5．D 点拨：
设第三边的长为x，则2＜x＜8，所以周长l的取值范围是3＋5＋2＜l＜3＋5＋8，即10＜l＜16.
6．B 7.B 8.D
9．解：
（1）因为AB＝5，BC＝2，所以3＜AC＜7.
又因为AC的长为奇数，所以AC＝5.
所以△ABC的周长为5＋5＋2＝12.
（2）△ABC是等腰三角形．
10．解：
因为（b－2）2≥0，|c－3|≥0，且（b－2）2＋|c－3|＝0，
所以（b－2）2＝0，|c－3|＝0，
解得b＝2，c＝3.
由a为方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或a－4＝－2，
即a＝6或a＝2.
当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系．
所以a＝2，b＝2，c＝3.
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
11．解：
如图，将DE向两边延长分别交AB，AC于点M，N，
在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；①
在△BDM中，MB＋MD＞BD；②
在△CEN中，CN＋NE＞CE；③
①＋②＋③，得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE，所以AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
（第11题）
专训2三角形内角和与外角的几种常见应用类型
名师点金：
三角形内角和与外角有着广泛的应用，利用它们可以解决有关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问题中求角度等．
直接计算角度
（第1题）
1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝________．
2．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝________．
三角尺或直尺中求角度
3．把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．125°B．120°C．140°D．130°
（第3题）
（第4题）
4．一副三角尺ABC和DEF如图放置（其中∠A＝60°，∠F＝45°），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为________．
5．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．
（第5题）
与平行线的性质综合求角度
6．如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
（第6题）
与截角和折叠综合求角度
7．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于（ ）
（第7题）
A．360°
B．250°
C．180°
D．140°
8．△ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的两点．
（1）如图①，如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是____________；
（2）如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由；
（3）如果折成图③的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
（第8题）
答案
1．80° 2.60° 3.D 4.15°
5．解：
因为∠BCA＝90°，∠DCE＝30°，
所以∠ACF＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－90°－30°＝60°.
因为∠CAF＝∠DCE＝30°，
所以∠F＝180°－∠CAF－∠ACF＝180°－30°－60°＝90°.
6．解：
因为AB∥CD，
所以∠CFE＝∠ABE＝60°.
因为∠D＝50°，
所以∠E＝∠CFE－∠D＝60°－50°＝10°.
7．B
8．解：
（1）∠BDA′＝2∠A
（2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，
理由：
∵在四边形ADA′E中，
∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠A′EA＝360°，
∴∠A＋∠A′＝360°－∠ADA′－∠A′EA.
∵∠BDA′＋∠ADA′＝180°，∠CEA′＋∠A′EA＝180°，
∴∠BDA′＋∠CEA′＝360°－∠ADA′－∠A′EA，
∴∠BDA′＋∠CEA′＝∠A＋∠A′.
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠A′，∴∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A.
（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.
理由：
设DA′交AC于点F，
∵∠BDA′＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A′＋∠CEA′，
∴∠BDA′＝∠A＋∠A′＋∠CEA′，
∴∠BDA′－∠CEA′＝∠A＋∠A′.
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠A′，
∴∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.
专训 三角形的三种重要线段的应用
名师点金：
三角形的角平分线、中线和高是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的作用，因此我们需要从不同的角度认识这三种线段．
三角形的角平分线的应用
三角形角平分线定义的直接应用
1．
（1）如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有______________________；
（2）如图，已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．
（第1题）
求三角形两内角平分线的夹角度数
2．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.
（1）当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；
（2）当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；
（3）当∠A＝α时，求∠BOC的度数．
（第2题）
三角形的中线的应用
求与中线相关线段长的问题
3．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
（第3题）
（第4题）
4．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为（ ）
A．40 B．46 C．50 D．56
5．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．
求与中线相关的面积问题
6．如图，在△ABC中，D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC＝8cm2，则图中阴影部分的面积是________．
（第6题）
7.操作与探索：
在图①～③中，△ABC的面积为a.
