学年同步备课套餐之高一物理人教浙江专版必修2讲义第七章 5.docx

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学年同步备课套餐之高一物理人教浙江专版必修2讲义第七章5

5　探究弹性势能的表达式

学习目标

1.知道探究弹簧弹性势能表达式的思路．

2．理解弹性势能的概念，会定性分析决定弹簧弹性势能大小的相关因素．

3．体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法．

4．体会求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方法.

考试要求

必考

加试

b

b

一、弹性势能

1．定义：

发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．

2．弹簧的弹性势能：

弹簧的长度为原长时，弹性势能为0，弹簧被拉长或被压缩后，就具有了弹性势能．

二、探究弹性势能的表达式

1．猜想

（1）弹性势能与弹簧被拉伸的长度有关，同一个弹簧，拉伸的长度越大，弹簧的弹性势能也越大．

（2）弹性势能与弹簧的劲度系数有关，在拉伸长度l相同时，劲度系数k越大，弹性势能越大．

2．探究思路：

弹力做功与弹性势能变化的关系同重力做功与重力势能的变化关系相似，故通过探究弹力做功得到弹性势能的表达式．

3．弹力做功的计算：

把拉伸弹簧的过程分为很多小段，拉力在每一小段可以认为是恒力，它在各段做功之和可以代表拉力在整个过程做的功．

[即学即用]　判断下列说法的正误．

（1）不同弹簧发生相同的形变时，弹力做功相同．（×）

（2）同一弹簧长度不同时，弹性势能一定不同．（×）

（3）发生弹性形变的物体都具有弹性势能．（√）

（4）弹性势能与弹簧的形变量和劲度系数有关．（√）

（5）弹簧被压缩时，弹性势能为负；弹簧被拉伸时，弹性势能为正．（×）

一、探究弹性势能的表达式

[导学探究]

1.如图1所示，在光滑水平面上用物块向左压缩弹簧一定距离后，把物块静止释放，我们多做几次实验发现，同一根弹簧，压缩的长度越大，物体被弹开的速度越大．不同弹簧，在压缩量相同时，劲度系数越大，物体被弹开的速度越大．

图1

（1）由此我们猜测，弹簧的弹性势能可能与哪些因素有关？

（2）我们在研究重力势能的时候，是从分析重力做功入手的，由此你得到什么启发？

答案　

（1）与劲度系数和形变量有关

（2）可以通过探究弹力做功来研究弹性势能．

2.如图2所示，弹簧处于原长时，其右端位于A点．现将弹簧由A点缓慢拉到B点，使其伸长Δl（仍处于弹性限度内）：

图2

（1）在从A拉到B的过程中弹簧的弹性势能如何变化？

弹性势能与拉力做的功有什么关系？

（2）拉力F是恒力吗？

怎样计算拉力的功？

（3）作出F－Δl图象并类比v－t图象中面积的含义，思考F－Δl图象中“面积”有何物理意义？

当Δl＝x时，其表达式是怎样的？

答案　

（1）弹簧的弹性势能变大．拉力做的功越多，弹簧储存的弹性势能越大且拉力做的功等于弹簧的弹性势能．

（2）拉力F不是恒力，故不能用W＝FΔl计算拉力的功．若将从A到B的过程分成很多小段Δl1、Δl2、Δl3…，在各个小段上拉力可近似认为是不变的．各小段上拉力做的功分别是F1Δl1、F2Δl2、F3Δl3…，拉力在整个过程中做的功W＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋….

（3）根据胡克定律，F－Δl图象是一条过原点的倾斜直线，如图．阴影部分面积代表拉力做的功即弹性势能，当Δl＝x时，Ep＝

kx2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量．

[知识深化]

1．探究思路及方法

（1）猜想：

弹性势能与弹簧的劲度系数和形变量有关．

（2）探究思路：

弹性势能的变化量与弹力做功相等．

2．弹性势能的推导

根据胡克定律F＝kx，作出弹力F与弹簧伸长量x关系的F－x图线，根据W＝Fx知，图线与横轴所围的面积应等于F所做的功，即W＝

＝

kx2，所以Ep＝

kx2.

3．对弹性势能的理解

（1）产生原因：

物体发生了形变，而且物体各部分间有弹力的作用.

