全国高考理科数学试题分类汇编6三角函数.docx
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全国高考理科数学试题分类汇编6三角函数
2014年全国高考理科数学试题分类汇编6三角函数
1角的概念及任意角的三角函数
6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图1 1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图像大致为（ ）
图1 1
A B
C D
6．C [解析]根据三角函数的定义，点M（cosx，0），△OPM的面积为|sinxcosx|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f（x）＝|sinxcosx|＝|sin2x|，且当x＝时上述关系也成立，故函数f（x）的图像为选项C中的图像．
2同角三角函数的基本关系式与诱导公式
16．、、[2014·福建卷]已知函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）－.
（1）若0<α<，且sinα＝，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
16．解：
方法一：
（1）因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.
所以f（α）＝×－
＝.
（2）因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
方法二：
f（x）＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x
＝sin.
（1）因为0<α<，sinα＝，所以α＝，
从而f（α）＝sin＝sin＝.
（2）T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
17．，，[2014·重庆卷]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
（1）求ω和φ的值；
（2）若f＝，求cos的值．
17．解：
（1）因为f（x）的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f（x）的图像关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因为－≤φ＜，
所以φ＝－.
（2）由
（1）得ƒ＝sin（2×－）＝，
所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝＝＝.
因此cos
＝sinα
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
3三角函数的图象与性质
9．[2014·辽宁卷]将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
9．B [解析]由题可知，将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图像，令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数单调递增，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，可知当k＝0时，函数在区间上单调递增．
3．[2014·全国卷]设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（ ）
A．a>b>cB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
3．C [解析]因为b＝cos55°＝sin35°>sin33°，所以b＞a.因为cos35°<1，所以>1，所以>sin35°.又c＝tan35°＝>sin35°，所以c>b，所以c>b>a.
6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图1 1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图像大致为（ ）
图1 1
A B
C D
6．C [解析]根据三角函数的定义，点M（cosx，0），△OPM的面积为|sinxcosx|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f（x）＝|sinxcosx|＝|sin2x|，且当x＝时上述关系也成立，故函数f（x）的图像为选项C中的图像．
14．、[2014·新课标全国卷Ⅱ]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）的最大值为________．
14．1 [解析]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）＝sin[（x＋φ）＋φ]－2sinφcos（x＋φ）＝sin（x＋φ）cosφ－cos（x＋φ）sinφ＝sinx，故其最大值为1.
17．，，[2014·重庆卷]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
（1）求ω和φ的值；
（2）若f＝，求cos的值．
17．解：
（1）因为f（x）的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f（x）的图像关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因为－≤φ＜，
所以φ＝－.
（2）由
（1）得ƒ＝sin（2×－）＝，
所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝＝＝.
因此cos
＝sinα
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
4 函数
的图象与性质
3．[2014·四川卷]为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
3．A [解析]因为y＝sin（2x＋1）＝sin2，所以为得到函数y＝sin（2x＋1）的图像，只需要将y＝sin2x的图像向左平行移动个单位长度．
11．[2014·安徽卷]若将函数f（x）＝sin的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
11. [解析]方法一：
将f（x）＝sin的图像向右平移φ个单位，得到y＝sin的图像，由该函数的图像关于y轴对称，可知sin＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以当φ>0时，φmin＝.
方法二：
由f（x）＝sin的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y轴对称可知，－2φ＝＋kπ，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝.
14．[2014·北京卷]设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）．若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________．
14．π [解析]结合图像得＝－，即T＝π.
16．、、[2014·福建卷]已知函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）－.
（1）若0<α<，且sinα＝，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
16．解：
方法一：
（1）因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.
所以f（α）＝×－
＝.
（2）因为f（x）＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
方法二：
f（x）＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x
＝sin.
（1）因为0<α<，sinα＝，所以α＝，
从而f（α）＝sin＝sin＝.
