相交线和平行线专题知识点 常考题型 重难点题型含详细答案.docx
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相交线和平行线专题知识点常考题型重难点题型含详细答案
相交线和平行线专题知识点+常考题型+重难点题型
（含详细答案）
一、目录
二、基础知识点
1.相交线
对顶角：
两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点而没有公共边的两个角。
a.有公共顶点；
b.一个角的两条边是另一个角两条边的方向延长线。
对顶角相等（注：
对顶角不仅有大小关系，还有位置关系）
邻补角：
两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角
a.两个角相加为180°；
b.有一条公共边。
即同一条直线上的两个角，角度和为180°（有位置和大小关系）
1.下列说法正确的有：
a.有公共顶点的两个角是对顶角；
b.对顶角的邻补角相等；
c.互为邻补角的两个角的角平分线之间所夹的两个锐角互余；
d.两条直线相交所得的四个角中的任意两个角，不是邻补角就是对顶角；
e.两点的连线中，线段最短
答案：
b、c、d、e
2.如图，直线a、b、c相交于点O，则∠1的邻补角有个。
答案：
2个
3.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠2：
∠1=8:
1，试求∠AOC的度数。
答案：
∵OE平分∠BOD
∴∠1=∠DOE
∵∠2：
∠1=8:
1
又∵∠2+∠1+∠DOE=180°
∴∠1=
=18°
∴∠AOC=∠1+∠DOE=36°
4.如图，AC为一条直线，O为AC上一点，OB是过O点的一条射线，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC。
（1）当∠AOB=120°时，求∠DOE的度数；
（2）当OB绕点O旋转时，∠DOE的度数是否改变，问什么？
答案：
（1）∵∠AOB=120°
∴∠BOC=60°
∵OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线
∴∠AOD=∠DOB=60°，∠BOE=∠EOC=30°
∴∠DOE=90°
（2）不变
∵∠DOB=
∠AOB，∠BOE=
∠EOC
又∵∠AOB+∠COE=180°
∴∠DOB+∠BOE=
（∠AOB+∠EOC）=90°
5.如图，点O在直线AB上，OC、OD是以O为端点的两条射线，若∠BOC比∠COD的3倍还大10°，∠AOC比它的邻补角的2倍还小15°，求∠COD的大小。
答案：
∵∠AOC比∠BOC的2倍小15°，
设∠BOC=x°，则∠AOC=（2x－15）°
∴x+（2x－15）=180，解得：
x=65°
∵∠BOC比∠COD的3倍还大10°
设∠COD=y°，则∠COB=（3y+10）°
∴3y+10=65，解得：
y=25°
∴∠COD=25°
2.垂线
垂线：
当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。
（四个角都为直角）
垂线的性质：
在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直
垂线段：
垂线段最短
1.下列语句中，正确的有：
A．一条直线的垂线只有一条
B．空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两直线相交，则交点叫作垂足
D．相互垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角
答案：
A错误，仅在平面内成立
B错误，仅在平面内成立
C错误，两直线垂直，交点叫垂足
D正确
2.下列说法正确的有：
a.相等的角是对顶角；
b.平面内，过直线外一点作已知直线的垂线只有一条，但过直线上一点作已知直线的垂线可能不止一条；
c.两点确定一条直线；
d.邻补角的和是180°；
e.两条直线相交，只有一个交点。
答案：
c、d、e
3.如图，直线AB、CD相较于点O，OE⊥AB于O，OF平分∠AOC，且∠EOC=0.4∠AOC，求∠DOF的度数。
答案：
∵∠EOC=0.4∠AOC
∴∠EOC：
∠AOC=2:
3
∵OE⊥AB
∴∠AOE=90°
∴∠EOC=60°
∴∠COB=30°=∠AOD
∴∠AOC=150°
∴∠AOF=75°
∴∠DOF=∠AOD+∠AOF=105°
4.如图，一辆车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄。
（1）设汽车行驶到公路AB上的P点时，距离M村最近，行驶到Q位置时，距离N村最近。
请在公路上画出P、Q的位置，并说出你的做法；
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段时距离M、N村越来越近？
在哪一段路上距离N村越来越近，而距离M村越来越远？
答案：
（1）作图如下：
理由：
点到直线的垂线为最短距离
（2）离M、N村越来越近的线段为：
AP
离N村越来越近，而离M村越来越远的线段为：
