最大公因数与最小公倍数的实际应用.docx
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最大公因数与最小公倍数的实际应用
最大公因数和最小公倍数
基础知识与实际应用
相关基础知识
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数的性质
（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。
（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，
（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：
（a，b）×[a，b]=a×b。
6是12和18的最大公因数，记作（12，18）=6。
36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。
两个数A，B，①如果A是B的倍数，那么最大公因数就是B，最小公倍数是A；
②如果AB互质，那么最大公因数就是1，最小公倍数是A*B；
欧几里得用辗转相除法求两个数的最大公因数。
如果（a,b）来表示a和b的最大公因数。
有定理：
已知a,b,c为正整数，若a除以b余c，则（a,b）=（b,c）。
辗转相除法（欧几里得算法）
定义：
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。
若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公因数。
步骤：
S1，用大数除以小数
S2，除数变成被除数，余数变成除数
S3，重复S1，直到余数为0时，较小的数就是原来两个数的最大公因数。
例1：
求15750与27216的最大公因数。
解：
∵27216=15750×1+11466∴（15750，27216）=（15750，11466）
∵15750=11466×1+4284∴（15750，11466）=（11466,4284）
∵11466=4284×2+2898∴（11466,4284）=（4284，2898）
∵4284=2898×1+1386∴（4284，2898）=（2898，1386）
∵2898=1386×2+126∴（2898，1386）=（1386，126）
∵1386=126×11
∴（1386，126）=126
所以（15750，27216）=126
例2.求（1397，2413）
2413=1397*1+1016，
1397=1016*1+381，
1016=381*2+254，
381=254*1+127，
254=127*2+0，
所以（1397，2413）=127。
《九章算术》更相减损术找最大公因数
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公因数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
以等数约之。
”
翻译成现代语言如下：
第一步：
任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。
若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：
以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公因数。
其中所说的“等数”，就是最大公因数。
求“等数”的办法是“更相减损”法。
例1、用更相减损术求98与63的最大公因数。
解：
由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公因数等于7。
例2、用更相减损术求260和104的最大公因数。
解：
由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。
此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：
65-26=39
39-26=13
26-13=13
所以，260与104的最大公因数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。
短除法找最大公因数与最小公倍数
短除符号就是除号倒过来。
短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质，最大公因数是1的两个数叫互质数，如8和9）。
而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。
直到剩下每两个都是互质关系。
求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。
（公因数：
如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。
）
实际应用
例：
有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。
如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？
解：
根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公因数。
即：
（325、175、75）=25（厘米）
因为325÷25=13；175÷25=7；75÷25=3
所以13×7×3=273（个）或（325×175×75）÷（25×25×25）=273
例：
有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。
求这个两位数是多少？
解：
这个两位数除50余2，则用他除48（52－2）恰好整除。
也就是说，这个两位数是48的因数。
同理，这个两位数也是60、72的因数。
所以，这个两位数只可能是48、60、72的公因数1、2、3、4、6、12，而满足条件的只有公因数12，即（48、60、72）=12。
练习
1.新年联欢会上，张老师把42个打气球和30个小气球平均分给几个小组，正好分完。
最多可以分给几个小组？
每个小组分的大、小气球各多少个？
2.雨辰小学五年二班有54人，五年三班有63人，两班决定分小组去博物馆参观，两班每组人数相等并且没有剩余每小组最多有多少人？
每个班可以分多少个小组？
3.同学们买了24朵百合花的18朵玫瑰花送个老师，两种花混在一起扎成一束，想要扎成每束百合花、玫瑰花朵数相同，最多扎几束？
每束几朵百合花，几朵玫瑰花？
4.明明有一张长84厘米，宽60厘米的长方形纸板，剪成边长相等的小正方形，边长最长是多少？
可以剪几块？
解答公因数或公倍数问题的关键是：
从因数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公因数或公倍数问题。
例：
有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。
现在要把它们截成同样长的小段。
每段最长可以有几米？
一共可以截成多少段？
分析：
截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。
先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。
（18、24、30）＝6（18+24+30）÷6＝12段
例：
一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？
能截多少个正方形？
分析：
要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。
（36、60）＝12（60÷12）×（36÷12）＝15个
例：
用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？
每个花束里至少要有几朵花？
分析：
要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。
（1）最多可以做多少个花束？
（96、72）＝24
（2）每个花束里有几朵红玫瑰花？
96÷24＝4朵
（3）每个花束里有几朵白玫瑰花？
72÷24＝3朵
（4）每个花束里最少有几朵花？
4+3＝7朵
练习
1、有一堆西瓜与一堆木瓜,分别为24个与36个,将其各分成若干小堆,各小堆的个数要相等,则每小堆最多几个？
这时候西瓜分成多少小堆？
木瓜分成多少小堆？
2、甲、乙两队学生,甲队有121人,乙队有143人,各分成若干组,各组人数要相等,则每组最多有几人？
这时候甲队可分成多少组？
乙队可分成多少组？
3、今有梨320个,糖果240个,饼干200个,将这些东西分成相同的礼品包送给儿童,但包数要最多,则每包有多少个梨？
有多少个糖果？
有多少个饼干？
4、有一张长6公分,宽4公分的长方形色纸,将它剪成最大的正方形而不浪费纸,此正方形边长为几公分？
例：
