怎么证明垂直.docx
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怎么证明垂直
怎么证明垂直
怎么证明垂直 1、
利用勾股定理的逆定理证明
勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。
2、
利用“三线合一”证明
要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。
3、
利用直角三角形中两锐角互余证明
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
4、
圆周角定理的推论：
直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5、
利用菱形的对角线互相垂直证明
菱形的对角线互相垂直。
6、
利用全等三角形证明
主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直.
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1利用直角三角形中两锐角互余证明
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理
3圆周角定理的推论：
直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分
线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为0
2斜率两条直线斜率积为-1
3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线
一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边
4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下：
ⅰ.平行关系：
线线平行：
1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。
2.公理4。
3.线面平行的性质。
4.面面平行的性质。
5.垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行：
1.直线与平面无公共点。
2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。
3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。
面面平行：
1.两个平面无公共点。
2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
ⅱ.垂直关系：
线线垂直：
1.直线所成角为90°。
2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。
线面垂直：
1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。
2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。
3.面面垂直的性质。
4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。
5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。
面面垂直：
1.面面所成二面角为直二面角。
2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直
线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为0
2斜率两条直线斜率积为-1
3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线
一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边
4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下：
。
线面、面面垂直的判定及性质
一、选择题
1、已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确的个数是a．３ｂ．２ｃ．１
ｄ．０
2、已知直线l?
平面?
，有以下几个判断：
①若m?
l，则m//?
；②若m?
?
，则m//l；
③若m//?
，则m?
l；④若m//l，则m?
?
．上述判断中正确的是
ａ．①②③ｂ．②③④ｃ．①③④ｄ．①②④
3、直线a不垂直于平面?
，则?
内与a垂直的直线有
ａ．0条ｂ．1条ｃ．无数条ｄ．?
内所有直线
4、在空间四边形abcd中，若ab?
bc，ad?
cd，e为对角线ac的中点，下列判断正确的是
ａ．平面abd?
平面bdcｂ．平面abc?
平面abdｃ．平面abc?
平面adc
ｄ．平面abc?
平面bed
二、填空题
1、已知直线a，b和平面?
，且a?
b，a?
?
，则b与?
的位置关系是．
2、?
，?
是两个不同的平面，m，n是平面?
及?
之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m?
n；②?
?
?
；③n?
?
；④m?
?
．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作
为结论，写出你认为正确的一个命题．
3、设o为平行四边形abcd对角线的交点，p为平面ac外一点且有pa?
pc，pb?
pd，则po与平面abcd的关系是．
第1页第1页
3、如图，直角△abc所在平面外一点s，且sa?
sb?
sc，点d为斜边ac的中点．求证：
sd?
平面abc；
若ab?
bc，求证：
bd?
面sac．
4、如图，在正方体abcd—a1b1c1d1中，ef⊥a1d，ef⊥ac，求证：
ef∥bd1.
c1
ac
a
5、已知：
如图所示，平面?
?
平面?
，?
?
?
?
l，在l上取线段ab?
4，ac，
bd分别在平面?
和平面?
内，且ac?
ab，db?
ab，ac?
3，bd?
12，求cd长．
6、如图，在四棱锥p?
abcd中平面pad⊥平面abcd，ab?
ad，?
dab?
60?
，e，f分别是ap,ab的中点，
求证：
ef∥平面pcd，平面bef⊥平面pad
7、如图，四棱锥p?
abcd中，底面abcd是矩形，m，n分别为pa，bc的中点，
pd?
平面abcd，pd?
ab?
2,cd?
1
求证：
mn∥平面pcd求证：
mc?
bd
8、如图，已知ab?
面acd，de?
面acd，ac?
ad，de?
2ab，f为cd中点求证：
af∥面bce求证：
面bce?
面cde
9、如图，在四面体abcd中，cd?
cb，ad?
bd，e，f分别是ab,bd的中点，求证：
ef∥面acd面efc?
