《213实际问题与一元二次方程一》名校教学设计.docx

《213实际问题与一元二次方程一》名校教学设计.docx

《《213实际问题与一元二次方程一》名校教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《213实际问题与一元二次方程一》名校教学设计.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《213实际问题与一元二次方程一》名校教学设计

《实际问题与一元二次方程

（一）》教学设计

一、教学内容分析

本单元探究的几个问题，比以前出现的实际问题在分析数量关系方面更复杂些，问题情境与实际问题也更接近.

本节课以“探究”的形式讨论如何用一元二次方程解决实际问题.本节课的核心内容是根据实际问题情境列出一元二次方程并求解.教学过程中注重让学生感受一元二次方程与实际问题的密切联系以及模型思想，培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力.

“探究1”以流感问题为背景，讨论按一定的传播速度逐步传播的问题，这类问题在现实世界中有许多原型，例如细胞分裂、信息传播，疾病传染扩散，当传播速度为定值时，这类问题与等比数列有联系，其中探究讨论的两轮传播，用一元二次方程刻画.

“探究2”以成本下降为背景，讨论平均变化率的问题，这类问题在现实世界中有很多原型，如经济增长率、人口增长率等，本探究中讨论的是两个时间段的变化率，用一元二次方程描述.

通过学习本节课，学生可进一步经历列方程解应用题的步骤：

审、设、列、解、验、答.

二、学情分析

学生已经学习了用一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等知识解决实际问题，感受了方程模型的重要作用和应用价值，积累了一些利用方程解决实际问题的经验.而方程模型是丰富多彩的，一元二次方程是以前学过的方程知识的延续和深化，它可以在更高、更深层面上表达实际问题中含有未知数的数量关系，是一种应用更为广泛的数学模型.学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题，对发展学生运算能力、推理能力、模型思想和应用意识有重要的意义.

学习本节课之前学生刚刚学习了一元二次方程的解法，因此，在灵活选用恰当的方法解一元二次方程上还存在一定的欠缺，教学过程中要继续加强练习.学生对列方程解应用题的一般步骤已经很熟悉，因此，本节课适合采用自主探究、合作交流的方式学习.九年级学生具有丰富的想象力、强烈的好奇心，本节课从生活中的实际问题入手，容易激发他们的主观能动性.

三、教学目标

1.会根据具体问题（有一定速度的传播问题和平均增长率、下降率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解.体会方程是刻画现实世界某些问题中数量关系的有效数学模型.

2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.

3.进一步掌握列方程解应用题的步骤.

4.通过经历列一元二次方程解决实际问题的过程，体会数学的实用价值，提高学习兴趣.

●重点

列一元二次方程解实际问题（有一定速度的传播问题和平均增长率、降

低率问题）

●难点

发现问题中的数量关系.

四、评价设计

学习评价量表

标准

等级

能找出题目中的已知量和未知量，并能合理地设出未知数

A

找出能够表达实际问题全部含义的一个等量关系，然后列方程表达这个等量关系

B

会解方程，求出未知数的值；检验方程的根能否使得实际问题有意义，并能准确地答题

B

五、教学活动设计

教学环节

教学活动

设计意图

教师活动

学生活动

复习回顾

问题1之前我们已经学习了用一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等知识解决实际问题，感受了方程模型的重要作用和应用价值，积累了一些利用方程解决实际问题的经验，今天我们继续讨论如何利用一元二次方程分析解决实际问题你还记得列方程解应用题的关键步骤是什么吗？

在教师的提示下回答.

审：

审清题意，搞明白哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间存在怎样的数量关系；

设：

指设元，也就是设未知数，可以直接设未知数或间接设未知数，如果直接设比较难列方程可以间接设未知数；

列：

列方程是关键的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，然后列代数式表达这个等量关系；

解：

解方程，求出未知数的值；

验：

检验方程的根能否使得实际问题有意义；

答：

写出答案，一定遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则.

为学生创设一个回忆、思考的情境，同时为引入新课、研究一般结论做铺垫.

问题与情境

问题2固定速度传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析：

题中已知量和未知量分别是什么？

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后，共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮传染后共有人患了流感.（均用含x的代数式表示）

请学生完成该题的解答.

已知量：

有一人患了流感，两轮传染后共有121人患流感.

未知量：

每轮传染中平均一个人传染了x个人；

第一轮传染后，共有（1+x）人患了流感；

第二轮传染后共有[1+x+x（1+x）]人患了流感.

解：

设每轮传染中平均一个人传染了x个人.

根据题意，列方程得1+x+x（1+x）=121.

解得

=10，

=-12（不合题意，舍去）.

答：

每轮传染中平均一个人传染了10个人.

教师帮助学生分析问题，能帮助学生更好地理解题意，为后面解应用题奠定基础，同时也培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯，发展自主探究的能力.

举一反三

问题3某种电脑病毒传播得非常快，如果一台电脑被传染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

若病毒得不到控制，经过三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

请你先独立完成，然后和同学交流一下你的解答在学生解答的过程中，老师巡视，观察出现的错误以及遇到的困难，及时点拨，提醒学生注意解题的严谨性、规范性.

分析：

设平均一台电脑会感染x台，第一轮感染后会新增x台，第二轮感染后会新增（1+x）x台，第二轮感染后共有1+x+（1+x）x=

台电脑被感染病毒，三轮感染后总共有

+

x=

台电脑被感染

解设每轮传染中平均一台电脑感染了x台电脑.

