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数学课本排列

　排　列

计数问题的核心有四类问题，分别是排列、重复排列、组合、重复组合。

我们先举一个简单的例子说明它们之间的不同。

假设要在a，b，c，d中选两个出来：

1.排列：

选两个（不能重复）排成一列。

有12种方法：

ab，ba，ac，ca，ad，da，bc，cb，bd，db，cd，dc。

2.重复排列：

选两个（可以重复）排成一列。

有16种方法：

aa，ab，ac，ad，ba，bb，bc，bd，ca，cb，cc，cd，

da，db，dc，dd。

3.组合：

选两个（顺序不计）。

有6种方法：

ab，ac，ad，bc，bd，cd。

4.重复组合：

选两个（可以重复，但顺序不计）。

有10种方法：

aa，ab，ac，ad，bb，bc，bd，cc，cd，dd。

以上问题实际上都可以穷举或用树形图解决，但我们可以发展有系统的计数。

本节讨论排列与重复排列。

1　排　列

全部不同物品的排列

假设我们要将a，b，c这三个数排成一列。

利用穷举或树形图

图26

可得abc，acb，bac，bca，cab，cba，

这六种方法，称为这三个物品的排列。

怎么算会比较快呢？

可以用乘法原理。

如图27，第一个位置有3种方法。

选定了之后，第二个位置剩下2种方法，第三个位置剩下1种方法。

图27

因此，共有3×2×1＝6种方法。

随堂练习

将a，b，c，d排成一列有多少种方法？

并将所有方法写出来。

同理，将n个不同物品排成一列有

n×（n－1）×（n－2）×…×2×1

种方法。

规定符号n!

＝n×（n－1）×（n－2）×…×2×1，读作“n阶乘”。

例如4!

＝4×3×2×1＝24。

因此有

※n个不同物品的排列

将n个不同物品排成一列有

＝n×（n－1）×（n－2）×…×2×1

种方法。

此外，我们也规定0!

＝1。

要注意到以下的说法是一样的：

“将a，b，c，d排成一列”，“将a，b，c，d放到四个不同的位置上”，

“将四个不同的东西按顺序挑出来”，都是4!

＝24种。

例题1

盈盈的手机开机画面由九个点组成，如图28所示。

手机要解锁的话，必须连按九次荧幕，将每一个点都按过一次。

试问：

（1）有多少种按的顺序？

（2）如果位于正中间的点必须在第五次按到，那这样有多少种按的顺序？

图28

解　

（1）“左上，上，右上，左，中，右，左下，下，右下”这九个位置的

任何一种排列就是一种按的顺序。

因此有9!

＝362880种按的顺序。

（2）现在“中”必须在第五个位置出现，即

□□□□中□□□□，

剩下八个位置任意排，就是一种按的顺序。

因此有8!

＝40320种按的顺序。

□

随堂练习

（1）例题1中，如果左上必须第一次按，有多少种按的顺序？

（2）例题1中，如果“左上”必须第一次按，且“中”必须最后一次按，有多少种按的顺序？

现在我们考虑只选一些物品来排列的方法数，以下思考都是使用乘法原理：

想知道自7个不同物品中选出4个来排成一列的方法数。

如图29，第一个位置有7种选择。

选定了之后，第二个位置剩下6种选择。

以此类推，则第三个位置剩下5种选择，第四个位置剩下4种选择。

图29

因此，共有7×6×5×4＝840种方法，亦可写成

7×6×5×4

＝

＝840。

随堂练习

在a，b，c，d，e中选出3个来排成一列的方法数有多少种？

为了方便，令

表示从n个不同物品中选出k个（0≤k≤n）来排成一列的方法数，则同理可得

＝

。

※n个不同物品选出k个排列

令

表示从n个不同物品中选出k个（0≤k≤n）排成一列的方法数，则

＝n×（n－1）×…×（n－k＋1）＝

。

若n个物品全选，就是原来n个不同物品的排列，即

＝

＝n!

，这就是为什么要规定0!

