新苏科版八年级数学上册同步练习《23 设计中心对称图案》.docx
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新苏科版八年级数学上册同步练习《23设计中心对称图案》
新苏科版八年级数学上册同步练习《2.3设计中心对称图案》
一、填空题
1．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有__________
2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有______种．
二、解答题
3．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC和△A1B1C1在平面直角坐标系中位置如图所示．
（1）△ABC与△A1B1C1关于某条直线m对称，画出对称轴m．
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2．此时点A2的坐标为______．求出点A1旋转到点A2的路径长．（结果保留根号）
4．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图，网格中小正方形的边长为1，请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移3个单位得到△A1B1C1，作出平移后的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
7．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在
（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．
9．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：
（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；
（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．
10．如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）．
（1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1
（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）
11．如图，已知△ABC和点O．
（1）把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）用直尺和圆规作△ABC的边AB，AC的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P（要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点P是△ABC的内心，外心，还是重心？
12．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；
（2）在旋转过程中，点A经过的路径
的长度为______；（结果保留π）
（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并求出D点坐标．
13．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）
14．如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：
先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°
（1）画出旋转之后的△AB′C′；
（2）求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．
16．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
（1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；
（2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（﹣3，5），C（﹣4，1）．
（1）把△ABC向右平移2个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
18．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形﹣﹣筝形．所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似．
定义：
两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形ABCD是筝形，其中AB=AD，CB=CD
判定：
①两组邻边分别相等的四边形是筝形
②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形
显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点
如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：
（1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；
（2）请仿照图1的画法，在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：
①顶点都在格点上；
②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；
③将新图案中的四个筝形都涂上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．
2.3设计中心对称图案
参考答案与试题解析
一、填空题
1．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有_______种。
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
【分析】利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．
【解答】解：
如图所示：
组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
则这个格点正方形的作法共有4种．
【点评】此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握相关定义是解题关键．
2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有 4 种．
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
【专题】几何图形问题．
【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质与定义，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：
如图所示：
这个格点正方形的作法共有4种．
故答案为：
4．
【点评】此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握中心对称以及轴对称图形的定义是解题关键．
二、解答题
3．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC和△A1B1C1在平面直角坐标系中位置如图所示．
（1）△ABC与△A1B1C1关于某条直线m对称，画出对称轴m．
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2．此时点A2的坐标为 （1，4） ．求出点A1旋转到点A2的路径长．（结果保留根号）
【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换．
【分析】
（1）直接利用轴对称图形的性质结合网格得出对称轴m；
（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案，再利用弧长公式求出点A1旋转到点A2的路径长．
【解答】解：
（1）如图所示：
直线m即为所求；
（2）如图所示：
△A2B2C2，即为所求，点A2的坐标为：
（1，4），
点A1旋转到点A2的路径长为：
=
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及旋转变换、弧长公式等知识，根据题意得出对应点位置是解题关键．
4．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图，网格中小正方形的边长为1，请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移3个单位得到△A1B1C1，作出平移后的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于点O的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接得到△A2B2C2，进而得到点A2的坐标．
【解答】解：
（1）如图所示；
（2）如图所示，点A2的坐标是（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【分析】
（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；
（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
【解答】解：
（1）如图所示：
点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．
【点评】本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．
6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题．
【分析】
（1）延长AC到A1，使得AC=A1C，延长BC到B1，使得BC=B1C，利用点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），得出图象平移单位，即可得出△A2B2C2；
（2）根据△△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2进而得出，旋转中心即可；
