《方程的意义》教案.docx

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《方程的意义》教案

方程的意义

教学内容：

青岛版小学数学五年级上册49页—51页信息窗1第1课时

教学目标

1．结合具体情境理解方程的意义，会用方程表示简单的等量关系。

2．借助天平亲自参与操作和实验，在经历天平由平衡→不平衡→平衡的动态过程中，加深对方程及等式意义的理解。

3.感受方程与现实生活的密切联系，提高对数学的兴趣和应用意识。

教学重难点

教学重点：

“方程”模型的建立。

教学难点：

找到题目中的等量关系，用方程表示等量关系。

教具、学具

教师准备：

多媒体课件、天平。

教学过程

一、拟定导学提纲，自主预习

1.创情板题

谈话：

同学们，你们知道我们国家的国宝是什么？

生：

大熊猫。

今天老师带来了国家一级保护动物的几幅图片，动物园的叔叔正在科学的喂养大熊猫，我们一起来看看这里蕴含着那些数学问题？

（课件展示）

今天这节课，我们就以大熊猫为话题，来研究其中的数学问题。

（板书课题：

方程的意义）

2.出示目标：

本节课要达到以下学习目标：

[

（1）结合具体情境理解方程和等式的意义，会用方程表示简单的等量关系。

（2）借助天平，加深对方程及等式意义的理解。

]

3.自学指导：

过渡语：

为了完成本节课的目标，需要靠大家的努力，请看自学指导。

【认真看课本49—51页内容，重点看第一个红点中的内容。

思考：

（1）如何用天平表示相等式子？

和不相等式子？

（2）怎样用含有字母的式子表示等量关系？

（3）什么叫方程？

】

5分钟后，看谁的收获最多。

4.看一看：

师：

请按自学指导的要求认真自学，比一比谁的坐姿最端正，学习效果最好！

自学竞赛开始。

二、汇报交流，评价质疑

1．调查：

看完的同学请举手，看会的请放下。

指名读情境图中的文字，引导学生明确题目中信息。

2.汇报交流：

第一个问题：

（1）理解用天平表示相等的式子。

（师出示板贴：

天平的左边放一个盛米粉的碗，右边放一个20克的砝码，天平平衡。

）

预测生1：

天平平衡。

师：

平衡说明了什么？

预测生2：

平衡说明了两边的物体是相等的。

师：

你能用一个试子表述出你看到的现象吗？

预测生3：

一个碗的质量=20克。

（师出示板贴：

天平的左边放一个20克的碗和一袋50克的米粉，右边放一个70克的砝码，天平平衡。

）

师：

你还能用一个试子表述出你看到的现象吗？

预测生：

一个碗的质量+一袋米粉的质量=70克。

师：

还有不同写法吗？

预测生：

20+50=70.

师：

像这样用等号连接的式子就是等式。

谁能试着来说一个等式吗？

预测生：

60+30=9030+70=100100-60=40

师出示图片：

师：

说出你看到的现象。

预设生：

天平平衡。

左右边相等。

师:

能用一个式子表示出你看到的现象吗？

预设生：

20+x=70

师：

通过刚才说的这些等式，我们发现“=”不但可以表示运算的结果，还可以表示相等的关系。

（2）理解不相等的关系.

出示图片:

师：

说出你看到的现象。

预设生：

天平不平衡了。

左边重了，右边清了。

师:

用一个式子表示出你看到的现象吗？

预设生：

20+x>50.

师出示图片：

师：

说出你看到的现象。

预设生：

天平不平衡了。

右边重了，左边清了。

师:

用一个式子表示出你看到的现象吗？

预设生：

20+x<100

第二个问题：

用含有字母的式子表示等量关系。

（出示课件）

（学生尝试做。

）

展示交流：

2x=1503x+10=100

（师：

借助天平学习含有未知数的等式与不等式，既有助于让学生的数学学习前后贯通，又便于学生的前后比较。

）

（1）学生在汇报交流中体会怎样找等量关系式，怎样写出含有字母的式子。

学生在汇报时，可能会出现以下情况：

学生在交流时可能会说：

因为天平平衡，所以左边等于右边，用含有字母的式子表示为：

2x=1503x+10=100

（友情提示：

学生可能说出的字母不用x表示，生说什么字母，师就板书什么字母。

）

第三个问题：

揭示方程的意义。

师：

现在有这么多的式子，你能给这些式子分分类吗？

（生分组讨论交流。

）预设生：

分四类，把等式和不等式分开，然后把等式和不等式其中有字母和没有字母的再分开。

等式:

20+50=70.（不含有字母）20+x=70（含有字母）。

不等式:

20+x>5020+x<100

师:

我们这节课只研究含有未知数等式，这些式子叫方程。

谁来说一说什么叫方程？

判断方程的依据是什么？

预设生：

含有未知数等式，叫方程。

预设生：

方程必须具备两个条件：

含有未知数，一定是等式。

师：

等式和未知数是判断方程的依据，二者缺一不可。

等式里面包括方程，方程是等式一部分。

方程必须具备两个条件：

一是等式，二要含有未知数。

三、抽象概括，总结提升

师小结：

同学们，通过今天的学习，你们对等式又有了新的了解，根据已知信息写出含有字母的式子，首先要认真阅读信息，找出关键性的语句，用笔圈出来，根据关键性的语句再找出数量间的相等关系，最后根据等量关系式写出含有字母的式子。

根据等量关系式写含有字母的式子时，已知的量用相应的数字表示，不知道的量用字母表示。

把需要很多个文字叙述清楚的数量关系，只要用一个含有字母的式子就可以表示出要表达的意思，这就是数学的魅力。

四、巩固练习加强应用

1．课本50页第1题：

（根据方程的两个条件来判断。

）

2．课本51页第2题看图列方程：

（1）借助天平平衡的原理找出数量间的相等关系；

（2）列出方程；

（3）班内订正。

（“实物展台”展示代表性作业，关注班级的后进生。

3．课本51页第3题

（1）看图，说一说题目的意思；

（2）学生独立填写等量关系式；

（3）班内交流等量关系式，引导学生明确等量关系式的名称，结合示意图说明数量间的相等关系；

（4）根据数量关系式列出方程。

（“实物展台”展示代表性作业，关注班级的后进生。

使用说明

1．设计说明：

本节教案，我是从以下几点设计的：

（1）充分利用“一体机”，展示和有针对性的处理课堂中出现的典型错误。

多媒体教学有利于激发学生的兴趣，特别是“一体机”的使用一些过去难以用语言描述的过程，现在用“实物展台”，更是方便了教师，提高了课堂教学的效率，激发了学生的兴趣。

在突破本节课的难点的时候，“一体机”的使用更是大显身手，把学生出现的典型错误，一目了然的呈现在大屏幕上。

（2）练习题设计由题目层次的变化体现题目的全面性。

从比较基本的的题目，到动手计算，再到综合运用的应用题，逐步加深难度。

在这三组练习题中，基本涵盖了本节课的所有类型的典型题目，既有比较基础的题目，也有应用一些知识灵活处理实际问题的题目。

（3）在设计教案和经历“方程”建模的过程中，体会数学的简约之美。

在教案的设计上以“简约”为主，在设计时，我把可有可无的图片删掉，以节约空间，另外，本节课学生经历了一个这样的过程：

由叙述较烦琐的文字信息——找到关键性的语句——把关键性的语句用等量关系表示（概括性的文字与数学符号结合）——等式（方程）（数学符号表示）。

学生在一次次的简化表示中体会到符合化思想，感受到数学的魅力，激发对数学的热爱之情。

2．使用建议

列方程的关键是找等量关系,所以教师要注重引导学生进行找等量关系的等量练习，为列方程解题扫除障碍。

3.需破解的问题

部分学生不喜欢用方程解决实际问题，感受不到用列方程的办法解决问题比较简洁，易懂。

所以教师要引导学生实现由“算数思维”向“代数思维”的转变。

第1课时　方程的根与函数的零点

1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.

2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.

3.能够运用函数思想、数形结合思想和化归思想解决方程的根的问题.

一个小朋友画了两幅图:

问题1:

上面的两幅图中哪一幅能说明图中的小朋友一定渡过河?

显然,图1说明了此小朋友一定渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点.

问题2:

（1）什么是函数的零点,零点是点吗?

（2）二次函数的零点个数如何判断?

（1）对于函数y=f（x）,我们把使　　　　的实数x叫作函数y=f（x）的零点.由定义可知零点是一个实数不是点. 

