抽象函数问题莫畏难学会三招可攻关第一篇高考数学压轴题精校解析Word版.docx
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抽象函数问题莫畏难学会三招可攻关第一篇高考数学压轴题精校解析Word版
一．方法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的基本性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．具体的可概括为函数性质法、赋值法和构造函数法.
二．解题策略
类型一函数性质法
【例1】【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】已知定义在
上的函数
满足条件：
①对任意的
，都有
；②对任意的
且
，都
有；③函数
的图象关于
轴对称，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
则
，
，
，
则
，
即
，
故选C．
【指点迷津】
1.先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题.
2.解决抽象函数问题常用的结论
（1）函数y＝f（x）关于x＝
对称⇔f（a＋x）＝f（b－x）⇔f（x）＝f（b＋a－x）．
特例：
函数y＝f（x）关于x＝a对称⇔f（a＋x）＝f（a－x）⇔f（x）＝f（2a－x）；
函数y＝f（x）关于x＝0对称⇔f（x）＝f（－x）（即为偶函数）．
（2）函数y＝f（x）关于点（a，b）对称⇔f（a＋x）＋f（a－x）＝2b⇔f（2a＋x）＋f（－x）＝2b.
特例：
函数y＝f（x）关于点（a,0）对称⇔f（a＋x）＋f（a－x）＝0⇔f（2a＋x）＋f（－x）＝0；
函数y＝f（x）关于点（0,0）对称⇔f（x）＋f（－x）＝0（即为奇函数）．
（3）y＝f（x＋a）是偶函数⇔函数y＝f（x）关于直线x＝a对称；y＝f（x＋a）是奇函数⇔函数y＝f（x）关于（a,0）对称．
（4）对于函数f（x）定义域内任一自变量的值x：
①若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a；
②若f（x＋a）＝
，则T＝2a；
③若f（x＋a）＝－
，则T＝2a；（a>0）
④若f（x＋a）＝f（x＋b）（a≠b），则T＝|a－b|；
⑤若f（2a－x）＝f（x）且f（2b－x）＝f（x）（a≠b），则T＝2|b－a|.
（5）奇偶函数在对称区间上的单调性：
奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
【举一反三】【2018年全国卷II理】已知
是定义域为
的奇函数,满足
.若
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为
是定义域为
的奇函数，且
，
所以
因此
，
因为
，所以
，
，从而
，选C.
类型二赋值法
【例2】【甘肃省兰州市第一中学2019届9月月考】已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有
，则
的值是（）
A．0B．
C．1D．
【答案】A
【解析】
【指点迷津】
根据对题目给出的抽象的函数性质的理解，将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解.
【举一反三】【江苏省南通市2018年高考模拟
（二）】已知函数
是定义在
上的偶函数，且对于任意的
都有
，
，则
的值为______．
【答案】4
【解析】
函数
是定义在
上的偶函数，
，
，
令
，可得
，
则
则
，
，
是以
为周期的函数，
，
则
故答案为
类型三构造函数法
【例3】【河北省石家庄2018届检测
（二）】已知函数
是定义在区间
上的可导函数，满足
且
（
为函数的导函数），若
且
，则下列不等式一定成立的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【指点迷津】
导数、不等式、函数相结合的问题,往往考查函数的单调性、大小比较、解不等式等,问题的关键点在于利用好已知条件中含有原函数和它的导函数的式子,考虑用构造函数法，通过构造函数,使抽象函数问题具体化.如本题从
出发，联想构造函数
从而可以用上已知条件来判断函数单调性，进一步达到比较大小的目的.一般：
（1）条件含有
，就构造
（2）若
，就构造
，（3）
，就构造
，（4）
就构造
，等便于给出导数时联想构造函数.
【举一反三】【甘肃省酒泉市敦煌中学2019届一诊】设
是定义在
上的奇函数,且
当
时,有
恒成立,则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
∵
，且
∴
∴
∴根据图象可得
或
∴不等式
的解集为
故选D.
三．强化训练
1．【河北省衡水中学2019届高三开学二调】已知
是定义域为
的奇函数，满足
.若
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
2.【2018年上海卷】设
是含数
的有限实数集，
是定义在
上的函数，若
的图象绕原点逆时针旋转
后与原图象重合，则在以下各项中，
的可能取值只能是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意得到：
问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转
个单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f
（1）=
，
，0时，此时得到的圆心角为
，
，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=
，此时旋转
，此时满足一个x只会对应一个y，
故选：
B．
3.【江西师范大学附属中学2018年10月高三月考】定义在
上的函数
满足
，若
在
上是增函数，记
，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
4．【安徽省六安市舒城中学2018届仿真（三）】已知定义在R上的函数
满足
且在
上是增函数，不等式
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，则函数
关于
对称
函数
在
上是增函数
函数
在
是减函数，即
在
上是减函数
当
时，不等式
变为
，
根据函数
的图象特征可得出：
，
解得
或
，满足不等式
对任意
恒成立，由此排除
两个选项
当
时，不等式
变为
，
根据函数
的图象特征可得出：
，
解得
，不满足不等式
对任意
恒成立，由此排除
综上所述，
选项是正确的
故选
.
5.【江西省南昌市2018届二轮测试（三）】已知函数
的图象关于点
对称，函数
对于任意的
满足
（其中
是函数
的导函数），则下列不等式成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
6.【北京工业大学附属中学2019届摸底】设
是定义在
上的奇函数，且
当
时，有
恒成立，则不等式
的解集为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
由图像可知，当
时，有
，此时
，故
；当
时，有
，此时
，故
；所以
的解集为
.
又
等价于
，所以
的解集为
.故选D.
7.【贵州省铜仁市第一中学2019届高三上第二次月考】设
是定义在
上以
为周期的偶函数，在区间
上是严格单调递增函数，且满足
，
，则不等式
的解集为_____________________
【答案】
【解析】
根据函数周期为2且为偶函数知，
，因为
，且根据对称性知函数在
上单调递减，所以
的解为
，故填
.
8.【山西大学附属中学2019届9月诊断】定义在
上的函数
的图像关于
对称，且当
时，
（其中
是
的导函数），若
，则
的大小关系是________．
【答案】
【解析】
又∵
∴
>30.3•f（30.3）>（logπ3）•f（logπ3）
即
>30.3•f（30.3）>（logπ3）•f（logπ3）
即：
c＞a＞b
故答案为：
c＞a＞b.
9．【黑龙江省大庆实验中学2019届高三第一次月考】设函数
是定义在（－∞，0）上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为________.
【答案】
【解析】
由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），
得：
2xf（x）+x2f′（x）＜x3，
即[x2f（x）]′＜x3＜0，
令F（x）=x2f（x），
则当x＜0时，
得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），
即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，
∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，
∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，
即x＜﹣2016，
故答案为：
10.【山西大学附属中学2019届9月诊断】已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，当且仅当0）,试证明
（1）f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（－1，1）上单调递减
【答案】
（1）见解析；
（2）见解析.
【解析】
证明：
（1）由f（x）+f（y）=f（
）可令x=y=0,得f（0）=0,
令y=－x,得f（x）+f（－x）=f（
）=f（0）=0
∴f（x）=－f（－x）
∴f（x）为奇函数
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