公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。
三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
分析：
这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。
［5、10、6］＝30
练习
1、利用每一小块长6公分,宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案.问:
拼成的正方形的边长可能是多少？
2、王伯伯有三个小孩,老大3天回家一次,老二4天回家一次,老三6天回家一次,这次10月1日一起回家,则下一次是几月几日一起回家？
3、美美客运有A,B两种车,A车每45分发车一次,B车每1小时发车一次,两车同时由上午6点发车,下一次同时发车是什麼时候？
例：
某厂加工一种零件要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。
要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？
分析：
安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。
这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。
至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。
（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？
［3、12、5］＝60
（2）第一道工序应安排多少人？
60÷3＝20人
（3）第二道工序应安排多少人？
60÷12＝5人
（4）第三道工序应安排多少人？
60÷5＝12人
例：
有一批机器零件。
每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。
这些零件总数在300至400之间。
这批零件共有多少个？
分析：
每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7＝14个，应是少1个。
也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。
如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。
①刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个？
［12、18、15］＝180
②在300至400之间的180的倍数是多少？
180×2＝360
③这批零件共有多少个？
360-1＝359个
例：
有一批水果，总数在1000个以内。
如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。
这批水果共有多少个？
分析：
根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。
我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。
[24，28，32]=672
672－2=670（个）
即：
这批水果共有670个。
练习
1，一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？
2，有一批乒乓球，总数在1000个以内。
4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。
这批乒乓球到底有多少个？
3，食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油，用丙种桶装最后一桶少7千克。
如果甲种桶每桶能装8千克，乙种桶每桶能装10千克，丙种桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？
例题：
一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？
分析：
由已知条件可知：
这盒棋子只要增加1颗，就正好是4、6、15的公倍数。
换句话说，这盒棋子比4、6、15的最小公倍数少1。
我们可以先求4、6、15的最小公倍数，然后再根据“这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出这盒棋子数。
4、6、15的最小公倍数是60。
60×3－1=179颗，即这盒棋子共179颗。
练习
1，有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。
这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。
2，五
（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。
请你算一算，五
（1）班有多少位同学？
3，有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。
这批水果至少有多少个？
例：
公路上一排电线杆，共25根。
每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？
分析：
不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。
要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。
①从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？
［45、60］＝180（米）
②公路全长多少米？
45×（25-1）＝1080（米）
③可以有几根不需要移动？
1080÷180+1＝7（根）
例：
从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？
分析：
从学校到少年宫的这段路长50×（37－1）=1800米，从路的一端开始，是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。
因为50和60的最小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。
1800÷300=6，就是6根不必移动。
去掉最后一根，中途共有5根不必移动。
练习
1，插一排红旗共26面。
原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。
如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？
2，一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。
原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。
如果两端不算，中间有几棵不必移动？
3，学校开运动会，在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。
后来增加了一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现一共有5面彩旗没动。
问：
现在彩旗的间隔是多少米？
例：
甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。
甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。
有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？
分析：
从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。
因为3、4、5的最小公倍数是60，所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
练习
1、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？
2、甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。
问：
再过多少时间三人第二次同时从起点出发？
3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。
如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？
例：
一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。
要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？
