12综合法与分析法 学案北师大版选修22.docx
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12综合法与分析法学案北师大版选修22
§2综合法与分析法
2．1 综合法
2．2 分析法
课标解读
1.理解综合法、分析法的概念．（重点）
2.能利用综合法、分析法证明简单问题．（重点）
3.感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，形成理性思维．（难点）
综合法
【问题导思】
阅读下列证明过程，回答问题．
已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：
2x＋2y≥2
.
证明：
因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥2
＝2
＝2
，故2x＋2y≥2
成立．
1．本题的条件和结论是什么？
【提示】 条件：
x＋y＝1；结论：
2x＋2y≥2
.
2．本题的证明顺序是什么？
【提示】 从已知利用基本不等式到待证结论．
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法.
分析法
【问题导思】
证明不等式：
＋2
<2＋
成立，可用下面的方法进行．
证明：
要证明
＋2
<2＋
，
由于
＋2
>0,2＋
>0，
只需证明（
＋2
）2<（2＋
）2，
展开得11＋4
<11＋4
，只需证明6<7，
显然6<7成立．
∴
＋2
<2＋
成立．
1．本题证明从哪里开始？
【提示】 从结论开始．
2．证题思路是什么？
【提示】 从结论开始，寻求每一步成立的充分条件．
从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法.
综合法的应用
设a，b，c>0，求证：
＋
＋
≥a＋b＋c.
【思路探究】 注意到不等式左、右两边的特征，只需利用“
＋
≥2
＝2c”，就可将左、右两边的形式化异为同．
【自主解答】 因为
＋
≥2
＝2c，
＋
≥2
＝2a，
＋
≥2
＝2b，将以上三个不等式左、右分别相加，得：
2（
＋
＋
）≥2a＋2b＋2c，即
＋
＋
≥a＋b＋c.
1．应用综合法解决问题时，应充分分析条件和结论之间的异同点，然后合理选择相关定义、定理、公式等已知结论化异为同将条件向结论转化．
2．综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到问题的解决．综合法广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法．一般说来，当题目已知条件中因果关系较清晰时，可正向思考，由因索果，用综合法解决．
已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：
＋
≥4.
【证明】 法一 ∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2
，∴
≤
，
∴
＋
＝
＝
≥4.
法二 ∵a，b是正数，
∴a＋b≥2
>0，
＋
≥2
>0，
∴（a＋b）（
＋
）≥4.
又a＋b＝1，∴
＋
≥4.
法三 ∵a，b是正数，且a＋b＝1，
∴
＋
＝
＋
＝1＋
＋
＋1≥2＋
＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．
分析法的应用
已知a>0，求证：
－
≥a＋
－2.
【思路探究】 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明．
【自主解答】 要证
－
≥a＋
－2，
只需证
＋2≥a＋
＋
.
∵a>0，故只需证（
＋2）2≥（a＋
＋
）2，
即证a2＋
＋4
＋4
≥a2＋2＋
＋2
（a＋
）＋2，
从而只需证2
≥
（a＋
），
只需证4（a2＋
）≥2（a2＋2＋
），
即证a2＋
≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
1．本题观察到已知条件简单（a>0），而证明的结论
－
≥a＋
－2比较复杂，这时我们一般采用分析法．
2．分析法的证明过程是：
确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．
将本例的条件改为“a＋b>0”，结论改为“
≥
（a＋b）”．
【证明】 要证
≥
（a＋b），
只需证（
）2≥[
（a＋b）]2，
即证a2＋b2≥
（a2＋b2＋2ab），
即a2＋b2≥2ab.
因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
所以
≥
（a＋b）成立.
综合法与分析法的综合应用
已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，
求证：
（a＋b）－1＋（b＋c）－1＝3（a＋b＋c）－1.
【思路探究】 本题可从结论入手用分析法求解，也可从条件入手用综合法证明．
【自主解答】 法一 （分析法）
要证（a＋b）－1＋（b＋c）－1＝3（a＋b＋c）－1，
即证
＋
＝
，
只需证
＋
＝3，
化简，得
＋
＝1，
即c（b＋c）＋（a＋b）a＝（a＋b）（b＋c），
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cosB＝
＝
，
即a2＋c2－b2＝ac成立．
∴（a＋b）－1＋（b＋c）－1＝3（a＋b＋c）－1成立．
法二 （综合法）
因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°.
由余弦定理，
有b2＝c2＋a2－2accos60°.
