最新中考数学专题训练特殊四边形的动态探究题.docx
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最新中考数学专题训练特殊四边形的动态探究题
最新中考数学专题训练---
特殊四边形的动态探究题
1.已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，连接ED，若ED＝EC.
（1）求证：
AB＝AC；
（2）①若AB＝4，BC＝2，则CD＝________；
②当∠A＝________时，四边形ODEB是菱形．
第1题图
1．
（1）证明：
∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，
∵∠EDC＋∠ADE＝180°，∠B＋∠ADE＝180°，
∴∠EDC＝∠B，∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：
①；
【解法提示】如解图，连接BD，
第1题解图
∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，
设CD＝a，由
（1）知AC＝AB＝4，则AD＝4－a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2－AD2＝42－（4－a）2，
在Rt△CBD中，由勾股定理可得BD2＝BC2－CD2＝
（2）2－a2，
∴42－（4－a）2＝
（2）2－a2，解得a＝，即CD＝.
②60°.
【解法提示】如解图，连接OD、OE，
∵四边形ODEB是菱形，∴OB＝BE，
又∵OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠OBE＝60°，
∵OD∥BE，∴∠BOD＝120°，∴∠A＝∠BOD＝60°.
2.如图，在▱ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC，过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G.
（1）求证：
四边形BCEF是平行四边形；
（2）①当DF＝______时，四边形BCEF是正方形；
②当＝________时，四边形BCEF是菱形．
第2题图
2.
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴EF∥BC.
∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：
①1;
【解法提示】∵四边形BCEF是正方形，
∴BF＝BC＝AD＝4，∠FBC＝∠AFB＝90°，
∴AF＝＝＝3.
∵AD＝4，∴DF＝AD－AF＝4－3＝1.
②.【解法提示】∵四边形BCEF是菱形，
∴BF＝BC＝AD＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，
∴＝，即＝＝.
3.如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC.
（1）求证：
BC∥OP；
（2）若半圆O的半径等于2，填空：
①当AP＝________时，四边形OAPC是正方形；
②当AP＝________时，四边形BODC是菱形．
第3题图
3.解：
（1）证明：
连接OC，AC，如解图所示，
∵AB是直径，AM⊥AB，
∴BC⊥AC，AP是半⊙O的切线，
又∵PC是半⊙O的切线，∴PA＝PC，
又∵OA＝OC，∴OP⊥AC，
∴BC∥OP；
（2）①2；②2.
【解法提示】①若四边形OAPC是正方形，
则OA＝AP，∵OA＝2，∴AP＝2；
②若四边形BODC是菱形，则CB＝BO＝OD＝DC，
∵AB＝2OB，∠ACB＝90°，
∴AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，
∵BC∥OP，∴∠AOP＝∠ABC＝60°，
又∵∠OAP＝90°，OA＝2，
∴∠OPA＝30°，∴OP＝4，
∴AP＝
＝2.
第3题解图
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，AF＝CE且F不与E重合．
（1）求证：
△EFA≌△ACE；
（2）填空：
①当∠B＝_________°时，四边形ACEF是菱形；
②当∠B＝_________°时，线段AF与AB垂直．
第4题图
4.
（1）证明：
如解图，
第4题解图
∵ED是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，ED⊥BC，
∴∠3＝∠4，
∵∠ACB＝90°，∴FE∥AC，∴∠1＝∠5，
∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1＝∠2＝∠5，
∴AE＝CE.
又∵AF＝CE，∴AE＝AF，∴∠5＝∠F，
在△EFA和△ACE中，
AF＝AE＝EC，∠1＝∠2＝∠5＝∠F，∴△EFA≌△ACE.
（2）解：
①30；②45.
【解法提示】①∵四边形ACEF是菱形，∴AC＝CE，
∵CE是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CE＝AE＝BE，∴AE＝AC＝CE，
∴△ACE是等边三角形,∴∠1＝60°，则∠B＝30°,
∴当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形；
②由
（1）知△EFA≌△ACE，
∴∠AEC＝∠EAF，∴AF∥CE，
∵AF⊥AB，∴CE⊥AB，
∵CE＝EB，∴∠3＝∠4＝45°，
∴当∠B＝45°时，线段AF与AB垂直．
5.如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED，EB，切点分别为点D，B.连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE.
（1）试判断OE与AC的关系，并说明理由；
（2）填空：
①当∠BAC＝_________°时，四边形ODEB为正方形；
②当∠BAC＝30°时，
的值为________．
第5题图
5.解：
（1）OE∥AC，OE＝
AC.
理由：
连接OD，如解图，
第5题解图
∵DE，BE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，AB⊥BC，
∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∵OD＝OB，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OBE（HL），∴∠1＝∠2.
∵∠BOD＝∠A＋∠3，OA＝OD，∴∠A＝∠3，
∴∠2＝∠A，∴OE∥AC；
∵OA＝OB，∴EC＝EB，
∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝
AC.
（2）①45；②3.
【解法提示】①要使四边形ODEB是正方形，由ED＝EB，∠ODE＝∠ABC＝90°,只需∠DOB＝90°，∴∠A＝45°；②过O作OH⊥AD于H,∵∠A＝30°，OA＝OD,∴∠3＝∠A＝30°，∴OD＝
AD，∵∠ODE＝90°，∠1＝∠3＝30°，∴OD＝
DE,∴
AD＝
DE，∴
＝3.
6.如图，将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接BC1，∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x.
（1）若点O与点C1重合，求证：
A1D1为⊙O的切线；
（2）①当x＝________时，四边形ABC1D1是菱形；
②当x＝________时，△BDD1为等边三角形．
第6题图
6.