分析：
把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。
现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。
练习
1、用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？
2、有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？
3、一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？
例：
甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？
分析：
甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒，丙跑一圈需要600÷2=300秒。
要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。
200、150和300的最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。
练习
1、有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇。
已知甲比乙快，求二人的速度。
2、一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。
至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？
3、甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。
若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？
例：
有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少？
分析：
根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除，即10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。
所以这个自然数最小是137。
练习
1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。
六年级最少多少人？
2、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。
这个数最小是多少？
3、一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。
这袋糖至少有多少块？
例：
在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。
如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
分析因为10、12和15的最小公倍数是60，所以，设这根木棍长60厘米。
三种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是60÷10=厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4厘米。
因为5和6的最小公倍数是30，所以红黄两种标记重复的地方有60÷30－1=1处，另两种情况分别有2处和4处。
因此，木棍总共被锯成（10＋12＋15－2）－1－2－4=28段。
练习
1，用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？
2，父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米。
在120米内一共留下多少个脚印？
3，在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每隔6米挂一个，黄气球每隔4米挂一个，。
如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，那么，除两端外，中间挂有多少个红气球？
3.五
（1）班学生参加跳绳比赛，进行分组。
按每组6人或每组8人，都能恰好分成若干组，参加跳绳比赛的至少有多少人？
解答：
[6，8]=24所以参加跳绳比赛的学生至少有24人。
4.把47根跳绳和36个毽子分别平均分给一个组的同学，结果跳绳剩2根，毽子剩1个，你知道这个组最多有几名同学吗？
解答：
（45，35）=5所以这个组最多有5名同学。
5.一条72米长的路，原来从一端起，每隔9米有一盏路灯。
现在重新安装，要从一端起每隔6米装一盏。
为节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的。
不需要重新安装的路灯至少有多少盏？
解答：
[6，9]=18；0，18、36、54、72
答：
不需要重新安装的灯至少有5盏。
6.五
（1）班学生数不超过50人，小组合作学习时，根据教学内容不同可以分为每组3人，每组4人，每组6人，每组8人，各种分法都刚好分完。
这个班可能有学生（24）人或（48）人。
解答：
[3，4，6，8]=24所以这个班可能有学生24或48人。
练习
1、24的因数共有多少个？
36的因数共有多少个？
24和36的公因数是哪几个？
其中最大的一个是？
答：
24的因数共有8个，36的因数共有9个，24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。
其中最大的一个是12。
2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？
（长和宽都是素数）
答：
长方形的长是19厘米，宽是17厘米。
3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。
答：
它们的最小公倍数是35。
4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？
答：
这两个数分别是24和40。
5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。
答：
另一个数是42。
6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
答：
至少需要221块水泥板。
7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？
一共可以截成多少段？
答：
每段最长30厘米，一共可以截成12段。
8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。
答：
这两个数是42和6或18和30。
9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
答：
这些碗最少有60个。
10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？
答：
A、B两个自然数的和是48。
例：
两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
分析：
根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数，且这两个数一定是最大公因数的倍数，这两个数除以最大公因数得到的商互素。
根据题意：
当a1b1分别是1和6时，a、b分别为15×1=15，15×6=90；当a1b1分别是2和3时，a、b分别为15×2=30，15×3=45。
所以，这两个数是15和90或者30和45。
练习
1、两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
2、两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？
3、两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？
例：
两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？
分析：
我们把这两个自然数称为甲数和乙数。
因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。
根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3。
又因为（甲÷3=a，乙÷3=b）中，3×a×b=120，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和4
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