（2）大小的影响因素：

弹簧的劲度系数和形变量．

例1

　关于弹性势能，下列说法中正确的是（　　）

A．只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其他物体发生弹性形变时是不会有弹性势能的

B．弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能

C．在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大

D．火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小

答案　C

解析　所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，A错；弹簧伸长和压缩时都具有弹性势能，B错；在弹性限度范围内，同一弹簧形变量较大，弹性势能就越大，C对；火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大，所以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大，D错．

1．弹性势能的系统性：

弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性．

2．弹性势能的相对性：

弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零．

注意：

对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时，弹簧的弹性势能是相同的．

二、弹力做功与弹性势能变化的关系

[导学探究]　如图3所示，物体与弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处由静止释放，物体会由A向A′运动，则：

图3

（1）物体由A向O运动的过程中，弹力做什么功？

弹性势能如何变化？

（2）物体由O向A′运动的过程中，弹力做什么功？

弹性势能如何变化？

答案　

（1）正功　减少　

（2）负功　增加

[知识深化]

1．弹力做功与弹性势能变化的关系

（1）关系：

弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，并且弹力做多少功，弹性势能就变化多少．

（2）表达式：

W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2.

2．使用范围：

在弹簧的弹性限度内．

注意：

弹力做功和重力做功一样，也和路径无关，弹性势能的变化只与弹力做功有关．

例2

　如图4所示，处于自然长度的轻质弹簧一端与墙接触，另一端与置于光滑地面上的物体接触，现在物体上施加一水平推力F，使物体缓慢压缩弹簧，当推力F做功100J时，弹簧的弹力做功________J，以弹簧处于自然长度时的弹性势能为零，则弹簧的弹性势能为________J.

图4

答案　－100　100

解析　在物体缓慢压缩弹簧的过程中，推力F始终与弹簧弹力等大反向，所以推力F做的功等于克服弹簧弹力所做的功，即W弹＝－WF＝－100J．由弹力做功与弹性势能的变化关系知，弹性势能增加了100J.

针对训练　如图5所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置（即重力和弹簧弹力大小相等的位置），今用手向

下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，则这两次弹力做功的关系为（　　）

图5

A．W1

C．W2＝2W1D．W1＝W2

答案　D

解析　弹力做功与路径无关，只与初、末位置有关，两次初、末位置相同，故W1＝W2，D正确．

1．（对弹性势能的理解）关于弹性势能，下列说法中正确的是（　　）

A．弹簧处于自然状态时其本身仍具有弹性势能

B．弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能

C．在弹性限度内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大

D．火车车厢底下的弹簧比自行车座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小

答案　C

解析　弹簧处于自然状态即不发生弹性形变时，其弹性势能为零，A错；弹簧伸长和压缩时都具有弹性势能，B错；在弹性限度内，同一弹簧形变量越大，弹性势能就越大，C正确；火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大，所以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大，D错．

2．（弹力做功与弹性势能变化的关系）如图6所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中，以下说法正确的是（　　）

图6

A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比

B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功相等

C．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加

D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加

答案　D

解析　弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故选项A、B错误；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项C错误，选项D正确．

3．（重力势能、弹性势能的变化分析）如图7所示是蹦床运动员在空中表演的情景．在运动员从最低点开始反弹至即将与蹦床分离的过程中，蹦床的弹性势能和运动的重力势能变化情况分别是（　　）

图7

A．弹性势能减少，重力势能增加

B．弹性势能减少，重力势能减少

C．弹性势能增加，重力势能增加

D．弹性势能增加，重力势能减少

答案　A

解析　根据功能关系知，重力做负功，重力势能增加，蹦床弹力对运动员做正功，弹性势能减少，故A项正确．

课时作业

一、单选题

1．如图1所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是（　　）

图1

A．如图甲，撑杆跳高的运动员上升的过程中，杆的弹性势能

B．如图乙，人拉长弹簧的过程中，弹簧的弹性势能

C．如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能

D．如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能

答案　B

解析　选项A、C、D中物体的形变量均减小，所以弹性势能均减少，B中物体的形变量增大，所以弹性势能增加，故B正确．

2．如图2所示，将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是（　　）

图2

A．弹力变大，弹性势能变小

B．弹力变小，弹性势能变大

C．弹力和弹性势能都变小

D．弹力和弹性势能都变大

答案　D

解析　将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的伸长量变大，弹簧的弹力变大，弹性势能变大．故A、B、C错误，D正确．

3．某同学在桌面上用一个小钢球和一个弹簧来探究弹簧的弹性势能．弹簧一端固定（如图3所示），另一端用钢球压缩弹簧后释放，钢球被弹出后落地．当他发现弹簧压缩得越多，钢球被弹出得越远，由此能得出的结论应是（　　）

图3

A．弹性势能与形变量有关，形变量越大，弹性势能越大

B．弹性势能与形变量有关，形变量越大，弹性势能越小

C．弹性势能与劲度系数有关，劲度系数越大，弹性势能越大

D．弹性势能与劲度系数有关，劲度系数越大，弹性势能越小

答案　A

4．如图4所示，轻质弹簧下悬挂一个小球，手掌托小球使之缓慢上移，弹簧恢复原长时迅速撤去手掌使小球开始下落．不计空气阻力，取弹簧处于原长时的弹性势能为零．撤去手掌后，下列说法正确的是（　　）