所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得
c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），
两边同时除以（a＋b）（b＋c），得
＋
＝1，
所以（
＋1）＋（
＋1）＝3，
即
＋
＝
，
所以（a＋b）－1＋（b＋c）－1＝3（a＋b＋c）－1.
综合法和分析法各有优缺点．从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长．也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．
设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：
logac＋logbc≥4lgc.
【证明】 因为a>1，b>1，故要证logac＋logbc≥4lgc，
则只需证
＋
≥4lgc.
又因为c>1，所以lgc>0，故只需证
＋
≥4，即
≥4，
又因为ab＝10，所以lga＋lgb＝lg（ab）＝1，故只需证
≥4，（*）
又因为lga>0，lgb>0，所以
0）2＝（
）2＝
，即（*）式成立．
所以原不等式成立，即logac＋logbc≥4lgc.
化归与转化思想在证明题中的应用
（12分）在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：
△ABC为等边三角形.
【思路点拨】 将A、B、C成等差数列，转化为符号语言就是2B＝A＋C；A、B、C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A＋B＋C＝π；a、b、c成等比数列，转化为符号语言就是b2＝ac.再结合余弦定理进行求解即可．
【规范解答】 由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①2分
∵A、B、C为△ABC的内角，∴A＋B＋C＝π.②
由①②得，B＝
.③4分
由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④6分
由余弦定理及③，可得
b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.8分
再由④，得a2＋c2－ac＝ac.
即（a－c）2＝0，因此a＝c.9分
从而有A＝C.⑤10分
由②③⑤，得A＝B＝C＝
.
所以△ABC为等边三角形.12分
1．本题中欲判断△ABC的形状，可考虑从三角形中的角（或边）入手分析，这就要将条件中的边角相互转化，从而使问题得以解决．
2．解答数学问题时，应充分分析题目的条件和结论，并在此基础上找到条件与结论的差异，然后展开联想，联想有关的数学定理、公式等，最后选择合理的依据和手段化异为同．
1．综合法证明问题的步骤
第一步：
分析条件、选择方向，仔细分析题目的已知条件（包括隐含条件），分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
第二步：
转化条件、组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
第三步：
统览全题，要点检查，解题后注意对整个题的检查，反思总结解题方法的选取．
2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略.
1．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是（ ）
A．a＋
>b＋
B.
>
C．a＋
>b＋
D.
>
【解析】 ∵a>b>0，∴
>
>0，∴a＋
>b＋
.
【答案】 A
2．欲证
－
<
－
成立，只需证（ ）
A．（
－
）2<（
－
）2
B．（
－
）2<（
－
）2
C．（
＋
）2<（
＋
）2
D．（
－
－
）2<（－
）2
【解析】 欲证
－
<
－
，即证
＋
<
＋
，因两边皆为正数，故只需证（
＋
）2<（
＋
）2.
【答案】 C
3．已知a，b，x均为正数，且a>b，则
与
的大小关系为________．
【解析】 ∵b（a＋x）－a（b＋x）＝ab＋bx－ab－ax
＝x（b－a），
∵a，b，x均为正数，a>b，
∴x（b－a）<0.
∴b（a＋x）<
.
【答案】
<
4．设a>0，b>0且a≠b，求证：
a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】 要证a3＋b3>a2b＋ab2，
只需证a3＋b3－a2b－ab2>0，
只需证a2（a－b）＋b2（b－a）>0，
只需证（a－b）·（a2－b2）>0，
只需证（a－b）2（a＋b）>0，
又a>0，b>0，a≠b，
故（a－b）2>0，a＋b>0，
不等式显然成立.
一、选择题
1．（2013·济南高二检测）若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y≥0，则（ ）
A．x>0，y>0 B．x<0，y<0
C．x>0，y<0D．x<0，y>0
【解析】 ∵xy>1>0，∴x，y同号，又x＋y≥0，故x>0，y>0.
【答案】 A
2．在不等边三角形中，a为最长边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件（ ）
A．a2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2
【解析】 由cosA＝
<0知b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
【答案】 C
3．要证：
a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明（ ）
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－
≤0
C.
－1－a2b2≤0
D．（a2－1）（b2－1）≥0
【解析】 ∵a2＋b2－1－a2b2＝（a2－a2b2）＋（b2－1）
＝a2（1－b2）＋（b2－1）＝（a2－1）（1－b2）
＝－（a2－1）（b2－1）
故选D.
【答案】 D
4．若P＝
＋
，Q＝
＋
（a≥0），则P，Q的大小关系为（ ）
A．P＞QB．
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