数学课本排列.docx

1、数学课本排列排列计数问题的核心有四类问题，分别是排列、重复排列、组合、重复组合。我们先举一个简单的例子说明它们之间的不同。假设要在 a，b，c，d 中选两个出来：1. 排列：选两个（不能重复）排成一列。有 12 种方法：ab，ba，ac，ca，ad，da，bc，cb，bd，db，cd，dc。2. 重复排列：选两个（可以重复）排成一列。有 16 种方法：aa，ab，ac，ad，ba，bb，bc，bd，ca，cb，cc，cd，da，db，dc，dd。3. 组合：选两个（顺序不计）。有 6 种方法：ab，ac，ad，bc，bd，cd。4. 重复组合：选两个（可以重复，但顺序不计）。有 10 种方法：

2、aa，ab，ac，ad，bb，bc，bd，cc，cd，dd。以上问题实际上都可以穷举或用树形图解决，但我们可以发展有系统的计数。本节讨论排列与重复排列。1排列全部不同物品的排列假设我们要将 a，b，c 这三个数排成一列。利用穷举或树形图图 26可得 abc，acb，bac，bca，cab，cba，这六种方法，称为这三个物品的排列。怎么算会比较快呢？可以用乘法原理。如图 27，第一个位置有 3 种方法。选定了之后，第二个位置剩下 2 种方法，第三个位置剩下 1 种方法。图 27因此，共有 3216 种方法。随堂练习 将 a，b，c，d 排成一列有多少种方法？并将所有方法写出来。 同理，将 n 个

3、不同物品排成一列有n（n1）（n2）21种方法。规定符号 n!n（n1）（n2）21，读作“n 阶乘”。例如 4!432124。因此有n 个不同物品的排列将 n 个不同物品排成一列有n!n（n1）（n2）21种方法。此外，我们也规定 0!1。要注意到以下的说法是一样的：“将 a，b，c，d 排成一列”，“将 a，b，c，d 放到四个不同的位置上”，“将四个不同的东西按顺序挑出来”，都是 4!24 种。例题1 盈盈的手机开机画面由九个点组成，如图 28 所示。手机要解锁的话，必须连按九次荧幕，将每一个点都按过一次。试问：(1) 有多少种按的顺序？(2) 如果位于正中间的点必须在第五次按到，那这样

4、有多少种按的顺序？图 28 解(1) “左上，上，右上，左，中，右，左下，下，右下”这九个位置的 任何一种排列就是一种按的顺序。 因此有 9!362880 种按的顺序。 (2) 现在“中”必须在第五个位置出现，即中， 剩下八个位置任意排，就是一种按的顺序。 因此有 8!40320 种按的顺序。 随堂练习 (1) 例题 1 中，如果左上必须第一次按，有多少种按的顺序？(2) 例题 1 中，如果“左上”必须第一次按，且“中”必须最后一次按，有多少种按的顺序？ 现在我们考虑只选一些物品来排列的方法数，以下思考都是使用乘法原理：想知道自 7 个不同物品中选出 4 个来排成一列的方法数。如图 29，第一

5、个位置有 7 种选择。选定了之后，第二个位置剩下 6 种选择。以此类推，则第三个位置剩下 5 种选择，第四个位置剩下 4 种选择。图 29因此，共有 7654840 种方法，亦可写成7654840。随堂练习 在 a，b，c，d，e 中选出 3 个来排成一列的方法数有多少种？ 为了方便，令表示从 n 个不同物品中选出 k 个（0 k n）来排成一列的方法数，则同理可得。n 个不同物品选出 k 个排列令表示从 n 个不同物品中选出 k 个（0 k n）排成一列的方法数，则n（n1）（nk1）。若 n 个物品全选，就是原来 n 个不同物品的排列，即n!，这就是为什么要规定 0!1 的原因了。随堂练习

