届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案 第7章 第3节 空间点直线平面之间的位置关系.docx

1、届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案 第7章 第3节 空间点直线平面之间的位置关系第三节空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲传真1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2空间点、直线、平面之间的位置关系3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线

2、互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(2)范围：.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)如图731所示，在正方体ABCDA

3、1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()图731A30 B.45C60 D.90C连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.3在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线AA不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理4(2016山东高考)已知直线a，b

4、分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件故选A.5若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_b与相交或b或b平面的基本性质如图732，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：图732(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点 【导学号：0

5、1772249】证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.2分又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面.5分(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由P直线CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.8分同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.12分规律方法1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确

6、定平面，最后证明平面，重合2证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上变式训练1如图733所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点图733(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解(1)证明：由已知FGGA，FHHD，得GH綊AD.2分又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG是平行四边形.5分(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：由BE綊A

7、F，G为FA的中点知BE綊GF，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.8分由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面.12分空间直线的位置关系(1)(2015广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是() 【导学号：01772250】Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交(2)(2017郑州模拟)在图734中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)图

8、734(1)D(2)(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图中，GH与MN异面规律方法1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线2点、线、面位置关系的判定，要

9、注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系变式训练2(2017烟台质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：若aM，bM，则ab或a，b相交或a，b异面；若bM，ab，则aM；若ac，bc，则ab；若aM，bM，则ab.其中正确的为()A B.C D.A对于，当aM，bM时，则a与b平行、相交或异面，为真命题中，bM，ab，则aM或aM，为假命题命题中，a与b相交、平行或异面，为假命题由线面垂直的性质，命题为真命题，所以为真命题异面直线所成的角(1)如图735，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A

10、A12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()图735A. B.C. D. (2)(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D. (1)D(2)A(1)连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1.(2)设平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C

11、1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n.因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即CD1B1为m，n所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为.规律方法1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移2求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角(3)求

12、：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角变式训练3如图736，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_图736取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正

13、切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.思想与方法1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与

14、化归思想易错与防范1异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”3两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角第四节直线、平面平行的判定及其性质 考纲传真1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题1直线与平面平行的判定与性质2.面面平行的判定与性质3.与垂直相关的平行的判定(1)a，bab.(2)a，a.1(思考辨析)判

15、断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条()(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行()(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列命题中，正确的是()A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C若直线a，b和平面满足a，b，那么abD若直线a，b和平面满足ab，a，b，则bD根据线面平行的判定与性质定理知，选D.

16、3(2015北京高考)设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m ”是“ ”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件B当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而m/；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m ”是“ ”的必要而不充分条件4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是_ 【导学号：01772254】平行如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是BDD1的中位线，EFBD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.5(2017河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，是三

17、个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若，则.其中是真命题的是_(填上序号)，mn或m，n异面，故错误；易知正确；，m或m，故错误；，或与相交，故错误与线、面平行相关命题真假的判断(2015安徽高考)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面DA项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设

18、m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项2(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确变式训练1(2017唐山模拟)若m，n表示不同的直线，表示不同的平面，则下列结论中正确的是()A若m，mn，则nB若m，n，m，n，则C若，m，n，则mnD若，m，nm，n，则nD在A中，若m，mn，

19、则n或n，故A错误在B中，若m，n，m，n，则与相交或平行，故B错误在C中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故C错误在D中，若，m，nm，n，则由线面平行的判定定理得n，故D正确直线与平面平行的判定与性质(2016南通模拟)如图741所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点(1)当等于何值时，BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值图741解(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时1.2分连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为

20、A1B，A1C1的中点，OD1BC1.4分又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1平面AB1D1.当1时，BC1平面AB1D1.6分(2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O得BC1D1O，8分，又由题(1)可知，1，1，即1.12分规律方法1.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法(线面平行的定义)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)2利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角形的中位线、

21、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线变式训练2(2014全国卷)如图742，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点图742(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离解(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EOPB.3分因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.5分(2)由VPAABADAB，又V，可得AB.作AHPB交PB于点H.7分由题设知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC.在RtPAB中，由勾股

22、定理可得PB，所以AH.所以A到平面PBC的距离为.12分平面与平面平行的判定与性质如图743所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：图743(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.2分又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.5分(2)在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.7分A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，则A1EGB.A1E平面BC

23、HG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.10分A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.12分迁移探究在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B.5分又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.12分规律方法1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)2面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想解题时要看清题目的具体条件，选

24、择正确的转化方向易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行变式训练3(2016山东高考)在如图744所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.图744(1)已知ABBC，AEEC，求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF.2分如图，连接DE.因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.4分因为FB平面BDEF，所以ACFB.5分(2)如图，设FC的中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为G是

25、CE的中点，所以GIEF.8分又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.12分思想与方法1线线、线面、面面平行的相互转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.易错与防范1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误2(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交3在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用