323直线的一般式方程.docx

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323直线的一般式方程

3.2.3直线的一般式方程

导入新课

前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?

这节课我们就来研究这个问题.

推进新课

提出问题

①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程?

结论1°：

直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程.

②关于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线?

结论2°：

关于x,y的一次方程都表示一条直线.

综上得：

这样我们就建立了直线与关于x,y的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式.

注意：

一般地，需将所求的直线方程化为一般式.

③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?

④特殊形式如何化一般式?

一般式如何化特殊形式?

特殊形式之间如何互化?

⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A、B、C有什么几何意义?

什么场合下需要化成其他形式?

各种形式有何局限性?

应用示例

例1已知直线经过点A（6,-4），斜率为-

，求直线的点斜式和一般式方程.

变式训练

1.已知直线Ax+By+C=0，

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?

（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?

（3）系数满足什么条件时,只与x轴相交?

（4）系数满足什么条件时,是x轴?

（5）设P（x0,y0）为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A（x-x0）+B（y-y0）=0.

2.（2007上海高考,理2）若直线l1:

2x+my+1=0与l2:

y=3x-1平行,则m=____________.

例2把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.

点评：

要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.

变式训练

直线l过点P（-6,3），且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程.

答案：

x+3y-3=0或x+2y=0.

知能训练

课本本节练习1、２、３.

拓展提升

求证：

不论m取何实数，直线（2m－1）x－（m+3）y－（m－11）=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系；

（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；

（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.

作业

习题3.2A组11.

讨论结果:

①分析：

在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.

1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：

y=kx+b.

2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其中y的系数是零.

②分析：

a当B≠0时，方程可化为y=-

x-

，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-

，在y轴上的截距为-

的直线.b当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为x=-

，表示一条与y轴平行或重合的直线.

③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.

④待学生通过练习后师生小结：

特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）

解：

经过点A（6,-4）且斜率为-

的直线方程的点斜式方程为y+4=-

（x-6）.

化成一般式，得4x+3y-12=0.

答案：

（1）C=0；

（2）A≠0且B≠0；

（3）B=0且C≠0；

（4）A=C=0且B≠0;

（5）证明：

∵P（x0,y0）在直线Ax+By+C=0上,

∴Ax0+By0+C+0,C=-Ax0-By0.

∴A（x-x0）+B（y-y0）=0.

答案：

-

解：

由方程一般式x－2y＋6=0，①

移项，去系数得斜截式y=

＋3.②

由②知l在y轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.

即直线在x轴上的截距是－6.

因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点（即在x轴，y轴上的截距点），过这两点作出直线l（图2）.

图2

解：

将方程化为（x+3y-11）-m（2x-y-1）=0，

它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.

解方程组

得

.

∴直线恒过（2,3）点.