知识点等腰三角形与等边三角形中考数学试题分类汇编可供参考.docx
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知识点等腰三角形与等边三角形中考数学试题分类汇编可供参考
知识点;等腰三角形与等边三角形（2019中考数学试题分类汇编）
1知识点29等腰三角形与等边三角形
一、选择题
1.（2018四川绵阳，11，3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=2，AD=6，则两个三角形重叠部分的面积为A.2B.23-C.13-D.33-
【答案】D
【解析】解：
过A点作AF⊥CE于点F，设AB与CD的交点为M，过M点作MN⊥AC于点N，如图所示.∵△ECD为等腰直角三角形，
∴∠E=45°.
∵AE=2，AD=6，
∴AF=EF=1,CE=CD=2DE=31+，
∴CF=3,
∴AC=22CFAF+=2，∠ACF=30°
∴∠ACD=60°.
设MN=x，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
2∴AN=MN=x，CN=3
MN=33x，∴AC=AN+CN=x+
33x=2，解得x=3-3，
∴S△ACM=2
1×AC×MN=3-3.故选
D.
【知识点】等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积计算
2.（2018山东临沂，11，3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E.AD＝3，BE＝1.则DE的长是（）
第11题图A．
32B
．2C
.D【答案】B
3【解析】∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC＋∠DCA=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＋∠DCA=90°，∴∠DCA=∠ECB，∵AC=CB，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE=3，CD=BE=1，∴DE=CE－CD=3－1=2，故选B.
【知识点】等腰直角三角形全等三角形的判定和性质
3.（2018山东省淄博市，11，4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为
（A）4（B）6（C）
（D）8
（第11题图）
B
【答案】B【思路分析】由已知MN∥BC和CM平分∠ACB可证MN=NC，∠ANM=∠ACB，∠NMC=∠MCB，再由MN平分∠AMC可得∠ANM=∠ACB，从而得到∠ANM=2∠AMN，可得∠AMN=30°，再利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出MN，进而得到NC，求得AC，从而求出BC.
【解题过程】∵MN∥BC，∴∠ANM=∠ACB，∠NMC=∠MCB，∵CM平分∠ACB，∴∠MCB=∠MCN=
12∠ACB，∴∠NMC=∠NCM，∴MN=NC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=12∠AMC，∴∠AMN=12∠ACB=12
∠ANM，∵∠A=90°，∴∠AMN=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴NC=2，∴AC=3，∵∠B=∠AMN=30°，∴BC=2AC=6，故选B.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形判定；解直角三角形
4.（2018浙江湖州，5，3）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠
ACE的度数是（）
A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
【答案】B
【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC．∵∠CAD＝20°，∴∠ACD＝70°．∵CE是∠ABC的平分线，∴∠ACE＝35°．故选B.
【知识点】等腰三角形，角平分线，中线
1.（2018福建A卷，5，4）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）
A．15°B.30°C.45°D.60°
【答案】A
【解析】解：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ECA=-60°-45°=15°.
【知识点】等边三角形性质，三线合一
2.（2018福建B卷，5，4）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）
A．15°B.30°C.45°D.60°
【答案】A
【解析】解：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ECA=-60°-45°=15°.
【知识点】等边三角形性质，三线合一
3.（2018四川雅安，10题，3分）已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，
B为圆心，BC
4
为半径画弧，交AC与点D，则线段AD的长为
第10题图
A.
【答案】C
【解析】在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，所以∠B=72°，∠A=36°，因为BC=BD，所以∠BDC=72°，所以∠ABD=36°，
所以
C
【知识点】等腰三角形
4.（2018四川凉山州，4，4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以A、B为圆心，大于1
2
AB长为
半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于D，连结AD．若AD＝AC，∠B＝25°，则∠C=（）
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
【答案】C
【解析】由作图可知MN为线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∠DAB=∠B＝25°,∵∠CDA为△ABD的一个外角，∴∠CDA=∠DAB+∠B＝50°.∵AD＝AC，∴∠C=∠CDA=50°.故选择C.
【知识点】尺规作图——线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质.
55.（2018广西玉林，9题，3分）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是
A.平行
B.相交
C.垂直
D.平行、相交或垂直
第9题图
【答案】A
【解析】由已知得△AOB为等边三角形．所以∠O=∠OAB=60°．
易证△AOC≌△ABD，得∠ABD=60°．所以∠OAB=∠ABD，所以BD∥OA．
故选A.