面bcd
a
10、如图，在正方体abcd—a1b1c1d1中，e是dd1的中点，求be和面abb1a1所成角的正弦值
在棱c1d1是否存在一点f，使得b1f∥面a1be？
并证明你的结论
c1
ac
利用全等证明垂直问题
1.如图，ad⊥bc于d，ad=bd，de=dc。
猜想并证明be和ac有何关系？
图19
2.如图：
在△abc中，be、cf分别是ac、ab两边上的高，在be上截取bd=ac，在cf的延长线上截取cg=ab，连结ad、ag。
猜想ad与ag的关系，并证明。
ag
fe
b
c
作业：
1.如图，ad是△abc的角平分线，de⊥ab，df⊥ac，垂足分别为e、f，连接ef，ef与ad交于g，ad与eg垂直吗？
证明你的结论。
2.如图,已知:
等腰rt△oab中,∠aob=900,等腰rt△eof中,∠eof=900,连结ae、bf.求证:
ae=bf;ae⊥bf.
3.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，b，c，e在同一条直线上，连结dc．请找出图2中的全等三角形，并给予证明；证明：
dc⊥be．
c
图1
图2
利用全等证明线段的相等以及和、差、倍、分问题
1.如图，△abc中，ab=ac，d是ab上一个动点，df⊥bc于点f，交ca延长线于点e，
试判断ad、ae的大小关系，并说明理由；当点d在ba的延长线上时，其他条件不变，中的结论是否还成立？
请说明理由。
f
备用图
2.在△abc中，∠c=90°，ac=bc，过点c在△abc的外部作直线mn），am⊥mn于m，bn⊥mn于n。
求证：
mn=am+bn。
若将条件改为“过点c在△abc内作直线mn”，其它条件不变，问结论是否仍然成立？
如不成立，它们之间又满足怎么的关系，请画出图形并证明。
m
c
n
a
b
3.如图23，△abc中，d是bc的中点，过d点的直线gf交ac于f，交ac的平行线bg于g点，de⊥df，交ab于点e，连结eg、ef.⑴求证：
bg=cf⑵请你判断be+cf与ef的大小关系，并说明理由。
4.如图,ad⊥bc,bd=dc,点c在ae的垂直平分线上,ab+bd与de的长度有什么关系?
并加以证明。
a
bdce5.已知：
三角形abc中，∠a＝90°，ab＝ac，d为bc的中点，如图，e，
f分为ab,ac上的点，且be＝af，求证：
△def为等腰直角三角形．若e，f分别为ab,ca延长线上的点，仍有be＝af，其他条件不变，那么，△def是否仍为等腰直角三角形？
证明你的结论．
4.如图在?
afd和?
ceb中，点a，e，f，c在同一条直线上
?
?
d
有下面四个论断：
ad=cb，ae=cf，?
b
一道数学问题，并写出解答过程.
利用全等证明角的相等以及和、差、倍、分问题
1.如图22⑴，ab=cd，ad=bc，o为ac中点，过o点的直线分别与ad、bc相
交于点m、n，那么∠1与∠2有什么关系？
请说明理由。
若过o点的直线旋转至图⑵、⑶的情况，其余条件不变，那么图⑴中的∠1与∠2的关系成立吗？
请说明理由。
，
ad//bc.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编
2．如图，△abc中，e、f①ad平分∠bac，②de⊥ab，df⊥ac，
③ad⊥ef．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，
即：
①②?
③，①③?
②，②③?
①．
试判断上述三个命题是否正确；请证明你认为正确的命题．
22．如图，给出五个等量关系：
①ad?
bc②ac?
bd③ce?
de④?
d?
?
c⑤?
dab?
?
cba．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个
正确
的结论，并加以证明．
已知：
求证：
证明：
22．如图，给出五个等量关系：
①ad?
bc②ac?
bd③c
e?
deam④?
d?