PQ
3.同位角、内错角、同旁内角
同位角：
两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（两个角分别在两条直线的同一方向，并在第三条直线同一侧）
内错角：
在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的角（位置完全错开的角）
同旁内角：
在两条直线之内，并且在第三条直线同侧的一对角
注：
三种角仅有位置关系，无大小关系
1.如下图，三条直线AB，CD，EF两两相交，这四组角分别是什么关系：
A.∠1与∠4B.∠2与∠3
C.∠2与∠4D.∠1与∠2
答案：
A：
同位角
B：
内错角
C：
同旁内角
D：
邻补角
2..如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠B中，同位角是：
，内错角是：
，同旁内角是：
。
答案：
同位角：
∠1与∠B；∠4与∠B
内错角：
∠2与∠5；∠3与∠4
同旁内角：
∠2与∠4；∠3与∠5；∠3与∠B；∠B与∠5
4.平行线
平行线：
在同一平面内，不相交的两条直线（同一平面内；不相交）
平行线公理：
同一平面内，经过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行（与垂直类似）
推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。
1.下列说法中中确的有：
a.在同一平面内，两条直线不相交就平行，平行就不相交
b.在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：
垂直，相交与平行
c.同一平面内，两条线段不相交，就平行
d.两条直线要么相交，要么相互平行
答案：
a正确
b错误，垂直是相交的一种特殊情况
c错误，线段不能向两边延伸
d错误，仅在同一平面内成立
2.对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下面五个论断：
（1）a∥b；
（2）b∥c；
（3）a⊥b；（4）a∥c；
（5）a⊥c。
请以其中2个论断为条件，一个论断为结论，组成一个正确的结论。
答案：
方法一：
条件
（1）
（2），结论（4）
方法二：
条件
（1）（4），结论
（2）
方法三：
条件
（2）（3），结论（5）
方法四：
条件
（2）（4），结论
（1）
方法五：
条件
（2）（5），结论（3）
方法六：
条件（3）（4），结论（5）
方法其：
条件（3）（5），结论
（1）
5.平行线的判定与性质
平行线的性质及判定方法
a.同位角相等
b.内错角相等
c.同旁内角互补
d.两条直线都垂直同一直线
e．传递性：
若a∥b，且b∥c，则a∥c
1.如图，完成下列填空：
（1）∵∠A=∠BEF，∴∥，理由是
（2）∵∠ADE=∠DEF，∴∥，理由是
（3）∵∠EFB=，∴EF∥AC，理由是
（4）∵∠EFB=，∴BC∥ED，理由是
（5）∵∠EFC+∠C=180°，∴∥，理由是
答案：
（1）EF∥AC，理由：
同位角相等，两直线平行
（2）AC∥EF，理由：
内错角相等，两直线平行
（3）∠EFB=∠ACB，理由：
同位角相等，两直线平行
（4）∠EFB=∠DEF，理由：
内错角相等，两直线平行
（5）EF∥AC，理由同旁内角互补，两直线平行
2.如图，已知AB∥CD，点O是直线AB上一点，且OE平分∠AOD，OE⊥OF，当∠D=46°时，求∠BOF的度数。
答案：
∵∠D=46°，CD∥AB
∴∠AOD=134°，∠DOB=46°
∵OE平分∠AOD
∴∠EOD=67°
∵EO⊥OF
∴∠DOF=23°
∴∠BOF=23°
3.如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=25°，那么∠BAF为多少度是，AE与BD平行。
答案：
∵∠ADB=25°，四边形ABCD为矩形
∴∠ABD=65°
∵AE∥BD
∴∠EAB=115°
∵折叠后有△AEF
∴∠BAF=∠EAF=57.5°
4.如果一个角的两条边分别与另一个角的两条边平行，且其中一个角为40°，求另一个角。
（多解）
答案：
第一种情况如图：
∴另一个角为40°
第二种情况如图：
∴另一个角为140°
三、重难点题型
1.三线八角问题
方法：
在证明平行问题中，常利用平行相关性质，将特定角转换为其他角来求解问题
1.如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠BAD=∠EFG，求证：
AB∥GF
答案：
∵AD⊥BC，EF⊥BC
∴AD∥EF
∵∠BAD=∠EFG，∠BAD+∠ABD=90°
∴∠ABD+∠EFG=90°
∵∠EFD=90°
∴∠ABD+∠DEF=180°
∴AB∥GF
2.如图，已知FH⊥AB，CD⊥AB，∠HFB=∠EDC。
证明：
∠AED=∠ACB
答案：
证明：
∠AED=∠ACB
∵FH⊥AB，CD⊥AB
∴FH∥CD
∴∠HFB=∠DCF
∵∠HFB=∠EDC
∴∠EDC=∠DCF
∴ED∥BC
∴∠AED=∠ACB
2.添加平行线
方法：
