∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.8分
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.12分
[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法：
（1）直接法：
证明直线平行或相交，从而证明线共面．
（2）纳入平面法：
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
（3）辅助平面法：
先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
2．证明点共线问题的常用方法：
（1）基本性质法：
一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．
（2）纳入直线法：
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
[变式训练1]
如图7 3 3所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊
AD，BE綊
FA，G，H分别为FA，FD的中点．
图7 3 3
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C，D，F，E四点是否共面？
为什么？
[解]
（1）证明：
由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊
AD.2分
又BC綊
AD，
∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形.5分
（2）C，D，F，E四点共面，理由如下：
由BE綊
AF，G为FA的中点知BE綊GF，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.8分
由
（1）知BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.12分
空间直线的位置关系
（1）（2015·广东高考）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
【导学号：
01772250】
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
（2）（2017·郑州模拟）在图7 3 4中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填上所有正确答案的序号）．
① ② ③ ④
图7 3 4
（1）D
（2）②④ [
（1）由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
（2）图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]
[规律方法] 1.异面直线的判定方法：
（1）反证法：
先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
（2）定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．
[变式训练2] （2017·烟台质检）a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为（ ）
A．①④ B.②③
C．③④D.①②
A [对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．]
异面直线所成的角
（1）如图7 3 5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）
图7 3 5
A.
B.
C.
D.
（2）（2016·全国卷Ⅰ）平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
（1）D
（2）A [
（1）连接BC1，易证BC1∥AD1，
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．
连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，
则A1C1＝
，A1B＝BC1＝
，
在△A1BC1中，由余弦定理得
cos∠A1BC1＝
＝
.
（2）设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.
∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，
同理可证CD1∥n.
因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．
在正方体ABCDA1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为
.]
[规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：
利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移．
2．求异面直线所成角的三个步骤：
（1）作：
通过作平行线，得到相交直线的夹角．
（2）证：
证明相交直线夹角为异面直线所成的角．
（3）求：
解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
[变式训练3]
如图7 3 6，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
图7 3 6
[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝
AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为
，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为
.]
[思想与方法]
1．主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上．
2．判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
（2）反证法：
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与化归思想．
[易错与防范]
1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
第四节 直线、平面平行的判定及其性质
[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
1．直线与平面平行的判定与性质
2.面面平行的判定与性质
3.与垂直相关的平行的判定
（1）a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
（2）a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（ ）
（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．（ ）
（3）若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．（ ）
（4）若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．（ ）
[答案]
（1）×
（2）× （3）× （4）√
2．（教材改编）下列命题中，正确的是（ ）
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
D [根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]
3．（2015·北京高考）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]
4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．
【导学号：
01772254】
平行 [如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，
∴EF∥BD1，
又EF⊂平面ACE，
BD1⊄平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.]
5．（2017·河北石家庄质检）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中是真命题的是________（填上序号）．
② [①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或m⊂β，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]
与线、面平行相关命题真假的判断
（2015·安徽高考）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
D [A项，α，β可能相交，故错误；
B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；
C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．]
[规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．
2．
（1）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
（2）特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
[变式训练1] （2017·唐山模拟）若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
D [在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误．在B中，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．]
直线与平面平行的判定与性质
（2016·南通模拟）如图7 4 1所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
（1）当
等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求
的值．
图7 4 1
[解]
（1）如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时
＝1.2分
连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.4分
又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当
＝1时，BC1∥平面AB1D1.6分
（2）由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得
BC1∥D1O，8分
∴
＝
，
又由题
（1）可知
＝
，
＝1，
∴
＝1，即
＝1.12分
[规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有：
（1）利用反证法（线面平行的定义）；
（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；
（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；
（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．
2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
[变式训练2] （2014·全国卷Ⅱ）如图7 4 2，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
图7 4 2
（1）证明：
PB∥平面AEC；
（2）设AP＝1，AD＝
，三棱锥PABD的体积V＝
，求A到平面PBC的距离．
[解]
（1）证明：
设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，
所以O为BD的中点，
又E为PD的中点，
所以EO∥PB.3分
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.5分
（2）由V＝
PA·AB·AD＝
AB，
又V＝
，可得AB＝
.
作AH⊥PB交PB于点H.7分
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC.
在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝
，所以AH＝
＝
.
所以A到平面PBC的距离为
.12分
平面与平面平行的判定与性质
如图7 4 3所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
图7 4 3
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
[证明]
（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.2分
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.5分
（2）在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.7分
∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.10分
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.12分
[迁移探究] 在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：
HD∥平面A1B1BA.
[证明] 如图所示，连接HD，A1B，
∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，
∴HD∥A1B.5分
又HD⊄平面A1B1BA，
A1B⊂平面A1B1BA，
∴HD∥平面A1B1BA.12分
[规律方法] 1.判定面面平行的主要方法：
（1）面面平行的判定定理．
（2）线面垂直的性质（垂直于同一直线的两平面平行）．
2．面面平行的性质定理的作用：
（1）判定线面平行；
（2）判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．
易错警示：
利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．
[变式训练3] （2016·山东高考）在如图7 4 4所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
图7 4 4
（1）已知AB＝BC，AE＝EC，求证：
AC⊥FB；
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：
GH∥平面ABC.
[证明]
（1）因为EF∥DB，
所以EF与DB确定平面BDEF.2分
如图①，连接DE.
因为AE＝EC，D为AC的中点，
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.4分
因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.5分
①
（2）如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.
在△CEF中，因为G是CE的中点，
所以GI∥EF.8分
又EF∥DB，所以GI∥DB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，
所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.12分
②
[思想与方法]
1．线线、线面、面面平行的相互转化
其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．
2．直线与平面平行的主要判定方法
（1）定义法；
（2）判定定理；（3）面与面平行的性质．
3．平面与平面平行的主要判定方法
（1）定义法；
（2）判定定理；（3）推论；（4）a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
[易错与防范]
1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．
2．
（1）在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．
（2）如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用．
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