＝1的原因了。

随堂练习

试求下列的排列数：

（1）

。

（2）

。

（3）

。

例题2

从a，b，c，d，e，f之中任取4个不同的字母排成一列，试求有多少种排法？

解　从6个字母中，任取4个不同的字母排成一列，共有

＝

＝6×5×4×3＝360种排法。

□

随堂练习

小芬到台南观光，书上推荐了7个景点。

她想在早上、中午、下午等3个时段各前往1个景点参观，景点选取不重复，请问有多少种可能的方法？

例题3

从1，2，3，4，5，6等数字中，任取四个不同的数字排成一个四位数。

（1）试问可排出多少种不同的四位数？

（2）其中有多少个是4的倍数？

解　

（1）任取四个数字排成一列即成一个四位数，故有

＝360种。

（2）一自然数是4的倍数的条件是末两位是4的倍数。

所以把所有末两位为4的倍数的可能情形一一列出，有

□□12

□□16

□□24

□□32

□□36

□□52

□□56

□□64

这八类。

现在一类一类来算。

例如□□12这一类，还要再从剩下的四个数字中选出两个排在空位中，故有

＝4×3＝12种方法。

同理，可得出其他各类也分别都有12种方法。

因此，共有

12＋12＋12＋12＋12＋12＋12＋12＝96个。

（注意到本题解题中用到的，就是加法原理的分类）□

随堂练习

从5，6，7，8，9等数字中，任取三个不同的数字排成一个三位数。

其中有多少个是偶数？

例题4

三男两女共五人排成一列拍团体照。

试问下列的条件之下，各有多少种排列的方法？

（1）甲、乙两人感情太好，一定要站在相邻的位置。

（2）丙、丁两人有深仇大恨，一定不要站在相邻的位置。

（3）男女相间排列。

解　

（1）先将甲、乙视为一个整体，如下所示。

甲乙丙丁戊

则有4!

种排法。

排定好之后，甲乙之中，甲、乙两人要排列，有2!

种方法。

因此，由乘法原理，这五人排成一列共有

×2!

＝48种方法。

□

（2）先将甲、乙、戊三人排好，共有3!

种排法。

排定好之后，将丙、丁两人分别插在不同的空隙之中，两端的空间也

可以。

如下所示。

↓甲↓乙↓戊↓

总共有4个空隙，故有

种方法。

所以共有

＝72种方法。

（3）先将男生排在第1，3，5个位置中并排列，有3!

种排法。

再将女生排在第2，4个位置中并排列，有2!

种排法。

所以共有

×2!

＝12种方法。

□

随堂练习

四对夫妇排成一列共同照相。

夫妇必须相邻站在一起，试问有多少种方式？

例题5

甲、乙、丙、丁、戊五人排成一行进入游乐场的鬼屋，试问：

（1）戊不走最前面的排法有多少种？

（2）戊不走最前面，且丙不走最后面的排法有多少种？

图30

解　

（1）戊不走最前面的排法，即为（全部排法）－（戊走最前面）。

全部排法有5!

种，

戊走最前面有4!

种（因为此时为“戊□□□□”），

所以戊不走最后面的排法有5!

－4!

＝96种

（2）由取舍原理﹐所求为（全部排法）－（戊走最前面）－（丙走最后面）

＋（戊走最前面且丙走最后面）。

全部排法有5!

种﹐

戊走最前面有4!

种（因为此时为“戊□□□□”）﹐

丙走最后面有4!

种（因为此时为“□□□□丙”）﹐

戊走最前面且丙走最后面有3!

种（因为此时为“戊□□□丙”）﹐

因此，共有5!

－4!

＋3!

＝120－24－24＋6＝78种排法。

□

随堂练习

小如有一个很久没有使用的号码锁，她只记得打开锁的四位数密码由2，5，7，9等四个数字所组成，且2不是第一位数、9不是最末位数。

试问小如最多要试多少次，才能成功打开这个锁？

含有相同物品的排列

现在我们来考虑含有相同物品的排列。

将a，b，b，b排成一列显然有四种方法：

abbb，babb，bbab，bbba。

可以这样思考：

先把三个b视为不同，故a，b，b，b排成一列有4!