（第7题）
（1）如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________（用含a的式子表示）；
（2）如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________（用含a的式子表示），请说明理由；
（3）如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________（用含a的式子表示）．
三角形的高的应用
找三角形的高
8．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E，则△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．
（第8题）
作三角形的高
9．【动手操作题】画出图中△ABC的三条高．（要标明字母，不写画法）
（第9题）
求与高相关线段长的问题
10．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.求：
（1）△ABC的面积及AC边上的高BE的长；
（2）AD∶BE的值．
（第10题）
证与高相关线段和的问题
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.试说明：
DE＋DF＝BG.
（第11题）
求与高有关的面积
12．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝
BC，点G是AB边上一点，点H在△ABC内部，BD∥GH，且BD＝GH.则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
（第12题）
答案
1．解：
（1）△ABC和△ADF
（2）因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝∠CAE.
又因为∠1＝∠2＝15°，
所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.
所以∠CAE＝∠BAE＝30°，即∠4＋∠3＝30°.
又因为∠4＝15°，
所以∠3＝15°.
所以∠2＝∠3.
所以AE是△DAF的角平分线．
2．解：
（1）因为∠A＝60°，
所以∠ABC＋∠ACB＝120°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＝
∠ABC，∠DCB＝
∠ACB.
所以∠EBC＋∠DCB＝
∠ABC＋
∠ACB＝
（∠ABC＋∠ACB）＝60°，
所以∠BOC＝180°－（∠EBC＋∠DCB）＝180°－60°＝120°.
（2）因为∠A＝100°，
所以∠ABC＋∠ACB＝80°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＝
∠ABC，∠DCB＝
∠ACB.
所以∠EBC＋∠DCB＝
∠ABC＋
∠ACB＝
（∠ABC＋∠ACB）＝40°，所以∠BOC＝180°－（∠EBC＋∠DCB）＝180°－40°＝140°.
（3）因为∠A＝α，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＝
∠ABC，∠DCB＝
∠ACB.
所以∠EBC＋∠DCB＝
∠ABC＋
∠ACB＝
（∠ABC＋∠ACB）＝90°－
α，
所以∠BOC＝180°－（∠EBC＋∠DCB）＝180°－
＝90°＋
α.
点拨：
第
（1）
（2）问很容易解决，第（3）问就是类比前面解决问题的方法用含α的式子表示．
3．A
4．A 点拨：
因为△AEC的周长为24，
所以AE＋CE＋AC＝24.
又因为BE＝CE，
所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.
又因为ED为△EBC的中线，
所以BC＝2BD＝2×8＝16.
所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.
故选A.
5．解：
设AD＝CD＝xcm，则AB＝2xcm，BC＝（21－4x）cm.
依题意，有AB＋AD＝15cm或AB＋AD＝6cm，
即2x＋x＝15或2x＋x＝6，
解得x＝5或x＝2.
当x＝5时，三边长为10cm，10cm，1cm；
当x＝2时，三边长为4cm，4cm，13cm，而4＋4＜13，
故不成立．
所以这个等腰三角形的三边长为10cm，10cm，1cm.
6．2cm2
7．解：
（1）a
（2）2a
理由：
连接AD，由题意可知S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，
所以S△DEC＝2a，即S2＝2a.
（3）6a
8．AB；DC
9．解：
如图．
（第9题）
10．解：
（1）S△ABC＝
BC·AD＝
×4×4＝8.
因为S△ABC＝
AC·BE＝
×5×BE＝8，
所以BE＝
.
（2）ADBE＝4
＝
.
11．解：
连接AD，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以
AC·BG＝
AB·DE＋
AC·DF.
又因为AB＝AC，所以DE＋DF＝BG.
点拨：
“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决．
12．B 点拨：
设△ABC的边BC上的高为h，△AGH的边GH上的高为h1，△CGH的边GH上的高为h2，则有h＝h1＋h2.S△ABC＝
BC·h＝16，S阴影＝S△AGH＋S△CGH＝
GH·h1＋
GH·h2＝
GH·（h1＋h2）＝
GH·h.
∵GH＝BD＝
BC.
∴S阴影＝
×
＝
S△ABC＝4.
故选B.
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