圆的一般方程教案.docx

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圆的一般方程教案

（经典版）

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序言

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圆的一般方程教案

　　这是圆的一般方程教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

　　圆的一般方程教案第1篇

　　一.复习引入

　　提问：

　　以A（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么?

　　讨论并归纳回答。

　　复习巩固加强记忆。

　　二.新课讲授

　　1.思考：

　　我们先来判断两个具体的方程是否表示圆?

　　2.教师提问：

（1）.是不是任何一个形如的方程表示的曲线都是圆?

（2）.如果不是那么在什么条件下表示圆?

（提示：

与圆的标准方程进行比较。

）

　　综上所述，方程

　　表示的曲线不一定是圆,只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把方程（）称为圆的一般方程

　　与一般的二元二次方程比较

　　我们来看圆的一般方程的特点：

（启发学生归纳）

　　学生根据已有的知识，经过配方，把方程化成标准形式，然后加以判断。

　　（让学生相互讨论后,由学生总结）

　　配方得

　　总结

　　当时，此方程表示以（-，-）为圆心,为半径的圆;

　　当时，此方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;

　　当时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形

　　①x2和y2的系数相同，不等于0.

　　②没有xy这样的二次项

　　使新知识建立在学生已有的知识上

　　设置问题：

提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，合作交流使学生在积极的学习中解决问题，提高学生的教学思维能力，实现素质教育的目标，同时也培养了学生的情感、态度与价值观。

　　提高学生分析问题和解决问题的能力。

　　圆的标准方程

　　圆的一般方程

　　方程

　　圆心

　　半径

　　优点

　　几何特征明显

　　突出方程形式上的特点

　　问题:

圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?

　　采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想的认识。

　　练习1.判断下列方程是否表示圆?

如果是,请求出圆的圆心及半径.

　　三.例题讲解：

　　例1：

求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

　　分析:

已知曲线类型,应采用待定系数法

　　使用待定系数法的圆的方程的一般步骤：

　　1.根据题意，选择标准方程或一般方程;

　　2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;

　　3.解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

　　例2.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系?

并说明该关系表示什么曲线?

　　练习2.求圆心在直线上,并且经过原点和点（3,-1）的圆的方程

　　课堂小结

（1）任何一个圆的方程都可以写成的形式，但是方程的曲线不一定是圆;当时，方程称为圆的一般方程。

（2）圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化;熟练应用配方法求出圆心坐标和半径.

　　（3）用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.

　　想一想:

可否先求圆心和半径,再得出圆的方程?

　　（提示学生结合图形，圆的弦的中垂线的交点为圆心，圆心到圆上一点的距离为半径）

　　加强待定系数法的应用

　　培养学生数形结合思想，进一步加强学生用代数方法研究几何问题的能力，体现了本节的知识与技能目标。

　　练习：

P123：

1、2、3

　　生：

练习

　　4.1.2圆的一般方程

　　课时设计课堂实录

　　4.1.2圆的一般方程

　　1第一学时教学活动活动1【活动】活动

　　四.教学过程

　　教学环节

　　教师活动

　　学生活动

　　设计意图

　　复习圆的定义及圆的标准方程特征

　　创设问题

　　设疑

　　类比

　　教师引导

　　总结

　　一.复习引入

　　提问：

　　以A（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么?

　　讨论并归纳回答。

　　复习巩固加强记忆。

　　二.新课讲授

　　1.思考：

　　我们先来判断两个具体的方程是否表示圆?

　　2.教师提问：

（1）.是不是任何一个形如的方程表示的曲线都是圆?

（2）.如果不是那么在什么条件下表示圆?

（提示：

与圆的标准方程进行比较。

）

　　综上所述，方程

　　表示的曲线不一定是圆,只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把方程（）称为圆的一般方程

　　与一般的二元二次方程比较

　　我们来看圆的一般方程的特点：

（启发学生归纳）

　　学生根据已有的知识，经过配方，把方程化成标准形式，然后加以判断。

　　（让学生相互讨论后,由学生总结）

　　总结

　　当时，此方程表示以（-，-）为圆心,为半径的圆;

　　当时，此方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;

　　当时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形

　　①x2和y2的系数相同，不等于0.

　　②没有xy这样的二次项

　　使新知识建立在学生已有的知识上

　　设置问题：

　　提高学生分析问题和解决问题的能力。

　　圆的标准方程

　　圆的一般方程

　　方程

　　圆心

　　半径

　　优点

　　几何特征明显

　　突出方程形式上的特点

　　问题:

圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?

　　采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想的认识。

　　练习1.判断下列方程是否表示圆?

如果是,请求出圆的圆心及半径.

　　三.例题讲解：

　　例1：

求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

　　分析:

已知曲线类型,应采用待定系数法

　　使用待定系数法的圆的方程的一般步骤：

　　1.根据题意，选择标准方程或一般方程;

　　2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;

　　3.解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

　　例2.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系?

并说明该关系表示什么曲线?