（2）在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中,当　　　　　时,有两个零点;当Δ=0时,有　　　　零点;当　　　　　时,没有零点. 

问题3:

函数y=f（x）的零点,方程f（x）=0的根,函数y=f（x）与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系?

函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根,也就是函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标.

事实上,方程f（x）=0有实数根⇔函数y=f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点.

问题4:

（1）零点存在性定理的内容是什么?

（2）如果函数y=f（x）在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,即存在零点,那么在（a,b）上到底有几个零点呢?

（3）如果函数y=f（x）在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间（a,b）内有零点,那么你认为f（a）·f（b）与0的关系是怎样的?

请举例说明.

（1）零点存在性定理:

如果函数y=f（x）在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有　　　　　　,那么函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点,即存在c∈（a,b）,使得f（c）=0,这个c也就是方程f（x）=0的根. 

（2）至少有一个.

（3）如图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.

利用零点的概念求零点

判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.

（1）f（x）=

;

（2）f（x）=x2+2x+4;（3）f（x）=2x-3;（4）f（x）=1-log3x.

函数零点所在区间的判定

函数f（x）=ex+x-2的零点所在的一个区间是（　　）.

A.（-2,-1）　　B.（-1,0）　　C.（0,1）　　D.（1,2）

函数零点的个数判定

函数f（x）=

+x2-2x有几个零点?

（___·北京卷）已知函数f（x）=

-log2x,在下列区间中,包含f（x）零点的区间是（　　）.

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,4）D.（4,+∞）

　　考题变式（我来改编）:

第1课时　方程的根与函数的零点

知识体系梳理

问题2:

（1）f（x）=0　

（2）Δ>0　一个　Δ<0

问题4:

（1）f（a）·f（b）<0

重点难点探究

探究一:

【解析】

（1）令

=0,解得x=-3,所以函数f（x）=

的零点是-3.

（2）令x2+2x+4=0,因为Δ=22-4×1×4=-12<0,

所以方程x2+2x+4=0无实数根,

所以函数f（x）=x2+2x+4不存在零点.

（3）令2x-3=0,解得x=log23,

所以函数f（x）=2x-3的零点是log23.

（4）令1-log3x=0,解得x=3,

所以函数f（x）=1-log3x的零点是3.

【小结】求函数f（x）的零点时,通常转化为解方程f（x）=0,若方程f（x）=0有实数根,则函数f（x）存在零点,该方程的根就是函数f（x）的零点;否则,函数f（x）不存在零点.

　　探究二:

【解析】因为f（0）=-1<0,f

（1）=e-1>0,所以零点在区间（0,1）上,选C.

【答案】C　

【小结】要判断函数的零点所在的区间,只需把各区间的端点代入函数解析式中,看区间两端点对应的函数值是否异号,再用函数的零点存在性定理判断.

　　探究三:

【解析】由

+x2-2x=0,得

=-x2+2x,在同一直角坐标系内画出函数y=

和y=-x2+2x的图象,如图所示.

由图可知,两个函数图象有2个交点,所以函数f（x）=

+x2-2x有2个零点.

[问题]得到的答案是否正确?

[结论]不正确,画图不够准确.

（法一）由

+x2-2x=0,得

=-x2+2x,在同一直角坐标系内画出函数y=

和y=-x2+2x的图象,如图所示.

由图可知,两个函数图象有3个交点,所以函数f（x）=

+x2-2x有3个零点.

（法二）解方程

+x2-2x=0,即

=0,（x-1）·（x2-x-1）=0,所以方程有三个解,分别为x1=1,x2=

x3=

.

【小结】判断函数的零点个数有以下几种方法:

①解方程;②画出函数图象,根据图象与x轴交点的个数判断零点的个数;③结合函数的单调性,根据函数的零点存在性定理进行判断;④把方程转化为两个函数,画出两个函数的图象,根据它们交点的个数判断零点的个数,要求准确地画出函数的图象.

全新视角拓展

【解析】由题意知函数f（x）在（0,+∞）上为减函数,又f

（1）=6-0=6>0,f

（2）=3-1=2>0,f（4）=

-log24=

-2=-

<0,由零点存在性定理,可知函数f（x）在区间（2,4）上必存在零点.

【答案】C

思维导图构建

实数x　x轴　有零点　f（a）·f（b）<0