学生微积分运算命令与例题.docx

1、学生微积分运算命令与例题求极限运算命令形式1:Limit(f)功能:计算 , 其中f是符号函数。命令形式2: Limit(f,x,a)功能:计算，其中f是符号函数。命令形式3: Limit(f,x,inf)功能:计算，其中f是符号函数。命令形式4: Limit(f,x,a,right)功能:计算，其中f是符号函数。命令形式5: Limit(f,x,a,left)功能:计算，其中f是符号函数。注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Matlab的默认状态为求右极限。例4：求极限解：Matlab 命令为: syms xy=(1/(x*(log(x)2)-1/(x-1)2;limit(y,x

2、,1,right)ans =1/12此极限的计算较难，用Matlab 很容易得结果。例6：求极限解：Matlab 命令为: syms xy=(1+tan(x)/(1+sin(x)(1/x3);limit(y)ans = 0导数与微分6.2.1 一元函数的导数与微分 导数是函数增量与自变量增量之比的极限，即.在Matlab中求函数的导数及其他一些类似运算均由diff命令来完成. 用差分法求导数的数值解用差分法求导数比较粗略，误差较大，尽量少采用差份法取计算数值微分，具体指令为： D=diff(X) 求向量或矩阵的差分因为，则，所以y对x的导数近似等于y的有限差分除以x的有限差分。例7：用差分法求

3、出的导数。解：(1)建立M命令文件:x=-5:.1:5;y=(x+tan(x).(1/2)+sin(x).*cos(5*x);dx=diff(x);dy=diff(y);disp(f(x)的导数为：)yd0=dy./dx 对符号函数求一阶导diff(f)格式：diff(f),其中f是符号函数。例9：求的导数。解：Matlab 命令为：syms xr=sqrt(1+x2);y=1/2*atan(r)+1/4*log(r+1)/(r-1);diff(y) 对符号函数求n阶导格式：diff(f ,n),其中f是符号函数。例10：求的一阶、二阶导数。解：Matlab 命令为：syms a b xy=(

4、a*x+tan(3*x)(1/2)+sin(x)*cos(b*x);y1=diff(y);y2=diff(y,2);disp(一阶导数为:), pretty(y1)一阶导数为: 2 a + 3 + 3 tan(3 x) 1/2 - + cos(x) cos(b x) - sin(x) sin(b x) b 1/2 (a x + tan(3 x)disp(二阶导数为:),y2二阶导数为:y2 =1/4/(a*x+tan(3*x)(3/2)*(a+3+3*tan(3*x)2)2+3/(a*x+tan(3*x)(1/2)*tan(3*x)*(3+3*tan(3*x)2)-sin(x)*cos(b*x

5、)-2*cos(x)*sin(b*x)*b-sin(x)*cos(b*x)*b2 (3)分析结果: 参数方程求导对参数方程所确定的函数y=f(x)，根据公式，连续两次利用指令diff(f)就可求出结果。例15.求参数方程的一阶导数。解:Matlab命令: syms tx=t*(1-sin(t);y=t*cos(t);dx=diff(x,t)dx =1-sin(t)-t*cos(t)dy=diff(y,t)dy =cos(t)-t*sin(t)pretty(dy/dx) cos(t) - t sin(t) - 1 - sin(t) - t cos(t)6.2.2 多元函数求导 对多元函数求导格式

6、：diff(f ,x,n),表示对变量x求n阶导数,其中f是符号函数,。例16：,求解:Matlab命令:syms a b c xy=a*sin(b*exp(c*x)+xa)*cos(c*x);diff(y,x)例18: 对函数, 求解:Matlab命令: syms x yz=x3*y2+sin(x*y);diff(z,x,3)ans =6*y2-cos(x*y)*y36.2.3 隐函数求导 一元隐函数求导由方程确定的隐函数y=y(x)，则例23：求所确定的隐函数y=y(x)的导数。解:Matlab命令:syms x yf=x*y-exp(x)+exp(y);dfx=diff(f,x);dfy

7、=diff(f,y);dyx=-dfx/dfy;pretty(dyx) -y + exp(x) - x + exp(y)结果分析： 多元隐函数求导由方程确定的隐含数z=z(x,y) ,则，例24. ，其中z=z(x,y) ,求，。解:Matlab命令syms x y zu=x2+y2+z2;dux=diff(u,x);duy=diff(u,y);duz=diff(u,z);dzx=-dux/duzdzx = -x/zdzy=-duy/duzdzy =-y/z结果分析：，。6.1 求不定积分 高等数学中求不定积分是较费时间的事情，在Matlab中，只要输入一个命令就可以快速求出不定积分来。 指令

8、：int(f) f是被积函数，表示对默认的变量求不定积分。 int(f,v) f是被积函数，表示对变量v求不定积分例25：计算解:Matlab命令：syms xy=1/(sin(x)2*cos(x)2); int(y)；pretty(int(y) 1 cos(x) - - 2 - sin(x) cos(x) sin(x)例26：计算解:Matlab命令：syms a b xy=a*x b*x2;1/x sin(x); int(y,x) ans = 1/2*a*x2, 1/3*b*x3 log(x), -cos(x)定积分的符号解法 指令：int(f,v,a,b) f是被积函数，表示对变量v求区