　　练习2.求圆心在直线上,并且经过原点和点（3,-1）的圆的方程

　　课堂小结

（1）任何一个圆的方程都可以写成的形式，但是方程的曲线不一定是圆;当时，方程称为圆的一般方程。

（2）圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化;熟练应用配方法求出圆心坐标和半径.

　　（3）用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.

　　想一想:

可否先求圆心和半径,再得出圆的方程?

　　（提示学生结合图形，圆的弦的中垂线的交点为圆心，圆心到圆上一点的距离为半径）

　　加强待定系数法的应用

　　培养学生数形结合思想，进一步加强学生用代数方法研究几何问题的能力，体现了本节的知识与技能目标。

　　练习：

P123：

1、2、3

　　生：

练习

　　圆的一般方程教案第2篇

　　一、教材分析

　　教材是在圆的标准方程的基础上得出了圆的一般方程，然后分析方程特点，即讨论系数在通过配方观察方程何时表示圆、何时不是圆，判断的标准是圆的标准方程，这样做紧扣圆的几何特征，最后得出二元二次方程表示圆的充要条件，使学生加深对圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。

并对数学中分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。

　　教材配备了两个例题，例3利用圆的标准方程求同心圆方程：

例4则是利用待定系数法通过一般方程解过三点的圆的方程，这是数学中常用的一种方法。

　　二、学情分析

　　学生是在已有知识的基础上能够推导出圆的一般方程，并能初步利用圆的标准方程的特点研究圆的一般方程，学生在利用圆的一般方程x2?

y2?

Dx?

Ey?

0解决问题时，常忽略表示圆的条件D2?

E2?

4F?

0，灵活使用圆的方程的两种形式解决问题是学生学习的难点。

　　三、本节渗透的数学思想及教学方法分析

　　根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学思想，分析与讨论结合。

　　1、经历用待定系数法求圆的方程的过程，它是数学中常用的一种方法，在学习过程中体会用代数方法解决几何问题的思想。

　　2、圆的一般方程含有三个参变量，需要三个条件（坐标）才能确定圆，树立利用方程的思想求解参数变量。

　　3、引导学生分析两个方程之间的互化关系，选择两个方程解决问题的条件和优缺点。

　　4.教学中体现了转化、数形结合及方程的数学思想方法。

　　四.教学目标

　　知识与技能：

　　1）.掌握圆的一般方程及一般方程的特点

　　2）.能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径

　　3）.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程

　　过程与方法：

　　1）.通过问题的分析与解决使学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。

　　2）.通过分析，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。

　　情感态度与价值观：

　　培养学生主动探索、勇于思考、合作交流的意识，在体现数学美的过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好思维品质。

　　五.教学重、难点

　　教学重点：

　　1.圆的一般方程x2?

y2?

Dx?

Ey?

0的形式特征。

　　2.待定系数法求圆的方程。

　　教学难点：

　　1.方程x2?

y2?

Dx?

Ey?

0及对D2?

E2?

4F分类讨论。

　　2.根据具体条件，选择圆的方程解决有关问题及待定系数法求圆的方程。

　　难点突破：

　　通过对D2?

E2?

4F的分类讨论，使问题化难为易，难点个个攻破，使课堂教学显得轻松易学。

　　六．学法分析

　　在教学活动中，教师提出疑问，引导学生主动思考，主动探究，讨论交流，在积极的学习中解决问题，获得知识。

贯穿“疑问”—“思索”—“发现”—“解惑”四个学习环节。

　　七．教学过程设计

（一）创设情境，引发思考，引入新知

　　问题1：

A.B两镇相距10km，为了响应党的号召,丰富人民的文化生活,现在两镇之间修建一个文化广场,为方便大部分群众,现要求广场到两镇之间距离的平方和为60,那么广场应修建在何处?

　　分析：

仅仅依据问题中的几个数据无法表示距离，若将这个问题放在直角坐标系中来考虑，就能很快表示出距离，以AB两镇所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立直角坐标系，则A（?

5,0）,B（5,0），设P（x,y）为广场所在的位置，则有

　　化简得x2?

y2?

5。

你能说明这是一个什么方程吗？

（x?

5）2?

y2?

（x?

5）2?

y2?

60，

　　广场应建在什么位置？

　　设计意图：

以生活中的实例提出问题，激发学生的学习兴趣，并借此复习学生已经掌握的圆的标准方程，并为圆方程改写成二元二次方程的形式引出圆的一般方程做铺垫。

　　问题2：

圆的标准方程（x-a）2?

（y-b）2?

r2的展开式是什么？

：

　　x2?

y2-2ax-2by?

a2?

b2-r2?

　　由于a,b,r均为常数，故设D=-2a，E=-2b,F=a2+b2-r2此方程可写成下面的形式：

　　x2?

y2?

Dx?

Ey?

0①故任何一个圆的方程都可以用上式表示。

　　思考：

形如①的方程表示的曲线一定是圆吗？

　　设计意图：

在问题1的基础上由圆的标准方程展开问题引发概念，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。

（二）深入思考，得出结论

　　如果形如①的方程表示的曲线是圆，那么由方程可求出圆心和半径。

下面我们配D2E2D2?