＝24种方法：

abbb　　　babb　　　bbab　　　bbba

但是实际上三个b是一样的。

因此，上表中同一直行的3!

＝6种（三个b可乱换）其实是同一种，因此一共有

＝4种。

随堂练习

将a，a，b排成一列有多少种方法？

类似地，将aaabb排成一列，有多少种方法呢？

我们可以先将每个字母都视为不同，有5!

种方法；接着因为三个a相同所以除以3!

，再因两个b相同所以除以2!

，故实际上共有

＝10种方法。

随堂练习

写出aaabb排成一列的10种方法。

一般而言，同理可得到以下的结论。

※含有相同物品的排列

设n个物品分成k类，每类各有m1，m2，…，mk个

（每类中的物品相同且m1＋m2＋…＋mk＝n）。

则这n个物品排成一列有

种方法。

例题6

小璇连续掷一颗骰子七次，已知出现两次2，四次4，一次6。

试问这些数字出现的顺序共有多少种？

解　题意即问2，2，4，4，4，4，6的排列有多少种。

故所求为

＝105种。

□

随堂练习

小芬连续掷一枚硬币五次，其中出现三次正面。

试问硬币正、反面出现的顺序共有多少种？

例题7

如图31的棋盘街道，试求：

（1）从A点走到B点的最短路径有多少条？

（2）从A点走到B点且一定要经过C点的最短路径有多少条？

图31

解　若是最短路径﹐则每一步必定是“向上”或“向右”。

（1）先画几条路线来观察，

第一个图的路线可用“上上右右右上右右”来表示，如图32。

第二个图的路线可用“右右上右上右上右”来表示，如图33。

图32　　　　　　　　　　　　　　　图33

因此，可看出“右右右右右上上上”

