),q=f
,r=
(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( )
A.q=rp
C.p=rq
(2)如图1,在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q满足A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( )
【导号:
04024145】
图1
A.3∶1 B.2∶1
C.4∶1D.
∶1
[解题指导]
(1)从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值大小的问题,若不等式在常规条件下成立,则在特殊情况下更能成立,所以不妨对a,b取特殊值处理,如a=1,b=e.
(2)点P,Q在非特殊情况下体积较难计算.可将P,Q置于特殊位置,令P与A1重合,Q与B重合,再计算体积.
(1)C
(2)B [
(1)根据条件,不妨取a=1,b=e,则p=f(
)=ln
=
,q=f
>f(
)=
,r=
(f
(1)+f(e))=
,在这种特例情况下满足p=r<q,
所以选C.
(2)令P与A1重合,Q与B重合,此时A1P=BQ=0,则VCAA1B=VA1ABC=
V三棱柱ABCA1B1C1,故过P,Q,C三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1.]
[变式训练2]
(1)如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,那么( )
A.a1a8>a4a5B.a1a8<a4a5
C.a1+a8>a4+a5D.a1a8=a4a5
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则
=________.
(1)B
(2)
[
(1)取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8,显然只有1×8<4×5成立.
(2)令a=b=c,则A=C=60°,cosA=cosC=
.
从而
=
.]
解法3 数形结合法
数形结合法是指在处理数问题时,能够将抽象的数语言与直观的几何图形有机结合起思考,促使抽象思维和形象思维有机结合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到简捷解决的方法.
【例3】
(1)(2016·合肥模拟)已知x,y满足约束条件
则z=-2x+y的最大值是( )
【导号:
04024146】
A.-1B.-2
C.-5D.1
(2)(2017·武汉模拟)函数f(x)=2sinxsin
-x2的零点个数为________.
[解题指导]
(1)要确定目标函数的最大值,需知道相应的x,y的值,从约束条件中不可能解出对应的x,y的值,所以只有通过图解法作出约束条件的可行域,据可行域数形结合得出目标函数的最大值.
(2)函数的零点即对应方程的根,但求对应方程的根也比较困难,所以进一步转化为求两函数的图象的交点,所以作出两函数的图象确定交点个数即可.
(1)A
(2)2 [
(1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC内部及其边界,当直线y=2x+z过A点时z最大,又A(1,1),因此z的最大值为-1.
(2)f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin2x与y2=x2的图象如图所示:
由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.]
[变式训练3]
(1)(2017·郑州模拟)方程xlg(x+2)=1的实数根的个数为( )
A.1B.2
C.0D.不确定
(2)已知偶函数y=f(x)(x∈R)在区间[0,2]上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,且满足f(-3)=f
(1)=0,则不等式x3f(x)<0的解集为________.
(1)B
(2)(-3,-1)∪(0,1)∪(3,+∞) [
(1)方程xlg(x+2)=1⇔lg(x+2)=
,在同一坐标系中画出函数y=lg(x+2)与y=
的图象,可得两函数图象有两个交点,故所求方程有两个不同的实数根.
(2)由题意可画出y=f(x)的草图,如图.
①x>0,f(x)<0时,x∈(0,1)∪(3,+∞);
②x<0,f(x)>0时,x∈(-3,-1).
故不等式x3f(x)<0的解集为(-3,-1)∪(0,1)∪(3,+∞).]
解法4 排除法
排除法就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一个正确选项这一信息,从选项入手,根据题设条件与各选项的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选项进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除,从而获得正确结论的方法.使用该法的前提是“答案唯一”,即四个选项中有且只有一个答案正确.排除法适用于定性型或不宜直接求解的选择题,当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件,在选项中找到明显与之矛盾的予以否定,再根据另一些条件,在剩余的选项内找出矛盾,这样逐步筛选,直至得出正确的答案.
【例4】
(1)(2016·北师大附中模拟)函数y=
的图象大致为( )
【导号:
04024147】
A B
C D
(2)设x∈R,定义符号函数sgnx=
则( )
A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx
[解题指导]
(1)根据函数的奇偶性和x→+∞时函数值的正负,以及x→0且x>0时函数值的正负,排除可得答案.
(2)可验证当x<0时,等式成立的情况.
(1)D
(2)D [
(1)函数y=cos6x为偶函数,函数y=2x-2-x为奇函数,故原函数为奇函数,排除A.
又函数y=2x-2-x为增函数,当x→+∞时,2x-2-x→+∞且|cos6x|≤1,∴y=
→0(x→+∞),排除C.
∵y=
=
为奇函数,不妨考虑x>0时函数值的情况,当x→0时,4x→1,4x-1→0,2x→1,cos6x→1,
∴y→+∞,故排除B,综上知选D.
(2)当x<0时,|x|=-x,x|sgnx|=x,xsgn|x|=x,|x|sgnx=(-x)·(-1)=x,排除A,B,C,故选D.]
[变式训练4]
(1)函数f(x)=
cosx(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
(2)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( )
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0
D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0
(1)D
(2)C [
(1)函数f(x)=
cosx(-π≤x≤π且x≠0)为奇函数,排除选项A,B;当x=π时,f(x)=
cosπ=
-π<0,排除选项C,故选D.
(2)设等差数列{an}的公差为d,若a1+a2>0,a2+a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,由于d正负不确定,因而a2+a3符号不确定,故选项A错;若a1+a3<0,a1+a2=a1+a3-d=(a1+a3)-d,由于d正负不确定,因而a1+a2符号不确定,故选项B错;若00,d>0,a2>0,a3>0,∴a
-a1a3=(a1+d)2-a1(a1+2d)=d2>0,∴a2>
,故选项C正确;若a1<0,则(a2-a1)·(a2-a3)=d·(-d)=-d2≤