时粒子在一个周期内的总位移小于零；当t0>T时情况类似。
因粒子最终打在A板上，则要求粒子在每个周期内的总位移应小于零，对照各选项可知只有B正确。
[答案] B
问题三 粒子做偏转运动（一般根据交变电场特点分段研究）
[典题3] 如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器板长和板间距
离均为L＝10cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图象如图乙所示。
（每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的）求：
甲 乙
（1）在t＝0.06s时刻，电子打在荧光屏上的何处；
（2）荧光屏上有电子打到的区间有多长？
[解析]
（1）电子经电场加速满足qU0＝
mv2
经电场偏转后侧移量y＝
at2＝
·
所以y＝
由图知t＝0.06s时刻U偏＝1.8U0
所以y＝4.5cm
设打在屏上的点距O点的距离为Y，满足
＝
所以Y＝13.5cm
（2）由题知电子侧移量y的最大值为
，所以当偏转电压超过2U0，电子就打不到荧光屏上了，所以荧光屏上电子能打到的区间长为3L＝30cm。
[答案]
（1）打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5cm
（2）30cm
考点二
带电粒子的力电综合问题
1．方法技巧
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子的受力与运动的关系及功能关系两条途径进行分析与研究。
2．解题思路
①列牛顿第二定律方程
②列运动学方程
③列功能关系方程
[典题4] [多选]一个正点电荷Q静止在正方形的一个角上，另一个带电质点射入该区域时，恰好能经过正方形的另外三个角a、b、c，如图所示，则有（ ）
A．a、b、c三点电势高低及场强大小的关系是φa＝φc>φb，Ea＝Ec＝2Eb
B．质点由a到b电势能增加，由b到c电场力做正功，在b点动能最小
C．质点在a、b、c三处的加速度大小之比是1∶2∶1
D．若改变带电质点在a处的速度大小和方向，有可能使其经过a、b、c三点做匀速圆周运动
[解析] 根据正点电荷周围电场线分布，以及沿着电场线电势降低的规律可知，a、c两点电势相同，b点电势最低，设a点距离场源电荷为r，Ea＝
，Eb＝
，Ea＝2EB，A正确；质点由a到b运动过程中电场力为引力，电场力做负功，电势能增大，动能减小，由b到c过程中电场力指向场源电荷，为引力，电场力做正功，动能增大，由此可知质点在b点动能最小，B正确；质点在a、b、c三处的库仑力之比为2∶1∶2，加速度之比为2∶1∶2，C错误；带电质点如果做匀速圆周运动，必须以场源电荷为圆心，而a、b、c三点不在同一个圆周上，由此可知D错误。
[答案] AB
[多选]如图所示，光滑的水平轨道AB与半径为R的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，AB水平轨道部分存在水平向右的匀强电场，半圆形轨道在竖直平面内，B为最低点，D为最高点。
一质量为m、带正电的小球从距B点x的位置在电场力的作用下由静止开始沿AB向右运动，恰能通过最高点，则（ ）
A．R越大，x越大
B．R越大，小球经过B点后瞬间对轨道的压力越大
C．m越大，x越大
D．m与R同时增大，电场力做功增大
解析：
选ACD 小球在BCD做圆周运动，在D点，mg＝
，小球由B到D的过程中有－2mgR＝
mv
－
mv
，解得vB＝
，R越大，小球经过B点时的速度越大，则x越大，选项A正确；在B点有FN－mg＝m
，解得FN＝6mg，与R无关，选项B错误；由Eqx＝
mv
，知m、R越大，小球在B点的动能越大，则x越大，电场力做功越多，选项C、D正确。
考点三
用“等效法”解决带电体在电场、重力场中的运动问题
1．方法概述
等效思维方法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。
对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。
若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。
2．方法应用
先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝
视为“等效重力加速度”。
再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。
[典题5] 如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆轨道相切。
整个装置处于电场强度为E、方向水平向右的匀强电场中。
现有一个质量为m的小球，带正电荷量为q＝
，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应满足什么条件？
[解析] 小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，
类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg′，大小为
mg′＝
＝
tanθ＝
＝
，得θ＝30°
等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动。
因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的“等效最高点”（D点）满足“等效重力”刚好提供向心力，即有mg′＝
因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系知AD＝2R，令小球以最小初速度v0运动，由动能定理知
－2mg′R＝
mv
－
mv
解得v0＝
，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v≥
。
[答案] v≥
（2016·吉安模拟）如图所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m的电荷量为q的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A点静止释放，当细线离开竖直位置偏角α＝60°时，小球速度为零。
（1）求：
①小球带电性质；②电场强度E；
（2）若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A点释放小球时应有的初速度vA的大小（可含根式）。
解析：
（1）①根据电场方向和小球受力分析可知小球带正电。
②小球由A点释放到速度等于零，由动能定理有
0＝EqLsinα－mgL（1－cosα）
解得E＝
（2）将小球的重力和电场力的合力作为小球的等效重力G′，则G′＝
mg，方向与竖直方向成30°角偏向右下方。
若小球恰能做完整的圆周运动，在等效最高点有
m
＝
mg
mv2－
mv
＝－
mgL（1＋cos30°）
联立解得vA＝
答案：
见解析
专题突破训练
1．（2016·苏州调研）如图所示，绝缘杆两端固定带电小球A和B，轻杆处于水平向右的匀强电场中，不考虑两球之间的相互作用，初始时杆与电场线垂直。
现将杆右移，同时顺时针转过90°，发现A、B两球电势能之和不变。
根据如图给出的位置关系，下列说法正确的是（ ）
A．A一定带正电，B一定带负电
B．A、B两球所带电荷量的绝对值之比qA∶qB＝1∶2
C．A球电势能一定增加
D．电场力对A球和B球做功相等
解析：
选B 电场力做功与路径无关，两个小球在杆右移后电势都变化，而两个小球组成的系统的电势能之和不变，那么电场力对其中一个做正功，对另一个一定做负功，做功的绝对值相同，两个小球一定带异种电荷，但不能准确判断每一个小球所带电荷的电性，A、C、D错误；由电势能变化之和为零得EqBL＝EqA·2L，即|qA|∶|qB|＝1∶2，B正确。
2．如图所示，A、B两金属板平行放置，在t＝0时刻将电子从A板附近由静止释放（电子的重力忽略不计）。
分别在A、B两板间加上下列哪种电压时，有可能使电子到不了B板（ ）
解析：
选B 加A图电压，电子从A板开始向B板做匀加速直线运动；加B图电压，电子开始向B板做匀加速运动，再做加速度大小相同的匀减速运动，速度减为零后做反向匀加速运动及匀减速运动，由对称性可知，电子将做周期性往复运动，所以电子有可能到不了B板；加C图电压，电子先匀加速，再匀减速到静止，完成一个周期，所以电子一直向B板运动，即电子一定能到达B板；加D图电压，电子的运动与C图情形相同，只是加速度是变化的，所以电子也一直向B板运动，即电子一定能到达B板，综上所述可知选项B正确。
3.[多选]如图所示，空间有竖直向下的匀强电场，电场强度为E，在电场中P处由静止释放一质量为m、带电荷量为＋q的小球（可视为质点）。
在P的正下方h处有一水平弹性绝缘挡板S（挡板不影响电场的分布），小球每次与挡板相碰后电荷量减小到碰前的k倍（k＜1），而碰撞过程中小球的机械能不损失，即碰撞前后小球的速度大小不变，方向相反。
设在匀强电场中，挡板S处的电势为零，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在初始位置P处的电势能为Eqh
B．小球第一次与挡板相碰后所能达到的最大高
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