【知识点】等边三角形的判定；全等三角形的判定；平行线的判定
二、填空题
1.（2018四川省成都市，11，4）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．
【答案】80°
【解析】解：
∵等腰三角形的一个底角为50°，且两个底角相等，∴顶角为180°－2×50°＝80°．
【知识点】等腰三角形性质，三角形的内角和
1.（2018贵州遵义，14题，4分）如图，△ABC中，点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点，若∠CAE=16°，则∠B为_______度
第14题图
【答案】37
【解析】因为AD=AC，E为CD的中点，所以∠DAC=2∠CAE=32°，所以∠ADC=1
2
（180°-∠DAC）=74°，因为BD=AD，
所以∠B=1
2
∠ADC=37°
【知识点】等腰三角形三线合一，外角
6
7
2.（2018湖南省湘潭市，12，3分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠
BAD________.
【答案】30°
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵D是BC中点，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°.
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质
3.（2018江苏淮安，13，3）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于
.
【答案】65°
【解析】分析：
本题考查等腰三角形性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质可得结果.
解：
由题意得，等腰三角形的底角＝（180°-顶角）÷2＝（180°-50°）÷2＝65°.
故答案为65°
【知识点】等腰三角形；等腰三角形性质；三角形内角和定理
4.（2018湖南张家界，12，3分）如图，将ABC∆绕点A逆时针旋转︒150，得到ADE∆，这时点D
CB、、恰好在同一直线上，则B∠的度数为______．
【答案】15
【解析】解：
∵ABC∆绕点A逆时针旋转︒150，得到ADE∆，
∴∠BAD=150°，ABC∆≌ADE∆.∴AB=AD.
8∴△BAD是等腰三角形.∴∠B=∠ADB=1°-2
BAD（180∠）=15°.
【知识点】旋转的性质，等腰三角形的性质.
三、解答题
1.（2018浙江绍兴，22，12分）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1等腰三角形ABC中，110A∠=，求B∠的度数.（答案：
35）例2等腰三角形ABC中，40A∠=，求B∠的度数.（答案：
40或70或100）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式等腰三角形ABC中，80A∠=，求B∠的度数.
（1）请你解答以上的变式题.
（2）解
（1）后，小敏发现，A∠的度数不同，得到B∠的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，设Ax∠=，当B∠有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围.
【思路分析】
（1）可分当A∠为顶角、当A∠为底角两种情况讨论，当A∠为顶角时，B∠只能为底角；当A∠为底角时，B∠既可以为顶角，也可以为底角所以B∠的度数有三种情况。
（2）分两种情况：
当90180x≤<时，A∠只能为顶角，B∠的度数只有一个；当090x<<时，A∠既可以是顶角，也可以是底角，当A∠是底角时，B∠既可以为底角，也可以为顶角，也就是B∠有三个不同的度数，
但是当A∠=60°时，B∠只能等于60°，
所以当B∠有三个不同的度数时，x的取值范围是090x<<且60x≠。
【解题过程】22.解：
（1）当A∠为顶角，则50B∠=，
当A∠为底角，若B∠为顶角，则20B∠=，
若B∠为底角，则80B∠=，
∴50B∠=或20或80.
（2）分两种情况：
9①当90180x≤<时，A∠只能为顶角，
∴B∠的度数只有一个.
②当090x<<时，
若A∠为顶角，则1802xB-⎛⎫∠=⎪⎝
⎭
，若A∠为底角，则Bx∠=或（1802）Bx∠=-，当18018022xx-≠-且1802
xx-≠且1802xx-≠，即60x≠时，B∠有三个不同的度数.
综上①②，当090x<<且60x≠，B∠有三个不同的度数.
【知识点】等腰三角形的性质
2.（2018宁波市，23题，10分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点（点D与A，B不重
合,连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F连接BE.
（1）求证:
△ACD≌△BCE;
（2）当AD=BF时,求∠BEF的度数.
A
【思路分析】
【解题过程】解：
（1）∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE=90°,CD=CE，
又∵∠ACB=90°，
10∴∠ACB=∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
∵
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=45°
∵△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°
又:
AD=BF∠BEF=∠BFE==67.5°
【知识点】全等三角形的判定、等腰三角形的性质1.（2018武汉市，18，8分）如图，点E、F在BC上，BE＝
CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：
GE＝GF
.
【思路分析】如图，由已知条件证得△ABF≌△DCE，得∠1＝∠2，再根据等腰三角形的判定定理得GE＝GF.
【解题过程】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
ABDCBCBFCE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABF≌△DCE（SASA），
∴∠1＝∠2，
11∴GE＝GF.
G
D
C
FEBA2
1
第18题答图
【知识点】全等三角形的判定全等三角形的性质等腰三角形的判定
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