“M”型图形，添加平行线辅助线
1.如图，AB∥ED，判断∠ABC、∠BCD、∠CDE之间的关系。
答案：
如下图，过点C作FG∥AB
∵AB∥ED
∴AB∥FG∥ED
∴∠ABC=∠BCG，∠GCD=∠CDE
∴∠ABC+∠EDC=∠BCD
2.已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相较于点E、F。
（1）如图1，当点P在EF上，∠A=40°，∠APC=100°时，求∠C。
（2）如图2，求证：
∠APQ+∠PQC=∠A+∠C=180°
（3）如图3，∠APM=2∠MPQ，∠CQM=2∠MQP，请写出∠PMQ，∠A与∠C的数量关系，并说明理由。
答案：
（1）同上一题
∴∠APC=∠A+∠C
∴∠C=100°－40°=60°
（2）如图，过点P做GH∥AB，过点Q做IJ∥AB
∵∠A=∠APG，∠C=∠IQC
又∵GH∥IJ
∴∠GPQ+∠PQI=180°
∴∠APQ+∠PQC=∠A+∠C=180°
（3）如图，过点P做GH∥AB，过点M做IJ∥AB，过点Q做KL∥AB
设∠A=x，∠C=y，∠PIJ=z，∠JMQ=a
则∠APG=∠A=x，∠PIJ=∠GPI=z，
∠JMQ=∠MQK=a，∠C=∠KQC=y
∴∠APM=x+z，∠CQM=a+y
∵∠APM=2∠MPQ，∠CQM=2∠MQP
∴∠MPQ=
（x+z），∠MQP=
（a+y）
在△PMQ中∠PMQ+∠MPQ+∠PQM=180°
∴
（x+z）+
（a+y）+（a+z）=180°
∴x+z+a+y+2a+2z=360°，3（a+z）+x+y=360°
∴3∠PMQ+∠A+∠C=360°
3.平行线间距离相等
方法：
两条平行线之间，距离相等。
故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。
在解此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。
1.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，连接AC，BD相交于点O，图中有几对面积相等的三角形？
答案：
；
2.如图，已知点A、D分别是直线a上的两点，B，C为直线b上两点，且a∥b。
若S△ABC=12，求△DBC的面积。
答案：
∵a∥b
∴
=12
3.如图，直线CF与平行四边形ABCD的边AB交于点E，与DA的延长线交于点F，若S△ADE=1，求S△BEF。
答案：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥CB，CD∥AB
∴S△ADE=S△ACE=1
又∵S△ACE+S△CBE=S△CBE+S△BEF
∴S△ACE=S△BEF=1
4.面积问题
方法：
在平行线处构造三角形，面积相等
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD：
DB=m，求证：
AE：
EC=m。
（线交两平行线，成比例）
答案：
如下图，连接CD、EB
∵DE∥BC
∴S△BCD=S△BCE
∵S△ABC=S△ADC+S△DCB=S△AEB+S△EBC
∴S△ADC=S△AEB
又∵S△ADC：
S△BDC=m
∴S△AEB：
S△BEC=m
∴AE：
EC=m
2.如图，在△ABC中，D、E是BC上两点，DN∥AB，交AE于点N，EM∥AC，交AD于点M，若MN∥BC，求证：
BD=CE。
答案：
如下图，连接BN，MC
∵EM∥AC，MN∥BC
∴S△DNB=S△DNA，S△MEC=S△MEA，
∴S△MEA=S△AMN+S△MNE，S△DNA=S△AMN+S△MND又∵S△MND=S△MNE
∴S△DBN=S△ECM
∴BD=EC
5.直线平分面
方法：
归纳规律。
交点个数会因平行线的条数与相交线的条数发生变化。
1.平面上10条直线最多能把平面分成多少部分？
答案：
2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56部分
2.平面上9条直线，其中3条是平行的。
问：
最多能把平面分成多少？
答案：
4+4+5+6+7+8+9=43部分
3.平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，怎样安排才能办到？
答案：
如下图所示
6.运用平移性质解题
方法：
在解平移类的问题时，关键点是抓住“一变两不变”，“一变”是位置的变化，“两不变”是形状和大小的不变，即对应角、对应边是不变的。
1.如图所示是部分重叠的两个直角三角形，将Rt△ABC沿BC方向平移得到△DEF。
如果AB=8，BE=4，DH=3，则图中阴影部分的面积为：
答案：
例2.如图，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽为2m的道路，余下的部分种植花草。
求种植花草部分的面积。
答案：
将图形平行得下图
则道路面积：
S=2×22×50－2×2=140m2
则花草面积为：
50×22－140=960m2
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