安徽省马鞍山市届高三第三次教学质量检测数学理试题扫描版.docx
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安徽省马鞍山市届高三第三次教学质量检测数学理试题扫描版
数学理科答案
一、选择题：
1．D2．D3.C4.B5.C6.B7.A8.C9.A10.B
二、填空题：
11．12.13.=-114.[－3,5]15.②④⑤
三、解答题：
16.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由正弦定理：
………………………………2分
又
………………………………6分
（Ⅱ）由正弦定理得，
由余弦定理得，
………………8分
……………………………………10分
……………………………………………………………………12分
另解：
，
下解答同上.
17.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值
k≈4.582>3.841.……2分
所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分
（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．
方法一：
令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则
P（A∩B），P（A）.
所以P（B|A）.……7分
方法二：
令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，
则P（C）.
②由题知X的可能值为0，1，2.
依题意P（X0）；P（X1）；P（X2）.
从而X的分布列为
X
0
1
2
P
……10分
于是E（X）0×＋1×＋2×.……12分
18.（本小题13分）
解法一：
（I）取的中点，连结．
，…………2分
，且，
是正三角形，,
又,
平面．
．…………………4分
（II）取的中点，连结．
分别为的中点，
，且．
∵四边形是直角梯形，且，
且．…………………………6分
∴四边形是平行四边形．
．
平面，平面
平面．…………………………8分
（III）延长与交点为，连结．
过作于一定，
连结，则．
为平面与平面所成锐二面角的平面角．…………10分
设,则,
．
又因为,
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………13分
解法二：
（I）同解法一
（II）∵侧面底面，
又，底面．
．
∴直线两两互相垂直，
故以为原点,直线所在直线为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则可求得
，
．
．
设是平面的法向量，则且．
取，得．…………6分
是的中点，．
．
．
．
平面，
平面．………………………8分
（III）又平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角为,
则,…………10分
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………13分
19.（本小题12分）
解：
（Ⅰ）
从第二项起为公比等于2的等比数列…………………………3分
（Ⅱ）
………………………………………6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
……………………………………………………………………8分
………………………………………………………………10分
……………………………………………………………………12分
20．（本小题13分）
解：
（Ⅰ）设，两切点为，
由得，求导得．
∴两条切线方程为①②………2分
对于方程①，代入点得，，又,
∴整理得：
，
同理对方程②有，即为方程的两根．
∴③………………………………………4分
设直线的斜率为，，
所以直线的方程为，展开得：
，代入③得：
，∴直线恒过定点．………………………………………6分
另解：
同上得两条切线方程为①②
得
∴AB方程为即
∴直线恒过定点．…………………6分
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）的结论，设，，，
且有，
∴，
∴
=，
又∵，
所以.
即直线的斜率倒数成等差数列．…………………13分
另解：
设切线方程为
由
因为直线与抛物线相切
所以………………①
知切线MA，MB的斜率是方程①的两个根
所以
又
即直线的斜率倒数成等差数列．…………………13分
21．（本小题13分）
解：
（I）
∴…………………4分
（II）
在上单调递减，在上单调递增
在内有唯一极小值，也就是在内的最小值
…………………8分
（III）由（II）知且在上单调递减
∴∴
∴∴………………（13分）
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