根据题意，列方程得1+x+（1+x）x=81.

整理，得

=81.

解得

=8，

=-10（不合题意，舍去）.

所以，第三轮感染后，被感染的电脑总台数为

=

=729.

因为729>700，所以会超过700台.

答：

每轮传染中平均一台电脑感染8台电脑.经过三轮感染后，被感染的电脑超过700台.

以上练习的设计，主要是为了给学生创造一个知识迁移运用的机会，同时也能吸引和调动全班同学参与到积极动脑、各抒己见的活跃气氛中来.

问题与情境

问题4平均变化率问题两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？

分析：

容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元），乙种药品成本的年平均下降额为（6000—3600）÷2=1200（元）.显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是年平均下降额（元）不等于年平均下降率（百分数）.

请同学们先独立思考，然后小组交流.

乙种药品的年平均下降率是多少？

请比较两种药品成本的年平均下降率.

思考：

经过计算，你能得出什么结论？

成本下降额大的药品，它的成本下降率一定大吗？

应怎样全面地比较几个对象的变化状况？

总结：

如果a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数，请你总结出平均增长率的公式或平均下降率的公式.

解设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000

元，于是有5000

=3000.

解方程，得

≈0.225，

≈1.775（不合题意，舍掉）.即甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.

对于乙种药品，同理可得6000

=3600.

解方程，得

≈0.225，

≈1.75（不合题意，舍掉）.

即乙种药品成本的年平均下降率为22.5%.

所以两种药品成本的年平均下降率相等.

成本下降额和成本下降率是两个接近而不同的概念，前者是绝对变化量，单位是元；后者是相对变化量，是表示率的数字.

平均增长率的公式：

（x为平均增长率）；平均下降率的公式：

（x为平均下降率）.

这类问题在现实世界中有许多原型，例如经济增长率、人口增长率等.教学过程中让学生体会到数学来源于生活又服务于生活，通过这个问题，使学生认识到分析问题时应对变化额和变化率兼顾，这样才能全面地比较对象的变化情况.

举一反三

问题5某城市计划用两年的时间，将城市绿地面积从今年的144万平方米提高到225万平方米，则绿地面积平均每年的增长率是多少？

问题6某商场销售一种服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元.经市场调查发现：

如果每件服装降价1元，平均每天能多售出2件.国庆节期间，商场决定采取降价销售的措施，以达到减少库存、扩大销售量的目的如果销售这种服装每天盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？

解设平均每年增长率为x，根据题意可列方程为

=225.

整理，得

解得

=

，

=

其中

=

不合题意，应舍去.

答：

绿地面积平均每年增长率应为25%.

解设每件服装降价x元，则

（40-x）（20+2x）=1200解方程，得

=10，

=20因为要达到减少库存的目的，所以应取答：

每件服装应降价20元.

深化对所学内容的理解、内化研究问题的方法，提升学生总结概括反思的能力.

六、板书设计

实际问题与一元二次方程

（一）

复习列方程解应用题的步骤：

例1：

……

审：

已知量、未知量及它们的关系；分析：

设：

设未知数（直接设未知数或间接设未知数）；

列：

找表达应用题全部含义的一个等量关系；

解：

求出方程未知数的值；例2：

……

验：

方程的根能否使得实际问题有意义；分析：

答：

问啥答啥.

七、达标检测与作业

列方程解应用题

1.某种植物的主干长出若干数目的分支，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、分支和小分支的总数是91，每个分支长出多少小分支？

2.某工厂由于管理水平提高，生产成本逐年下降，原来每件产品的成本是1600元，两个月后，降至900元，则生产成本平均每月降低多少？

3.青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率.

4.某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元.以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该种植多少株？

5.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/

下降到5月份的12600元/

.

（1）请问：

4、5两个月份平均每个月降价的百分率是多少？

（参考数据：

≈0.95）

（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/

？

请说明理由

6.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？

八、教学反思

本节课抓住了培养方程模型思想的关键问题，通过设置恰当的问题，循序渐进地培养学生的审题能力和审题习惯，再由学生独立完成同类题，最后小组讨论.通过辨析研讨、总结提升等手段和途径，进一步激发学生的学习热情，培养他们动脑和思辨习惯.

本节课还重在使学生经历和体会用各种不同的方法寻找数量关系，突出建立方程模型的一般方法，强调了问题中的基本数量关系和相等关系.因此，本节课在培养学生分析问题的能力方面做得非常到位.

我们生活在一个丰富多彩的世界，其中大量问题涉及数量关系的分析，方程是刻画实际问题中数量关系的一种重要的数学模型.因此，我们的教学要让学生通过探究活动，经历从实际问题抽象岀方程模型的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一种有效的数学模型.

设未知数、列方程是用数学模型表示和解决问题的关键步骤.而正确地理解问题情境，分析其中的数量关系是设未知数、列方程的基础，因此在具体教学时，教师需要从多角度引导学生思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找出数量关系，抓住培养方程模型思想的关键问题，引导学生在独立思考、自主探究和合作交流的前提下，让他们经历“问题情境—建立模型—求解验证（问题解决）”的过程，体现模型思想的基本要求.经历类比、归纳、创新的过程，有利于学生在活动过程中理解、掌握有关知识和技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质，更有利于学生主动去发现、提出、分析和解决问题，培养创新意识.