?
c
17．本题9分，工人师傅要检查人字梁的∠b和∠c是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在ba和ca上取be?
cg；②在bc上取bd?
cf；
③量出de的长a米，fg的长b米．
如果a?
b，则说明∠b和∠c是相等的．他的这种做法合理吗？
为什么？
⑤?
dab?
?
cba．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论，并加以证明．8
分onb
已知：
e
求证：
证明：
b
16．如图9所示，△abc是等腰直角三角形，∠acb＝90°，ad是bc边上的中线，过c作ad的垂线，交ab于点e，交ad于点f，求证：
∠adc＝∠．
ab
22.如图,有一池塘,要测池塘两端a、b的距离,可先在平地上取一个可以直接到达e
和b的点c,连结ac并延长到d,使cd=ca.连结bc并延长到e,使ec=cb,图9
a
连结de,量出de的长,就是a、b的距离.写出你的证明．
d
f
第五课时学案垂直的证明方法
命题预测
从近几年的高考试题来看，线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质等是高考的热点,题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质；主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象、逻辑推理以及分析问题、解决问题的能力．
预测2014年高考仍将以线面垂直、面面垂直为主要考查点，重点考查学生的空间想象以及逻辑推理能力．
考点1直线与平面垂直的判定与性质
例1、如图，在四棱锥p?
abcd中，底面abcd是矩形．已知ab?
3,ad?
2,pa?
2,pd?
22,?
pab?
60?
．证明ad?
平面pab；
求异面直线pc与ad所成的角的大小；求二面角p?
bd?
a的大小．
变式1：
如图，已知三棱锥a－bpc中,ap⊥pc,ac⊥bc，m为ab中点，d为pb中点，且△pmb为正三角形．求证：
md∥平面apc；bc⊥平面apc.
变式2：
如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为菱形，pa⊥底面abcd，
ac=2pa=2，e是pc上的一点，pe=2ec.
证明：
pc⊥平面bed；
设二面角a-pb-c为90°，求pd与平面pbc所成角的大小.
变式3：
如图，四面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点
，
ca?
cb?
cd?
bd?
2,ab?
ad?
求证：
ao?
平面bcd；求异面直线ab与cd所成角的大小；求点e到平面acd的距离。
b
e
变式4：
如图，四棱锥s?
abcd中，ab?
cd,bc?
cd，侧面sab为等边三角形，ab?
bc?
2,cd?
sd?
1．
证明：
sd?
平面sab;求ab与平面sbc所成角的大小．
例2、如图，正四棱柱abcd?
a1b1c1d1中，aa1?
2ab?
4，点e在cc1上
ac1
且c1e?
3ec．证明：
a1c?
平面bed；求二面角a1?
de?
b的大小．ec
例3、在棱长为1的正方体abcd－a1b1c1d1中，e是棱bc的中点，点f是棱cd上的动点。
试确定点f的位置，使得d1e⊥平面ab1f；
当d1e⊥平面ab1f时，求二面角c1―ef―a的大小。
例4、如图1，在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ac=6，d，e分别是ac，ab上的点，且de∥bc，de=2，将△ade沿de折起到△a1de的位置，使a1c⊥cd,如图2.求证：
a1c⊥平面bcde；
若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；
线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？
说明理由
证明：
面pad⊥面pcd；
考点2平面与平面垂直的判定与性质
例1、如图，在四棱锥p－abcd中，平面pad⊥平面abcd，ab＝ad，∠bad＝60°，e，f分别是ap，ad的中点．求证：
直线ef∥平面pcd；平面bef⊥平面pad
变式1：
如图，在直三棱柱:
abc－a1b1c1中,aa1＝ab＝bc＝3，ac＝2，d是ac的中点．求证：
b1c∥平面a1bd；
求证：
平面a1bd⊥平面acc1a1；求三棱锥a－a1bd的体积．
变式2：
如图，四棱锥p-abcd的底面abcd是边长为1的菱形，∠bcd＝60°，e是cd的中点，pa⊥底面abcd，pa＝2.