6、 试求下列的排列数：(1) 。 (2)。 (3)。 例题2 从 a，b，c，d，e，f 之中任取 4 个不同的字母排成一列，试求有多少种排法？ 解从 6 个字母中，任取 4 个不同的字母排成一列，共有 6543360 种排法。 随堂练习 小芬到台南观光，书上推荐了 7 个景点。她想在早上、中午、下午等 3 个时段各前往 1 个景点参观，景点选取不重复，请问有多少种可能的方法？ 例题3 从 1，2，3，4，5，6 等数字中，任取四个不同的数字排成一个四位数。(1) 试问可排出多少种不同的四位数？(2) 其中有多少个是 4 的倍数？ 解(1) 任取四个数字排成一列即成一个四位数，故有360 种。

7、(2) 一自然数是 4 的倍数的条件是末两位是 4 的倍数。所以把所有末两位为 4 的倍数的可能情形一一列出，有 1 2 1 6 2 4 3 2 3 6 5 2 5 6 6 4 这八类。现在一类一类来算。 例如12 这一类，还要再从剩下的四个数字中选出两个排在空位中，故有 4312 种方法。 同理，可得出其他各类也分别都有 12 种方法。因此，共有121212121212121296 个。 （注意到本题解题中用到的，就是加法原理的分类） 随堂练习 从 5，6，7，8，9 等数字中，任取三个不同的数字排成一个三位数。其中有多少个是偶数？ 例题4 三男两女共五人排成一列拍团体照。试问下列的条件之下

8、，各有多少种排列的方法？(1) 甲、乙两人感情太好，一定要站在相邻的位置。(2) 丙、丁两人有深仇大恨，一定不要站在相邻的位置。(3) 男女相间排列。 解(1) 先将甲、乙视为一个整体，如下所示。甲乙 丙丁戊 则有 4! 种排法。 排定好之后，甲乙 之中，甲、乙两人要排列，有 2! 种方法。 因此，由乘法原理，这五人排成一列共有4!2!48 种方法。 (2) 先将甲、乙、戊三人排好，共有 3! 种排法。 排定好之后，将丙、丁两人分别插在不同的空隙之中，两端的空间也 可以。如下所示。甲乙戊 总共有 4 个空隙，故有种方法。 所以共有3!72 种方法。 (3) 先将男生排在第 1，3，5 个位置中

9、并排列，有 3! 种排法。 再将女生排在第 2，4 个位置中并排列，有 2! 种排法。 所以共有3!2!12 种方法。 随堂练习 四对夫妇排成一列共同照相。夫妇必须相邻站在一起，试问有多少种方式？ 例题5 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一行进入游乐场的鬼屋，试问：(1) 戊不走最前面的排法有多少种？(2) 戊不走最前面，且丙不走最后面的排法有多少种？图 30 解(1) 戊不走最前面的排法，即为（全部排法）（戊走最前面）。 全部排法有 5! 种， 戊走最前面有 4! 种（因为此时为“戊”）， 所以戊不走最后面的排法有 5!4!96 种 (2) 由取舍原理所求为（全部排法）（戊走最前面）（丙走最后面）

10、 （戊走最前面且丙走最后面）。 全部排法有 5! 种 戊走最前面有 4! 种（因为此时为“戊”） 丙走最后面有 4! 种（因为此时为“丙”） 戊走最前面且丙走最后面有 3! 种（因为此时为“戊丙”） 因此，共有 5!4!4!3!1202424678 种排法。 随堂练习 小如有一个很久没有使用的号码锁，她只记得打开锁的四位数密码由 2，5，7，9 等四个数字所组成，且 2 不是第一位数、9 不是最末位数。试问小如最多要试多少次，才能成功打开这个锁？ 含有相同物品的排列现在我们来考虑含有相同物品的排列。将 a，b，b，b 排成一列显然有四种方法：abbb，babb，bbab，bbba。可以这样思考

11、：先把三个 b 视为不同，故 a，b，b，b 排成一列有 4!24 种方法：abbbbabbbbabbbbaabbbbabbbbabbbbaabbbbabbbbabbbbaabbbbabbbbabbbbaabbbbabbbbabbbbaabbbbabbbbabbbba但是实际上三个 b 是一样的。因此，上表中同一直行的 3!6 种（三个 b 可乱换）其实是同一种，因此一共有4 种。随堂练习 将 a，a，b 排成一列有多少种方法？ 类似地，将 aaabb 排成一列，有多少种方法呢？我们可以先将每个字母都视为不同，有 5! 种方法；接着因为三个 a 相同所以除以 3!，再因两个 b 相同所以除以

