第九讲 数阵图四年级老师用.docx
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第九讲数阵图四年级老师用
第16讲数阵图
(一)
在神奇的数学王国中,有一类非常有趣的数学问题,它变化多端,引人入胜,奇妙无穷。
它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连其中,用毕生的精力来研究它的变化,就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么,到底什么是数阵呢?
我们先观察下面两个图:
左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了,1~9九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说,数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图,可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1把1~5这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了,七拼八凑就写出了右上图的答案,可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理,只有弄懂其中的道理,才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解:
中间方格中的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”。
也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以
(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,
重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了,其余各数就好填了(见右上图)。
例2把1~5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解:
与例1不同之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所
以,必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知,两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都等于
[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
因此,两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。
在剩下的四个数1,2,3,4中,只有1+4=2+3=5。
故有右上图的填法。
例3把1~5这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等。
分析与解:
例1是知道每条直线上的三数之和,不知道重叠数;例2是知道重叠数,不知道两条直线上的三个数之和;本例是这两样什么都不知道。
但由例1、例2的分析知道,
(1+2+3+4+5)+重叠数
=每条直线上三数之和×2,
所以,每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。
因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1,3或5。
若“重叠数”=1,则两条直线上三数之和为
(15+1)÷2=8。
填法见左下图;
若“重叠数”=3,则两条直线上三数之和为
(15+3)÷2=9。
填法见下中图;
若“重叠数”=5,则两条直线上三数之和为
(15+5)÷2=10。
填法见右下图。
由以上几例看出,求出重叠数是解决数阵问题的关键。
为了进一步学会掌握这种解题方法,我们再看两例。
例4将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解:
与例1类似,知道每条边上的三数之和,但不知道重叠数。
因为有3条边,所以中间的重叠数重叠了两次。
于是得到
(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。
由此得出重叠数为
[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。
剩下的六个数中,两两之和等于9的有2,7;3,6;4,5。
可得右上图的填法。
如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”,其他不变,那么仿照例3,重叠数可能等于几?
怎样填?
例5将10~20填入左下图的○内,其中15已填好,使得每条边上的三个数字之和都相等。
解:
与例2类似,中间○内的15是重叠数,并且重叠了四次,所以每条边上的三个数字之和等于
[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。
剩下的十个数中,两两之和等于(45-15=)30的有10,20;11,19;12,18;13,17;14,16。
于是得到右上图的填法。
例1~5都具有中心数是重叠数,并且每边的数字之和都相等的性质,这样的数阵图称为辐射型。
例4的图中有三条边,每边有三个数,称为辐射型3—3图;例5有五条边每边有三个数,称为辐射型5—3图。
一般地,有m条边,每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m-n图。
辐射型数阵图只有一个重叠数,重叠次数是“直线条数”-1,即m-1。
对于辐射型数阵图,有
已知各数之和+重叠数×重叠次数
=直线上各数之和×直线条数。
由此得到:
(1)若已知每条直线上各数之和,则重叠数等于
(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。
如例1、例4。
(2)若已知重叠数,则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。
如例2、例5。
(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道,则要从重叠数的可能取值分析讨论,如例3。
练习16
1.将1~7这七个数分别填入左下图中的○里,使每条直线上的三个数之和都等于12。
如果每条直线上的三个数之和等于10,那么又该如何填?
2.将1~9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好),使每条直线上的三个数之和都相等。
如果中心数是5,那么又该如何填?
3.将1~9这九个数分别填入右图的小方格里,使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)
4.将3~9这七个数分别填入左下图的○里,使每条直线上的三个数之和等于20。
5.将1~11这十一个数分别填入右上图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大。
6.将1~7这七个数分别填入下图的○里,使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
第17讲数阵图
(二)
上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题,这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
例1将1~8这八个数分别填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21。
分析与解:
中间两个数是重叠数,重叠次数都是1次,所以两个重叠数之和为
21×2-(1+2+…+8)=6。
在已知的八个数中,两个数之和为6的只有1与5,2与4。
每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。
如果两个重叠数为1与5,那么剩下的六个数2,3,4,6,7,8平分为两组,每组三数之和为15的只有
2+6+7=15和3+4+8=15,
故有左下图的填法。
如果两个重叠数为2与4,那么同理可得上页右下图的填法。
例2将1~6这六个自然数分别填入右图的六个○内,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
分析与解:
本题有三个重叠数,即三角形三个顶点○内的数都是重叠数,并且各重叠一次。
所以三个重叠数之和等于
11×3-(1+2+…+6)=12。
1~6中三个数之和等于12的有1,5,6;2,4,6;3,4,5。
如果三个重叠数是1,5,6,那么根据每条边上的三个数之和等于11,可得左下图的填法。
容易发现,所填数不是1~6,不合题意。
同理,三个重叠数也不能是3,4,5。
经试验,当重叠数是2,4,6时,可以得到符合题意的填法(见右上图)。
例3将1~6这六个自然数分别填入右图的六个○中,使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
分析与解:
与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。
因为三个重叠数都重叠了一次,由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3,得到每边的三数之和等于
[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3
=(21+重叠数之和)÷3
=7+重叠数之和÷3。
因为每边的三数之和是整数,所以重叠数之和应是3的倍数。
考虑到重叠数是1~6中的数,所以三个重叠数之和只能是6,9,12或15,对应的每条边上的三数之和就是9,10,11或12。
与例2的方法类似,可得下图的四种填法:
每边三数之和=9每边三数之和=10每边三数之和=11每边三数之和=12
例4将2~9这八个数分别填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18。
分析与解:
四个角上的数是重叠数,重叠次数都是1次。
所以四个重叠数之和等于
18×4-(2+3+…+9)=28。
而在已知的八个数中,四数之和为28的只有:
4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。
又由于18-9-8=1,1不是已知的八个数之一,所以,8和9只能填对角处。
由此得到左下图所示的重叠数的两种填法:
“试填”的结果,只有右上图的填法符合题意。
以上例题都是封闭型数阵图。
一般地,在m边形中,每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。
与“辐射型m-n图只有一个重叠数,重叠次数是m-1”不同的是,封闭型m-n图有m个重叠数,重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图,因为重叠数只重叠一次,所以
已知各数之和+重叠数之和
=每边各数之和×边数。
由这个关系式,就可以分析解决封闭型数阵图的问题。
前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图,虽然大多数数阵问题要比它们复杂些,但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析,就能解决很多数阵问题。
例5把1~7分别填入左下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
分析与解:
这道题的“重叠数”很多。
有重叠2次的(中心数,记为a);有重叠1次的(三个数,分别记为b,c,d)。
根据题意应有
(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3,
即a+a+b+c+d=11。
因为1+2+3+4=10,11-10=1,所以只有a=1,b,c,d分别为2,3,4才符合题意,填法见右上图。
练习17
1.把1~8填入下页左上图的八个○里,使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2.把1~6这六个数填入右上图的○里,使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3.将1~8填入左下图的八个○中,使得每条边上的三个数之和都等于15。
4.将1~8填入右上图的八个○中,使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
5.将1~7填入右图的七个○,使得每条直线上的各数之和都相等。
6.把1,3,5,7,9,11,13分别填入左图中的七个空块中,使得每个圆内的四个数之和都等于34。