0,1.2）
xmaxs=fmin（'-（3*（x.^4）-5*（x.^2）+x-1）',-1,1）
plot（x,y,'b',xmin1,ff1（xmin1）,'rp',xmin2,ff1（xmin2）,'rp'）
holdon,plot（xmaxs,ff1（xmaxs）,'rd'）
legend（'f（x）','极小点','极小点','极大点'）
（3）运行命令文件
xmin1=
-0.9593
xmin2=
0.8580
xmaxs=
0.1012
图6.12函数y=3x4-5x2+x-1及其极值点的图像
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