图4

A．刚撤去手掌瞬间，弹簧弹力等于小球重力

B．小球速度最大时，弹簧的弹性势能为零

C．弹簧的弹性势能最大时，小球速度为零

D．小球运动到最高点时，弹簧的弹性势能最大

答案　C

解析　刚撤去手掌时，小球处于运动最高点，弹簧处于原长，弹力为零，弹性势能为零，所以A、D错误；当小球速度最大时，加速度等于零，即弹力等于重力，弹簧弹性势能不为零，所以B错误；当下落到最低点时弹性势能最大，小球速度为零，故C正确．

5．如图5所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动．在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是（　　）

图5

A．弹簧的弹性势能逐渐减小

B．弹簧的弹性势能逐渐增大

C．弹簧的弹性势能先增大后减小

D．弹簧的弹性势能先减小后增大

答案　D

解析　由物体处于静止状态可知，弹簧处于被压缩状态，撤去F后物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大．

6.一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图6所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则（　　）

图6

A．h越大，弹簧在A点的压缩量越大

B．弹簧在A点的压缩量与h无关

C．h越大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能越大

D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大

答案　B

解析　最终小球静止在A点时，通过受力分析，小球受自身重力mg与弹簧的弹力kx大小相等，由mg＝kx得，弹簧在A点的压缩量x与h无关，弹簧的弹性势能与h无关．

7.如图7所示，质量相等的两木块中间连有一弹簧，今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面．开始时物体A静止在弹簧上面．设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2的大小关系及弹性势能的变化ΔEp，下列说法中正确的是（　　）

图7

A．Ep1＝Ep2B．Ep1＞Ep2

C．ΔEp＞0D．ΔEp＜0

答案　A

解析　开始时弹簧形变量为x1，有kx1＝mg.设B刚要离开地面时弹簧形变量为x2，有kx2＝mg.由于x1＝x2所以Ep1＝Ep2，ΔEp＝0，A对．

8.如图8所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1＞h2，小球接触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是（　　）

图8

A．ΔE1＝ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2

B．ΔE1＞ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2

C．ΔE1＝ΔE2，ΔEp1＞ΔEp2

D．ΔE1＞ΔE2，ΔEp1＞ΔEp2

答案　B

解析　小球速度最大的条件是弹簧弹力等于小球重力，两种情况下，对应于同一位置，故ΔEp1＝ΔEp2，由于h1＞h2，所以ΔE1＞ΔE2.B正确．

9．如图9所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（　　）

图9

A．重力做正功，弹力不做功

B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能减小

C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功

D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功

答案　C

解析　用细绳拴住重物向下摆动时，重力做正功，弹力不做功，C对；用弹簧拴住重物向下摆动时，弹簧要伸长，重物轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且做功多，所以A、B、D均错．

10.如图10所示，小球自a点由静止自由下落，到b点与竖直放置的轻弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，不计空气阻力，则小球在a→b→c的运动过程中（　　）

图10

A．小球的加速度在ab段不变，在bc段逐渐变小

B．小球的速度在bc段逐渐减小

C．小球的重力势能在a→b过程中不变，在b→c过程中不断减小

D．弹簧的弹性势能在bc段不断增大

答案　D

解析　小球在ab段做自由落体运动，a＝g不变；在bc段小球受到的重力开始大于弹力，直至重力等于弹力大小，此过程中，小球受到的合外力向下，且不断减小，故小球做加速度减小、速度不断增大的变加速运动；过平衡点之后，小球继续压缩弹簧，受到的重力小于弹力，直至压缩弹簧最短到c点，此过程中，小球受到的合外力向上，且不断增大，故小球做加速度不断增大的变减速运动，故A、B错误；小球在a→b→c的过程中，高度越来越低，重力做正功，重力势能不断减小，故C错误；小球在bc段，弹簧被压缩得越来越短，形变量增大，弹力对小球做负功，弹性势能不断增大，故D正确．

二、非选择题

11．如图11所示，光滑水平轨道与光滑圆弧轨道相切，轻弹簧的一端固定在水平轨道的左端，OP是可绕O点转动的轻杆，且摆到某处就能停在该处，另有一小球，现在利用这些器材测定弹簧被压缩时的弹性势能．

图11

（1）还需要的器材是________、________.

（2）以上测量实际上是把对弹性势能的测量转化为对________的测量，进而转化为对________和________的直接测量．

（3）为了探究弹簧的弹性势能与劲度系数和形变量的关系，除以上器材外，还准备了三个轻弹簧，所有弹簧的劲度系数均不相同．试设计记录数据的表格．

答案　

（1）天平　刻度尺

（2）重力势能　小球质量　小球上升的高度

（3）设计的记录数据表格如下表所示

小球的质量m＝________kg

弹簧

劲度系数

k/（N/m）

压缩量

x/m

上升高度

h/m

Ep＝mgh/J

A

B

C