12、2!，故实际上共有10 种方法。随堂练习 写出 aaabb 排成一列的 10 种方法。 一般而言，同理可得到以下的结论。含有相同物品的排列设 n 个物品分成 k 类，每类各有 m1，m2，mk 个（每类中的物品相同且 m1m2mkn）。则这 n 个物品排成一列有种方法。例题6 小璇连续掷一颗骰子七次，已知出现两次 2，四次 4，一次 6。试问这些数字出现的顺序共有多少种？ 解题意即问 2，2，4，4，4，4，6 的排列有多少种。故所求为 105 种。 随堂练习 小芬连续掷一枚硬币五次，其中出现三次正面。试问硬币正、反面出现的顺序共有多少种？ 例题7 如图 31 的棋盘街道，试求：(1) 从 A

13、 点走到 B 点的最短路径有多少条？(2) 从 A 点走到 B 点且一定要经过 C 点的最短路径有多少条？图 31 解若是最短路径则每一步必定是“向上”或“向右” 。 (1) 先画几条路线来观察， 第一个图的路线可用“上上右右右上右右”来表示，如图 32。 第二个图的路线可用“右右上右上右上右”来表示，如图 33。图 32图 33 因此，可看出“右右右右右上上上” 的任何一种排列都相当于一条路线。因此共有 56 条。 (2) 一定要经过 C 点则必须由 A 走到 C再由 C 走到 B。 由 A 走到 C 必须要 2 个右 2 个上有种， 由 C 走到 B 必须要 3 个右 1 个上有种。 因此

14、利用乘法原理共有24 条不同的路线。 随堂练习 如图 34，由 A 点走最短路径到达 B 点，且不经过 C 点，试问共有多少条不同的路线？图 34 2重复排列现在我们考虑重复排列，亦即所排列的物品是可以重复使用的，且重复次数不限。先以例子说明：将两个物品排成一列，每个物品可以是 a，b，c，d 其中之一，但是物品可以重复使用。有多少方法呢？一样用乘法原理来思考。如图 35，图 35第一个位置有 4 种选择，第二个位置仍然有 4 种选择（因为物品可以重复使用）。因此由乘法原理，共有 4416 种方法。可以利用树形图穷举如下。aa，ab，ac，ad，ba，bb，bc，bd，ca，cb，cc，cd，

15、da，db，dc，dd。这些称为由四种不同物品（a，b，c，d）中取出两个的重复排列。同理，从五种不同物品取出三个的重复排列，即如图 36。图 36每一格可以填 a，b，c，d，e，共有 555125 种方法。随堂练习 五种不同物品 a，b，c，d，e，从中取出两个的重复排列有多少种方法？并列出其所有方法。 同理，要计算从 n 种物品中取出 k 个的重复排列的方法数，可考虑如图 37，图 37k 个位置中的每一个位置都可以是 1，2，3，n 其中之一。因此有nnnnnk种方法。重复排列从 n 种物品中取出 k 个（每种物品都至少有 k 个），物品可以重复出现的排列有 nk 种方法。例题8 小璇

16、脚踏车上的密码锁如图 38 所示，有 4 个滚轮，每一个滚轮上都有 0，1，2，9 等 10 个数字可供选择。试问密码有多少种设定方法？图 38 解因为有四个位置要设定，每个位置都有 10 种选择。因此，共有 10101010104 种设定方法。 随堂练习 已知目前每组手机号码共有 10 码，若某家电信业者其手机号码开头的前四码是 0910，则以 0910 作为前四码可以提供多少组手机号码？ 例题9 小芬想将图 39 的各圆着色，一共有红、蓝、黄、白、黑、绿六种颜色可以使用，但是规定有线段相邻的两圆不可以同色，颜色可以重复使用，试问共有多少种方法？图 39 解一步一步由左往右涂。 第一个圆的颜