（3）根据B点关于x轴对称点为A2，连接AA2，交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可．
【解答】解：
（1）如图所示：
（2）如图所示：
旋转中心的坐标为：
（
，﹣1）；
（3）∵PO∥AC，
∴
=
，
∴
=
，
∴OP=2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用轴对称求最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握．
7．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】
（1）将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出△A1B1C1；
（2）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°，得出对应点，即可得出△A2B2C2．
【解答】解：
（1）如图所示：
△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：
△A2B2C2，即为所求．
【点评】此题主要考查了图形的平移和旋转，根据已知得出对应点位置是解题关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在
（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】
（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接B1B2，C1C2，交点就是对称中心M．
【解答】解：
（1）①△A1B1C1如图所示；
②△A2B2C2如图所示；
（2）连接B1B2，C1C2，得到对称中心M的坐标为（2，1）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．
9．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：
（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；
（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】
（1）根据平移的性质得出对应点位置以及利用旋转的性质得出对应点位置画出图形即可；
（2）根据弧长计算公式求出即可．
【解答】解：
（1）如图所示：
（2）点C1所经过的路径长为：
=2π．
【点评】此题主要考查了图形的旋转与平移变换以及弧长公式应用等知识，根据已知得出对应点位置是解题关键．
10．如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）．
（1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1
（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】
（1）根据平移的性质得出对应点坐标即可得出答案；
（2）根据旋转的性质得出对应点坐标，进而利用弧长公式求出即可．
【解答】解：
（1）如图所示：
△O1A1B1，即为所求；
（2）如图所示：
△OA2B2，即为所求，
∵AO=
=
，
∴点A旋转到A2所经过的路径长为：
=
π．
【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换和弧长计算公式，根据图形变化性质得出对应点坐标是解题关键．
11．如图，已知△ABC和点O．
（1）把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）用直尺和圆规作△ABC的边AB，AC的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P（要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点P是△ABC的内心，外心，还是重心？
【考点】作图-旋转变换；作图—复杂作图．
【分析】
（1）分别得出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的对应点坐标，进而得到△A1B1C1，
（2）根据垂直平分线的作法求出P点即可，进而利用外心的性质得出即可．
【解答】解：
（1）△A1B1C1如图所示；
（2）如图所示；
点P是△ABC的外心．
【点评】此题主要考查了复杂作图，正确根据垂直平分线的性质得出P点位置是解题关键．
12．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；
（2）在旋转过程中，点A经过的路径
的长度为
π ；（结果保留π）
（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并求出D点坐标．
【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；轴对称-最短路线问题．
【分析】
（1）根据△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，得出各对应点位置画出图象即可；
（2）利用弧长公式求出点A经过的路径
的长度即可；
（3）利用待定系数法求一次函数解析式进而得出D点坐标．
【解答】解；
（1）如图所示：
（2）在旋转过程中，点A经过的路径
的长度为：
=
π；
故答案为：
π；
（3）∵B，B1在y轴两旁，连接BB1交y轴于点D，设D′为y轴上异于D的点，显然D′B+D′B1＞DB+DB1，
∴此时DB+DB1最小，
设直线BB1解析式为y=kx+b，依据题意得出：
，
解得：
，
∴y=﹣
x+
，
∴D（0，
）．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换以及待定系数法求一次函数解析式等知识，根据数形结合得出D点位置是解题关键．
13．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】
（1）根据△ABC向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A1的坐标；
（2）得出旋转后的△A2B2C2，再利用弧长公式求出点B所经过的路径长．
【解答】解：
（1）如图所示：
A1的坐标为：
（﹣3，6）；
（2）如图所示：
∵BO=
=
，
∴
=
=
π．
【点评】此题主要考查了弧长公式的应用以及图形的旋转与平移变换，根据已知得出对应点位置是解题关键．
14．如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：
先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【分析】△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得出△A2B2C2即可．
【解答】解：
如图所示：
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换以及轴对称图形，根据已知得出对应点位置是解题关键．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°
（1）画出旋转之后的△AB′C′；
（2）求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．
【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．
【专题】作图题．
【分析】
（1）根据网格结构找出点B、C旋转后的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）先求出AC的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：
（1）△AB′C′如图所示；
（2）由图可知，AC=2，
∴线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积=
=π．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，扇形面积的计算，是基础题，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
16．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
（1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；
（2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【专题】图表型．
【分析】
（1）根据网格结构，把△ABC向右平移后可使点P为三角形的内部的三个格点中的任意一个；
（2）把△ABC绕点C顺时针旋转90°即可使点P在三角形内部．
【解答】解：
（1）平移后的三角形如图所示；
（2）如图所示，旋转后的三角形如图所示．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（﹣3，5），C（﹣4，1）．
（1）把△ABC向右平移2个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【专题】作图题．
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕原点O旋转180°后的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：
（1）△A1B1C1如图所示，点A1（2，3）；
（2）△A2B2C2如图所示．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．
18．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形﹣﹣筝形．所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似．
定义：
两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形ABCD是筝形，其中AB=AD，CB=CD
判定：
①两组邻边分别相等的四边形是筝形
②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形
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