证明：
平面pbe⊥平面pab;
求平面pad和平面pbe所成二面角的大小.
变式3：
如图，四棱锥p?
abcd的底面是正方形，
pd?
底面abcd，点e在棱pb上.
求证：
平面aec?
平面pdb；
当pd?
且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成
的角的大小.
变式4：
已知四棱锥p-abcd的底面为直角梯形，ab∥dc，?
dab?
90?
,pa?
底面abcd，
且pa=ad=dc=
12
ab=1，m是pb的中点。
求ac与pb所成的角；
求面amc与面bmc所成二面角的大小。
例2、如图，在直三棱柱abc?
a1b1c1中，a1b1?
a1c1，d，e分别是棱bc，cc1上的点，且ad?
de，f为b1c1的中点．求证：
平面ade?
平面bcc1b1；直线a1f//平面ade．
变式：
如图，四边形abcd为正方形，pd⊥平面abcd，pd∥qa，qa=ab=2pd．证明：
平面pqc⊥平面dcq；求二面角q—bp—c的余弦值．
例3、如图，四棱锥p－abcd中,底面abcd是∠dab＝60°的菱形,侧面pad为正三角形,其所在平面垂直于底面abcd.求证：
ad⊥pb；若e为bc边的中点，能否在棱pc上找到一点f，使平面def⊥平面abcd？
并证明你的结论．
高中立体几何证明垂直的专题训练
深圳龙岗区东升学校——罗虎胜
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：
通过“平移”。
利用等腰三角形底边上的中线的性质。
利用勾股定理。
利用三角形全等或三角行相似。
利用直径所对的圆周角是直角，等等。
通过“平移”,根据若a//b,且b?
平面?
则a?
平面?
1．在四棱锥p-abcd中，△pbc为正三角形，ab⊥平面pbc，ab∥cd，ab=
dc，2
e为pd中点.求证：
ae⊥平面pdc.
分析：
取pc的中点f，易证ae//bf，易证
bf⊥平面pdc
2．如图，四棱锥p－abcdabcd，∠pda=45°，点e为棱ab的中点．求证：
平面pce⊥平面pcd；
分析：
取pc的中点g，易证eg//af，又易证af于是eg⊥平面pcd,则平面pce⊥平面pcd
3、如图所示，在四棱锥p?
ab中，
a?
b平面,pab//cd,pd?
ad,e是pb的中点，f是cd上的点，且
df?
ab,ph为?
pad中ad边上的高。
2
证明：
ph?
平面abcd；
若ph?
1，ad?
fc?
1，求三棱锥e?
bcf的体积；证明：
ef?
平面pab.
分析：
要证ef?
平面pab，只要把fe平移到dg，也即是取ap的中点g，易证ef//gd,易证dg⊥平面pab
4.如图所示,四棱锥p?
abcd底面是直角梯形
ba?
ad,cd?
ad,cd?
2ab,pa?
底面abcd,
e为pc的中点,pa＝ad。
证明:
be?
平面pdc;
分析：
取pd的中点f，易证af//be,易证af⊥平面pdc
利用等腰三角形底边上的中线的性质
5、在三棱锥p?
abc中，ac?
bc?
2，?
acb?
90?
，pc?
ac．ap?
bp?
ab，求证：
pc?
ab；
求二面角b?
ap?
c的大小；
p
a
c
b
6、如图，在三棱锥p?
abc中，⊿pab是等边三角形，∠pac=∠pbc=90o证明：
ab⊥pc
因为?
pab是等边三角形，?
pac?
?
pbc?
90?
所以rt?
pbc?
rt?
pac,可得ac?
bc。
如图，取ab中点d，连结pd,cd,则pd?
ab,cd?
ab,所以ab?