17、色有 6 种选择。 第二个圆必须跟第一个圆不同色，有 5 种选择。 第三个圆必须跟第二个圆不同色，有 5 种选择。 第四个圆必须跟第三个圆不同色，有 5 种选择。 因此，共有 6555750 种方法。 随堂练习 许多国家的国旗都是由三条直条区域排列而成，如图 40 所示。小芬想设计这样的一面旗子当班旗，共有 7 种不同的颜色可用，颜色可以重复使用，但相邻区域颜色不能相同。试问有多少种可能的样式？图 40 例题10 有七个人要同时乘小船渡河，共有 A，B，C 三艘小船可选择。(1) 若每艘小船限乘六人，试问有多少种可行的渡河方法？(2) 若每艘小船限乘五人，试问有多少种可行的渡河方法？ 解(1)

18、 “任意坐扣掉超过的”就是可行的坐船方式。 任意坐：每个人都可以选 A，B，C 任一艘船，故有 372187 种方法。 超过的：七个人同时挤在同一艘船上，有 3 种方法（同挤在 A，B 或 C 船）。 因此，有 218732184 种可行的渡河方法。 (2) 此时超过的有两类情形：七个人挤在同一船，或是六个人挤在同一船，剩下一人在另一艘船上。 第一类：七个人挤在同一船，同(1)，有 3 种方法。 第二类：六个人挤在同一船，剩下一人在另一艘船上。 一步一步思考： 先选出独自乘坐一船的人（有 7 种方法）。此人可能坐在 A，B，C 中的某一船上（有 3 种方法），其他人要全部挤在剩下两船的某一艘上

19、（有 2 种方法）。 故此类有73242 种方法。 因此，有 21873422142 种可行的渡河方法。 随堂练习 咖啡店提供草莓蛋糕、巧克力蛋糕、苹果派、柠檬派、水果派等五种甜点，盈盈周一到周五下午每天都去买一个来吃。请问一周之内蛋糕类和派类都吃到的购买方法有多少种？图 41 习题2-2一、基本题1. 将一盒 12 枝不同颜色的彩色笔一枝一枝由左至右放回盒子里，有多少种可能的排法？2. (1) 将，共八个符号排成一列，有多少种排法？ (2) 将 a，a，b，b，b，c，c，c 等八个字母排成一列，有多少种排法？3. 在电子广告牌上有如下的一排方格， 每个方格可以出现红、黄、绿三种颜色之一，则

20、有多少种可能的图案？4. 某金融卡的提款密码规定为四码，每一码可以选用数字或英文字母，但密码不能全部都只有数字或全部都只有英文字母（不区分大小写），试求共有多少组不同的密码可选用？5. 从 0，1，2，3，4，5 等数字中，任取四个不同的数字排成一个四位数，试问共可排出多少种不同的四位数？二、进阶题6. 从 1，2，3，4，5，6 这六个数字中，任取四个不同的数字排成一个四位数，其中比 2000 大的数有多少个？7. 某记者要为四名志工和两位老夫妇拍照，要求这六个人排成一列。若两位老夫妇相邻，但不排在两端，试求有多少种可能的排法？8. 甲、乙、丙、丁、戊五人在垦丁同坐一艘五人座香蕉船，但甲不愿

21、意坐最前面，乙坚决不要坐最后面，戊一定要坐最中间。试问这五人坐船的方法有多少种？9. 一只青蛙站在原点，每一步往左或往右跳一个单位长。已知青蛙跳了六步之后回到原点。试问青蛙跳的方法有多少种？10. 由 1，2，3，4，5，6，7，8，9 各一个所形成的九位数中， (1) 若 1 要在 2 的左边，有多少个这样的九位数？ (2) 若 1 要在 2 的左边，且 3 要在 4 的左边，有多少个这样的九位数？三、挑战题11. 将 1，2，3，4，5 的每个排列视为五位数，并将这些五位数由小到大排成一列，如12345，12354，12435，54321。 (1) 试问 35421 的下一个数是多少？ (2) 试问由小到大数的第 56 个数是多少？