的任何一种排列都相当于一条路线。

因此共有

＝56条。

（2）一定要经过C点﹐则必须由A走到C﹐再由C走到B。

由A走到C必须要2个右2个上﹐有

种，

由C走到B必须要3个右1个上﹐有

种。

因此﹐利用乘法原理共有

＝24条不同的路线。

□

随堂练习

如图34，由A点走最短路径到达B点，且不经过C点，试问共有多少条不同的路线？

图34

2　重复排列

现在我们考虑重复排列，亦即所排列的物品是可以重复使用的，且重复次数不限。

先以例子说明：

将两个物品排成一列，每个物品可以是a，b，c，d其中之一，但是物品可以重复使用。

有多少方法呢？

一样用乘法原理来思考。

如图35，

图35

第一个位置有4种选择，第二个位置仍然有4种选择（因为物品可以重复使用）。

因此由乘法原理，共有4×4＝16种方法。

可以利用树形图穷举如下。

aa，ab，ac，ad，ba，bb，bc，bd，ca，cb，cc，cd，da，db，dc，dd。

这些称为由四种不同物品（a，b，c，d）中取出两个的重复排列。

同理，从五种不同物品取出三个的重复排列，即如图36。

图36

每一格可以填a，b，c，d，e，共有5×5×5＝125种方法。

随堂练习

五种不同物品a，b，c，d，e，从中取出两个的重复排列有多少种方法？

并列出其所有方法。

同理，要计算从n种物品中取出k个的重复排列的方法数，可考虑如图37，

图37

k个位置中的每一个位置都可以是1，2，3，…，n其中之一。

因此有

n×n×n×…×n＝nk

种方法。

※重复排列

从n种物品中取出k个（每种物品都至少有k个），物品可以重复出现的排列有nk种方法。

例题8

小璇脚踏车上的密码锁如图38所示，有4个滚轮，每一个滚轮上都有0，1，2，…，9等10个数字可供选择。

试问密码有多少种设定方法？

图38

解　因为有四个位置要设定，每个位置都有10种选择。

因此，共有

10×10×10×10＝104种设定方法。

□

随堂练习

已知目前每组手机号码共有10码，若某家电信业者其手机号码开头的前四码是0910，则以0910作为前四码可以提供多少组手机号码？

例题9

小芬想将图39的各圆着色，一共有红、蓝、黄、白、黑、绿六种颜色可以使用，但是规定有线段相邻的两圆不可以同色，颜色可以重复使用，试问共有多少种方法？

图39

解　一步一步由左往右涂。

第一个圆的颜色有6种选择。

第二个圆必须跟第一个圆不同色，有5种选择。

第三个圆必须跟第二个圆不同色，有5种选择。

第四个圆必须跟第三个圆不同色，有5种选择。

因此，共有6×5×5×5＝750种方法。

□

随堂练习

许多国家的国旗都是由三条直条区域排列而成，如图40所示。

小芬想设计这样的一面旗子当班旗，共有7种不同的颜色可用，颜色可以重复使用，但相邻区域颜色不能相同。

试问有多少种可能的样式？

图40

例题10

有七个人要同时乘小船渡河，共有A，B，C三艘小船可选择。

（1）若每艘小船限乘六人，试问有多少种可行的渡河方法？

（2）若每艘小船限乘五人，试问有多少种可行的渡河方法？

解　

（1）“任意坐扣掉超过的”就是可行的坐船方式。

任意坐：

每个人都可以选A，B，C任一艘船，故有37＝2187种方法。

超过的：

七个人同时挤在同一艘船上，有3种方法（同挤在A，B或C船）。

因此，有2187－3＝2184种可行的渡河方法。

（2）此时超过的有两类情形：

七个人挤在同一船，或是六个人挤在同一船，剩下一人在另一艘船上。

第一类：

七个人挤在同一船，同

（1），有3种方法。

第二类：

六个人挤在同一船，剩下一人在另一艘船上。

一步一步思考：

先选出独自乘坐一船的人（有7种方法）。

此人可能坐在A，B，C中的某一船上（有3种方法），其他人要全部挤在剩下两船的某一艘上（有2种方法）。

故此类有

7×3×2＝42种方法。

因此，有2187－3－42＝2142种可行的渡河方法。

□

随堂练习

咖啡店提供草莓蛋糕、巧克力蛋糕、苹果派、柠檬派、水果派等五种甜点，盈盈周一到周五下午每天都去买一个来吃。

请问一周之内蛋糕类和派类都吃到的购买方法有多少种？

图41

习题　2-2

一、基本题

1.将一盒12枝不同颜色的彩色笔一枝一枝由左至右放回盒子里，有多少种可能的排法？

（1）将○，○，○，○，○，○，＋，＋共八个符号排成一列，有多少种排法？

（2）将a，a，b，b，b，c，c，c等八个字母排成一列，有多少种排法？

3.在电子广告牌上有如下的一排方格，

每个方格可以出现红、黄、绿三种颜色之一，则有多少种可能的图案？

4.某金融卡的提款密码规定为四码，每一码可以选用数字或英文字母，但密码不能全部都只有数字或全部都只有英文字母（不区分大小写），试求共有多少组不同的密码可选用？

5.从0，1，2，3，4，5等数字中，任取四个不同的数字排成一个四位数，试问共可排出多少种不同的四位数？

二、进阶题

6.从1，2，3，4，5，6这六个数字中，任取四个不同的数字排成一个四位数，其中比2000大的数有多少个？

7.某记者要为四名志工和两位老夫妇拍照，要求这六个人排成一列。

若两位老夫妇相邻，但不排在两端，试求有多少种可能的排法？

8.甲、乙、丙、丁、戊五人在垦丁同坐一艘五人座香蕉船，但甲不愿意坐最前面，乙坚决不要坐最后面，戊一定要坐最中间。

试问这五人坐船的方法有多少种？

9.一只青蛙站在原点，每一步往左或往右跳一个单位长。

已知青蛙跳了六步之后回到原点。

试问青蛙跳的方法有多少种？

10.由1，2，3，4，5，6，7，8，9各一个所形成的九位数中，

（1）若1要在2的左边，有多少个这样的九位数？

（2）若1要在2的左边，且3要在4的左边，有多少个这样的九位数？

三、挑战题

11.将1，2，3，4，5的每个排列视为五位数，并将这些五位数由小到大排成一列，如

12345，12354，12435，…，54321。

（1）试问35421的下一个数是多少？

（2）试问由小到大数的第56个数是多少？

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