（2）T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
7．、[2014·广东卷]若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
7．D [解析]本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．
如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．
17．、、、[2014·湖北卷]某实验室一天的温度（单位：
℃）随时间t（单位：
h）的变化近似满足函数关系：
f（t）＝10－cost－sint，t∈[0，24）．
（1）求实验室这一天的最大温差．
（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
17．解：
（1）因为f（t）＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f（t）在[0，24）上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
（2）依题意，当f（t）>11时，实验室需要降温．
由
（1）得f（t）＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此即10故在10时至18时实验室需要降温．
16．、[2014·江西卷]已知函数f（x）＝sin（x＋θ）＋acos（x＋2θ），其中a∈R，θ∈.
（1）当a＝，θ＝时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；
（2）若f＝0，f（π）＝1，求a，θ的值．
16．解：
（1）f（x）＝sin＋cos＝
（sinx＋cosx）－sinx＝cosx－sinx＝sin.
因为x∈[0，π]，所以－x∈，
故f（x）在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
（2）由得
又θ∈，知cosθ≠0，
所以
解得
12．、[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝sin，若存在f（x）的极值点x0满足x＋[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（ ）
A．（－∞，－6）∪（6，＋∞）
B．（－∞，－4）∪（4，＋∞）
C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
12．C [解析]函数f（x）的极值点满足＝＋kπ，即x＝m，k∈Z，且极值为±，问题等价于存在k0使之满足不等式m2＋34，解得m>2或m<－2，故m的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）．
16．，[2014·山东卷]已知向量a＝（m，cos2x），b＝（sin2x，n），函数f（x）＝a·b，且y＝f（x）的图像过点和点.
（1）求m，n的值；
（2）将y＝f（x）的图像向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图像，若y＝g（x）图像上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调递增区间．
16．解：
（1）由题意知，f（x）＝＝msin2x＋ncos2x.
因为y＝f（x）的图像过点和点，
所以
即
解得m＝，n＝1.
（2）由
（1）知f（x）＝sin2x＋cos2x＝2sin.
由题意知，g（x）＝f（x＋φ）＝2sin.
设y＝g（x）的图像上符合题意的最高点为（x0，2）．
由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．
将其代入y＝g（x）得，sin＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝.
因此，g（x）＝2sin＝2cos2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g（x）的单调递增区间为，k∈Z.
2．[2014·陕西卷]函数f（x）＝cos的最小正周期是（ ）
A.B．πC．2πD．4π
2．B [解析]已知函数y＝Acos（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的周期为T＝，故函数f（x）的最小正周期T＝＝π.
16．，，，[2014·四川卷]已知函数f（x）＝sin.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．
16．解：
（1）因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
（2）由已知，得sin＝cos（cos2α－sin2α），
所以sinαcos＋cosαsin＝（cos2α－sin2α），
即sinα＋cosα＝（cosα－sinα）2（sinα＋cosα）．
当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，
得α＝＋2kπ，k∈Z，
此时，cosα－sinα＝－.
当sinα＋cosα≠0时，（cosα－sinα）2＝.
由α是第二象限角，得cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－.
综上所述，cosα－sinα＝－或－.
15．、、[2014·天津卷]已知函数f（x）＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值．
15．解：
（1）由已知，有
f（x）＝cosx·－cos2x＋
＝sinx·cosx－cos2x＋
＝sin2x－（1＋cos2x）＋
＝sin2x－cos2x
＝sin，
所以f（x）的最小正周期T＝＝π.
（2）因为f（x）在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为－.
4．[2014·浙江卷]为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝cos3x的图像（ ）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
4．C [解析]y＝sin3x＋cos3x＝cos＝cos，所以将函数y＝cos3x的图像向右平移个单位可以得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，故选C.
17．，，[2014·重庆卷]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
（1）求ω和φ的值；
（2）若f＝，求cos的值．
17．解：
（1）因为f（x）的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f（x）的图像关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因为－≤φ＜，
所以φ＝－.
（2）由
（1）得ƒ＝sin（2×－）＝，
所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝＝＝.
因此cos
＝sinα
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
C5两角和与差的正弦、余弦、正切
14．、[2014·新课标全国卷Ⅱ]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）的最大值为________．
14．1 [解析]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）＝sin[（x＋φ）＋φ]－2sinφcos（x＋φ）＝sin（x＋φ）cosφ－cos（x＋φ）sinφ＝sinx，故其最大值为1.