（1）证明：
∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，
∴∠A1D1O＝∠D＝90°，∴A1D1⊥OD1，
∴A1D1为⊙O的切线；
（2）解：
①1；②2.
【解法提示】①如解图①，连接AD1，当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；
第6题解图①
理由：
由平移得：
AB＝D1C1，且AB∥D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∵∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°，
∵AB＝1，∴AC＝2，
∵x＝1，∴AC1＝1，∴AB＝AC1，
∴△AC1B是等边三角形，∴AB＝BC1，
∴四边形ABC1D1是菱形；
②如解图②所示，当x＝2时，△BDD1为等边三角形，
第6题解图②
则可得BD＝DD1＝BD1＝2，
即当x＝2时，△BDD1为等边三角形．
7.如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一个动点，∠BAC的平分线交圆弧于点D，半圆O在点D处的切线与直线AC交于点E.
（1）求证：
△ADE∽△ABD；
（2）填空：
①若ED∶DB＝∶2，则AE∶AB＝________；
②连接OC、CD，当∠BAC的度数为________时，四边形BDCO是菱形．
第7题图
7.
（1）证明：
如解图①，连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠DAB，
∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE，
∵DE是半圆O的切线，∴OD⊥DE，
∴∠E＝90°，
∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD＝∠DAB，∠E＝∠ADB，
∴△ADE∽△ABD；
第7题解图①
（2）解：
①3∶4；
【解法提示】由
（1）得△ADE∽△ABD，∴＝，
∵ED∶DB＝∶2，∴AE∶AD＝∶2，
∴∠EAD＝30°，∴∠DAB＝30°，
∴AD∶AB＝∶2，∴AE∶AB＝3∶4.
②60°.
【解法提示】如解图②，连接OC，CD，OD，当四边形BDCO是菱形时，OD＝BD，∴△ODB为等边三角形，∴∠DOB＝60°，由
（1）得，OD∥AC，∴∠BAC＝60°.
第7题解图②
8.如图，以△ABC一边AB为直径作⊙O，与另外两边分别交于点D、E，且点D为BC的中点，连接DE.
（1）证明：
△ABC是等腰三角形；
（2）填空：
①当∠B＝________时，四边形BDEO是菱形；
②当∠B＝________时，△AOE是直角三角形．
第8题图
8.
（1）证明：
连接AD，如解图，∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°.
∵D为BC的中点,∴BD＝DC，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
第8题解图
（2）解：
①60°；②67.5°.
【解法提示】①当∠B＝60°时，四边形BDEO是菱形．连接OD，如解图，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，△OBD是等边三角形，∴△AOE是等边三角形，△DOE是等边三角形，∴OB＝BD＝DE＝EO,∴四边形BDEO是菱形；②若△AOE是直角三角形，只有一种情况，即∠AOE＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO＝45°，由
（1）知△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C＝＝67.5°.
9.如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，O是AB的中点，以O为圆心，OA为半径的圆交AC于D，E是上的一点，∠C＝45°，连接BE，DE.AF切圆O于点A，交BE的延长线于点F.
（1）求证：
BC是圆O的切线；
（2）填空：
①当BE＝________时，四边形BDAE是正方形；
②当BF＝________时，四边形ODAF是平行四边形．
第9题图
9.
（1）证明：
∵AB＝BC，∠C＝45°，
∴∠BAC＝∠C＝45°，
∵在△ABC中，∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝180°－45°－45°＝90°，
又∵AB是过圆心O的直径，OB⊥BC，
∴BC是圆O的切线；
（2）解：
①4；②4.
【解法提示】①当DE经过圆心时四边形BDAE是正方形，连接BD，AE，如解图①，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝BC，∴BD⊥AC，AD＝DC＝BD，又∵∠ADB＝90°，AD＝BD，∴DO⊥AB，∴AB⊥ED，∵AB＝ED，OA＝OB，OE＝OD，∴四边形BDAE是正方形．∵AB＝8，∴EO＝OB＝4，∴BE＝
＝＝4，∴当BE＝4时，四边形BDAE是正方形；②如解图②，∵四边形ODAF是平行四边形，∴AF＝OD＝4，∴BF＝
=
＝4，∴当BF＝4时，四边形ODAF是平行四边形．
第9题解图①第9题解图②
10.如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝8cm，AB＝10cm，BD＝12cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以相同的速度向点D运动．设运动时间为t.
（1）连接DP、BQ，求证：
DP＝BQ；
（2）填空：
①当t为______s时，四边形PBQD是矩形；
②当t为______s时，四边形PBQD是菱形．
第10题图
10.解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC.
又∵AP＝CQ＝t，
∴△APD≌△CQB（SAS），
∴DP＝BQ；
（2）①1；②2.
【解法提示】①如解图①，∵△APD≌△CQB，∴DP＝BQ.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB－AP＝CD－CQ，即BP＝DQ，∴四边形PBQD是平行四边形．当∠DPB＝90°时，则四边形PBQD就是矩形．此时，AD2－AP2＝BD2－BP2＝DP2，即82－t2＝122－（10－t）2，解得t＝1；②如解图②，由①知四边形PBQD是平行四边形，当DP＝BP时，则四边形PBQD就是菱形．此时，连接PQ，交BD于点O，则PQ⊥BD，OB＝OD＝6.作DH⊥AB于H.由①知BH＝10－1＝9，cos∠DBH＝＝＝.在Rt△BOP中，cos∠PBO＝，cos∠DBH＝cos∠PBO＝，即＝
，解得t＝2.
第10题解图①第10题解图②
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