9、间a,b上的定积分。例31：解：Matlab 命令为：syms x af=sqrt(x2+a);int(f,x,-2,2);pretty(int(f,x,-2,2) 1/2 1/2 1/2 2 (4 + a) + 1/2 a log(2 + (4 + a) ) - 1/2 a log(-2 + (4 + a) )例32:求解：Matlab 命令为:syms t xy1=exp(t2);y2=t*y12;r1=int(y1,t,0,x);r2=int(y2,t,0,x);f=r12/r2;limit(f,x,0)ans =26.4.2 广义积分指令：int(f,v,a,inf) f是被积函数，表

10、示对变量v求区间上的定积分int(f,v,-inf,b) f是被积函数，表示对变量v求区间上的定积分int(f,v,-inf,inf) f是被积函数，表示对变量v求区间上的定积分例35.计算广义积分解:Matlab命令syms xf=1/(x4); int(f,x,1,inf) ans =1/3例36:计算瑕积分解:Matlab命令syms xf=x/sqrt(1-x2); int(f,x,0,1) ans =16.4.3 计算二重积分指令：dblquad(fun,inmin, inmax, outmin, outmax)其中：例37.计算,D由y=1,x=4,x=0,y=0所围解: Matl

11、ab命令为：ff=inline(x*y,x,y);dblquad(ff, 0, 4, 0, 1)ans = 4例38.计算解:Matlab命令ff=inline(x.2+y,x,y);dblquad(ff, 0, 1, 0, 1) ans = 0.83336.2 函数展开成幂级数6.5.1 一元函数泰勒展开指令：taylor(f) f是待展开的函数表达式,展开成默认变量的6阶麦克劳林公式taylor(f,n) f是待展开的函数表达式,展开成默认变量的n阶麦克劳林公式taylor(f,n,v,a) f是待展开的函数表达式,展开成变量v=a的n阶泰勒公式例39.将函数展开为x的6阶麦克劳林公式。解

12、:Matlab命令syms xf=x*atan(x)-log(sqrt(1+x2); taylor(f) ans =1/2*x2-1/12*x4例40.将函数展开为关于(x-2)的最高次为4的幂级数。解:Matlab命令：syms xf=1/x2; taylor(f,4,x,2); pretty(taylor(f,4,x,2) 2 3 3/4 - 1/4 x + 3/16 (x - 2) - 1/8 (x - 2)例41：用正弦函数sin x的不同Taylor展式观察函数的Taylor逼近特点。解：(1)建立命令文件syms xy=sin(x);f1=taylor(y,3);f2=taylor

13、(y,6);f3=taylor(y,15);subplot(2,2,1),ezplot(y),axis(-6 6 -1.5 1.5),gtext(sin(x)subplot(2,2,2),ezplot(f1),axis(-6 6 -1.5 1.5),gtext(3阶泰勒展开)subplot(2,2,3),ezplot(f2),axis(-6 6 -1.5 1.5),gtext(6阶泰勒展开)subplot(2,2,4),ezplot(f3),axis(-6 6 -1.5 1.5),gtext(15阶泰勒展开)(2)运行命令文件图6.8函数y=sinx与它的不同阶泰勒展开式的图像6.5.2 多元

14、函数的完全泰勒展开指令：mtaylor(f,v) f是待展开的函数表达式，v是变量名列表。mtaylor(f,v,n) f是待展开的函数表达式，v是变量名列表，n是展开阶数。 由于mtaylor并不在Matlab符号运算工具箱中，它是Maple符号运算库中的命令。因此在 Matlab使用mtaylor的格式为：maple(readlib(mtaylor)maple(mtaylor(f,v,n)例42：在(1,0,0)处对函数进行完全泰勒展开。解:Matlab命令：maple(readlib(mtaylor);maple(mtaylor(sin(x2+y2/z),x=1,y=0,z=0,3)an

15、s =sin(1)+2*cos(1)*(x-1)+cos(1)*y2/z+(-2*sin(1)+cos(1)*(x-1)2-2*sin(1)*y2/z*(x-1)-1/2*sin(1)*y4/z26.3 求和、求积、级数求和6.6.1 求和sum(x) 求向量x的和或者是矩阵每一列向量的和cumsum(x) x是向量,逐项求和并用行向量显示出来;x是矩阵,则对列向量进行操作。例43：a=1:5;A=1 2 3;2 3 4;7 8 9;sum(a) ans =15cumsum(a) ans = 1 3 6 10 15sum(A) ans = 10 13 16cumsum(A) ans = 1 2