16．、[2014·安徽卷]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
（1）求a的值；
（2）求sin的值．
16．解：
（1）因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由余弦定理得cosB＝＝，所以由正弦定理可得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2.
（2）由余弦定理得cosA＝＝＝
－.因为0故sin＝sinAcos＋cosAsin＝×＋×＝.
7．、[2014·广东卷]若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
7．D [解析]本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．
如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．
16．、[2014·广东卷]已知函数f（x）＝Asin，x∈R，且f＝.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）＋f（－θ）＝，θ∈，求f.
17．、、、[2014·湖北卷]某实验室一天的温度（单位：
℃）随时间t（单位：
h）的变化近似满足函数关系：
f（t）＝10－cost－sint，t∈[0，24）．
（1）求实验室这一天的最大温差．
（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
17．解：
（1）因为f（t）＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f（t）在[0，24）上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
（2）依题意，当f（t）>11时，实验室需要降温．
由
（1）得f（t）＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此即10故在10时至18时实验室需要降温．
17．、[2014·辽宁卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：
（1）a和c的值；
（2）cos（B－C）的值．
17．解：
（1）由·＝2得c·a·cosB＝2，
又cosB＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
（2）在△ABC中，sinB＝＝＝.
由正弦定理，得sinC＝sinB＝·＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cosC＝＝＝.
所以cos（B－C）＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.
17．[2014·全国卷]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acosC＝2ccosA，tanA＝，求B.
17．解：
由题设和正弦定理得
3sinAcosC＝2sinCcosA，
故3tanAcosC＝2sinC.
因为tanA＝，所以cosC＝2sinC，
所以tanC＝.
所以tanB＝tan[180°－（A＋C）]
＝－tan（A＋C）
＝
＝－1，
所以B＝135°.
8．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设α∈，β∈，且tanα＝，则（ ）
A．3α－β＝B．3α＋β＝
C．2α－β＝D．2α＋β＝
8．C [解析]tanα＝＝＝
＝＝tan，因为β∈，所以＋∈，又α∈且tanα＝tan，所以α＝，即2α－β＝.
13．，[2014·四川卷]如图1 3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：
sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
图1 3
13．60 [解析]过A点向地面作垂线，记垂足为D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝46m，∴AB＝＝＝50（m），
在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝50m，
由正弦定理得，BC＝＝60（m），
故河流的宽度BC约为60m.
16．，，，[2014·四川卷]已知函数f（x）＝sin.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．
16．解：
（1）因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
（2）由已知，得sin＝cos（cos2α－sin2α），
所以sinαcos＋cosαsin＝（cos2α－sin2α），
即sinα＋cosα＝（cosα－sinα）2（sinα＋cosα）．
当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，
得α＝＋2kπ，k∈Z，
此时，cosα－sinα＝－.
当sinα＋cosα≠0时，（cosα－sinα）2＝.
由α是第二象限角，得cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－.
综上所述，cosα－sinα＝－或－.
15．、、[2014·天津卷]已知函数f（x）＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值．
15．解：
（1）由已知，有
f（x）＝cosx·－cos2x＋
＝sinx·cosx－cos2x＋
＝sin2x－（1＋cos2x）＋
＝sin2x－cos2x
＝sin，
所以f（x）的最小正周期T＝＝π.
（2）因为f（x）在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为－.
10．，[2014·重庆卷]已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin（A－B＋C）＝sin（C－A－B）＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．bc（b＋c）>8B．ab（a＋b）>16
C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24
10．A [解析]因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－（A＋B），所以由已知等式可得sin2A＋sin（π－2B）＝sin[π－2（A＋B）]＋，即sin2A＋sin2B＝sin2（A＋B）＋，
所以sin[（A＋B）＋（A－B）]＋sin[（A＋B）－（A－B）]＝sin2（A＋B）＋，
所以2sin（A＋B）cos（A－B）＝2sin（A＋B）cos（A＋B）＋，
所以2sin（A＋B）[cos（A－B）－cos（A＋B）]＝，所以sinAsinBsinC＝.
由1≤S≤2，得1≤bcsinA≤2.由正弦定理得a＝2RsinA
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