平面pdc,所以ab?
pc。
利用勾股定理
7、如图，四棱锥p?
abcd的底面是边长为1
的正方形，pa?
cd,pa?
1,pd?
求证:
pa?
平面abcd；
_b
_a
_d
_c
8、如图1，在直角梯形abcd中，ab//cd，ab?
ad，且ab?
ad?
cd?
1．2
现以ad为一边向形外作正方形adef，然后沿边ad将正方形adef翻折，使平面
adef与平面abcd垂直，m为ed的中点，如图2．求证：
am∥平面bec；
求证：
bc?
平面bde；
e
m
e
c
f
mc
b
a
9、如图，四面体abcd中，o、
e分别是bd、bc的中点，
ca?
cb?
cd?
bd?
2,ab?
ad?
求证：
ao?
平面bcd；
求异面直线ab与cd所成角的大小；
证明：
连结oc?
bo?
do,ab?
ad,?
ao?
bd.
b
e
?
bo?
do,bc?
cd,?
co?
bd.
在?
aoc中，由已知可得ao?
1,co?
而ac?
2,
?
ao2?
co2?
ac2,?
?
aoc?
90o,即ao?
oc.
?
bd?
oc?
o,?
ao?
平面bcd
,bc?
cd，侧面sab为等边三角形，
10、如图，四棱锥s?
abcd中，ab?
bc
ab?
bc?
2,cd?
sd?
1．
证明：
sd?
平面sab;
求ab与平面sbc所成角的大小．
解法一：
取ab中点e，连结de，则四边形
bcde为
矩形，de=cb=2，连结se，则se?
ab,se?
又sd=1，故ed?
se?
sd，所以?
dse为直角。
由ab?
de,ab?
se,de?
se?
e，得ab?
平面sde，所以ab?
sd。
sd与两条相交直线ab、se都垂直。
所以sd?
平面sab。
利用三角形全等或三角行相似
11．正方体abcd—a1b1c1d1中o为正方形abcd的中心，m为bb1的中点，求证：
d1o⊥平面mac.
分析：
法一：
取ab的中点e，连a1e,oe,易证△abm≌a1ae,于是am⊥a1e,又∵oe⊥平面abb1a1∴oe⊥am,∴am⊥平面oea1d1∴am⊥d1o
法二：
连om,易证△d1do∽obm,于是d1o⊥om
12．如图，正三棱柱abc—a1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1中点.求证：
ab1⊥平面a1bd；
分析：
取bc的中点e，连ae,b1e,易证△dcb≌△ebb1，
从而bd⊥eb1
13、.如图，已知正四棱柱abcd—a1b1c1d1中，过点b作b1c的垂线交侧棱cc1于点e，交b1c于点f，求证：
a1c⊥平面bde；
利用直径所对的圆周角是直角
ab是圆o的直径，c是圆周上一点，pa⊥平面abc.）求证：
平面pac⊥平面pbc；
若d也是圆周上一点，且与c分居直径ab的两侧，试写出图中所有互
相垂直的各对平面.
p
a
15、如图，在圆锥po中，已知poo的直径ab?
2,c是狐ab的中点，d为
ac的中点．证明：
平面pod?
平面pac;
16、如图，在四棱锥p?
abcd中，底面abcd是矩形，pa?
平面abcd．以bd的中点o为球心、bd为直径的球面交pd于点m．
求证：
平面abm⊥平面pcd；．
证：
依题设，ｍ在以ｂｄ为直径的球面上，则ｂｍ⊥ｐｄ.因为ｐａ⊥平面ａｂｃｄ，则ｐａ⊥ａｂ，又ａｂ⊥ａｄ，所以ａｂ⊥平面ｐａｄ，则ａｂ⊥ｐｄ，因此有ｐｄ⊥平面ａｂｍ，所以平面ａｂｍ⊥平面ｐｃｄ.
b
6
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