16、 3 3 5 7 10 13 166.6.2 求积prod(x) 求向量x的积或者是矩阵每一列向量的积cumprod(x) x是向量,逐项求积并用行向量显示出来; x是矩阵,则对列向量进行操作。例44：a=1:5;A=1 2 3;2 3 4;7 8 9;prod(a) ans =120cumprod(a) ans =1 2 6 24 120prod(A) ans = 14 48 108cumprod(A) ans = 1 2 3 2 6 12 14 48 1086.6.3 级数求和 symsum(s)s为求和的级数的通项表达式，对默认的变量如k求由0到k-1的有限项的和.例45：求解:Matl

17、ab命令：syms nf=n3; symsum(f) ans =1/4*n4-1/2*n3+1/4*n2 symsum(s,v)s为求和的级数的通项表达式，对变量v求由0到v-1的有限项的和.例46：求解:Matlab命令：syms a b xf=a*n3+(a-1)*n2+b*n+2; collect(symsum(f,n) ans = 1/4*a*n4+(-1/3-1/6*a)*n3+(1/2-1/4*a+1/2*b)*n2+(-1/2*b+11/6+1/6*a)*n symsum(s,v,a,b)s为求和的级数的通项表达式，对变量v求由a到b的有限项的和.例47：求解:Matlab命令：

18、syms a b xf=a*n3+(a-1)*n2+b*n+2; collect(symsum(f,n,0,100) ans =25840850*a+5050*b-3381486.4 求函数的零点 用fzeros求函数的零点z=fzero(fun,x0,tol,trace) 其中fun是被求零点的函数文件名，x0表示在的附近找零点，tol代表精度，可以缺省。缺省时，tol=0.001.trace=1,迭代信息在运算中显示,trace=0，不显示迭代信息，默认值为0。此命令不仅可以求零点，而且可以求函数等于任何常数值得点。例48：通过求的零点，综合叙述相关指令的用法。解：(1)建立M函数命令文件

19、function y=gg(x)y=sin(x).2.*exp(-0.1*x)-0.5*abs(x);(2)建立M命令文件clfx=-10:0.01:10;y=gg(x);plot(x,y,r);hold on,plot(t,zeros(size(t),k-);xlabel(t);ylabel(y(t),hold off disp(通过图形取点)tt,yy=ginput(3)xzero1=fzero(gg,tt(1);xzero2=fzero(gg,tt(2);xzero3=fzero(gg,tt(3);disp(零点的横坐标)disp(xzero1 xzero2 xzero3)hold on

20、plot(xzero1,gg(xzero1),bp,xzero2,gg(xzero2),bp,xzero3,gg(xzero3),bp)legend(gg(x),y=0,零点)(3)运行命令文件通过图形取点tt = -2.0530 -0.5960 0.5960yy = -0.0251 0.0050 -0.0251零点的横坐标 -2.0074 -0.5198 0.5993图 6.9 函数零点分布观察图例49：求在x=2附近的零点，并画出函数的图像。解：(1)建立M函数命令文件function y=gg2(x)y=3*2.(5*x).*(x.2+cos(x)-40;(2)建立M命令文件clfx=-

21、4:.1:5;y=gg2(x);xzero=fzero(gg2,-0.5)plot(x,y,b,xzero,gg2(xzero),rp)axis(-4 5 -100 300)legend(f(x),零点)(3)运行命令文件xzero =0.6846图 6.10 函数零点分布观察图6.5 求函数的极值点 fminbndx=fminbnd（fun，x1，x2） %5.3版本及其以后的版本中使用 其中fun是被求零点的函数文件名，x1,x2表示在区间x1,x2内找极小值点。例50：求在区间-1，1内的最小值，并画出函数的图像。解：(1)建立M函数命令文件function y=gg2(x)y=3*2.

22、(5*x).*(x.2+cos(x)-40;(2)建立M命令文件clfx=-2:.1:2;y=gg3(x);xmin=fmin(gg3,-1,1)plot(x,y,b,xmin,gg3(xmin),rp)legend(f(x),极小点)(3)运行命令文件xmin =-2.7756e-017图 6.10 函数极小点分布观察图例51：求函数y=3x4-5x2+x-1, 在-2,2的极大值、极小值和最大值、最小值。解: 先画出函数图形，再确定求极值的初值和命令。Matlab 命令为：fplot(3*(x.4)-5*(x.2)+x-1,-2,2), grid on图6.11函数y=3x4-5x2+x-

23、1的图像从图中看到函数在-1和1附近有两个极小值点，在0附近有一个极大值点. 下面我们分别求之，并标在图形上。(1)建立M函数命令文件function y=ff1(x)y=3*x.4-5*x.2+x-1;(2)建立M命令文件clf,x=-2:.1:2;y=ff1(x);xmin1=fmin(ff1,-1,0)xmin2=fmin(ff1,0,1.2)xmaxs=fmin(-(3*(x.4)-5*(x.2)+x-1),-1,1)plot(x,y,b,xmin1,ff1(xmin1),rp,xmin2,ff1(xmin2),rp)hold on,plot(xmaxs,ff1(xmaxs),rd)legend(f(x),极小点,极小点,极大点) (3)运行命令文件xmin1 = -0.9593xmin2 = 0.8580xmaxs =0.1012图6.12函数y=3x4-5x2+x-1及其极值点的图像