E2?

4F方整理可得：

（x?

）?

（y?

）?

②224

　　D2E2D2?

E2?

4F比较圆的标准方程（x-a）+（y-b）=r与（x?

）?

（y?

）?

的形式224222上式表不表示圆，关键跟D2?

E2?

4F的正负有关。

　　1）当D2?

E2?

4F?

0时，表示以（?

　　径的圆。

　　2）当D2?

E2?

4F=0时，方程只有实数解x?

　　（?

DE,?

）。

22DE,?

）为圆心，

　　以R?

为半22DE，y?

即表示一个点22

　　3）当D2?

E2?

4F?

0时，方程没有实数解，因而不表示任何图形。

　　综上所述，方程x2?

y2?

Dx?

Ey?

0表示的曲线不一定是圆，只有当D2?

E2?

4F?

0时，它表示的曲线才是圆，此时x2?

y2?

Dx?

Ey?

0叫圆的一般方程。

表示以（?

　　DE,?

　　）为圆心，R?

为半径的圆。

22设计意图：

通过本过程，学生实现了对圆的方程更深的理解，实现了对圆的一般方程的理解。

引导学生理解圆的一般方程的意义，真正知道什么情况下表示圆，并理解为什么。

　　（三）两相对比，加深理解

　　标准方程：

（x-a）2+（y-b）2=r2明确指出了圆心和半径。

　　一般方程：

x2?

y2?

Dx?

Ey?

0突出了形式上的特点

　　1．x2和y2的系数相同，且不等于0。

　　2．没有xy这样的二次项。

　　3.D2?

E2?

4F?

　　设计意图：

通过比较，不仅复习了以前的知识，增强了记忆。

对今天的新课也有了更深层次的理解。

　　（四）知识运用，巩固概念

　　例1．判别下列方程表示什么图形,如果是圆,找出圆心和半径。

（1）x2+y2-2x+4y+1=0

（2）x2+y2+2by=0（b≠0）

　　例2．求过点M（?

1,1），且圆心与已知圆x2?

y2?

4x?

6y?

0相同的圆的方程。

方法一：

利用配方法将其变成圆的标准形式，求出圆心后再求半径。

　　方法二：

利用圆的一般方程方程形式求解，由于所求圆与已知圆是同心圆，故可设所求圆的方程为：

x2?

y2?

4x?

6y?

0，然后将M点代入，利用待定系数法求F。

　　设计意图：

本题较简单，学生独立求解，然后教师点评。

设计目的是让学生应用新知，巩固知识，强调圆的标准方程与一般方程方程的相互转化及二元二次方程

　　x2?

y2?

Dx?

Ey?

0表示圆的条件。

同时也增强学生自信，提高兴趣。

　　例3．求过三点O（0,0）,M1（1,1）,M2（4,2）,的圆的方程，并指出圆心和半径。

　　设计意图：

让学生通过自主解答，发现困难，教师适时引导，总结出用待定系数法求圆的一般方程的'步骤。

通过本小题进一步理解待定系数法这一思想。

　　注：

用待定系数法求圆的方程的步骤：

（1）根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；（圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较，

（1）若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.

（2）若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解）

（2）根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

　　（3）解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程。

　　（五）反馈练习，强化概念

　　教材80页，练习1、

（2）（4）2.

　　（六）课堂小节，形成体系

　　从知识与方法两个方面进行归纳。

（学生先归纳总结，教师补充强调）

　　1．本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为x2?

y2?

Dx?

Ey?

0，其特点是：

（1）x2和y2的系数相同，且不等于0。

（2）没有xy这样的二次项

　　（3）D2?

E2?

4F?

0表示以（?

DE,?

　　）为圆心，R?

为半径的圆。

222．圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较

（1）若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.

（2）若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.

　　3.本节课用的数学思想方法：

（1）通过特殊认识一般的思想方法。

（2）配方法（求圆心和半径）.待定系数法（求圆的一般方程）

　　（3）问题转化和分类讨论的思想（原则是不重复,不遗漏）

　　六．作业布置：

　　教材85页A组1、2

　　七．板书设计：

　　八、课后练习、巩固新知

　　一基础题

　　1．圆x2?

y2?

4x?

6y?

0的圆心坐标和半径分别为

　　2．若方程x2?

y2?

2x?

4my?

5m?

0表示的图形是圆，则m的取值范围是．

　　3．若圆x2?

y2?

Dx?

Ey?

0（D2?

E2?

4F?

0）的圆心在直线x?

0上，则D、E、F的关系有．

　　4．已知圆x2?

y2?

4x?

0的圆心是P，O是坐标原点，则|PO|?

．

　　5．过点M（?

1，?

1）且与已知圆C：

x2?

y2?

2x?

4y?

0的圆心相同的圆的方程是。

　　6．若圆x2?

y2?

2x?

2by?

b2?

0上的点关于直线x?

0对称，则b?

0），M（1，?

1），N（4，?

2）的圆的方程是．7．过三O（0，

　　二提高题

5），B（5，?

2）的圆的方程．?

5），C（6，8．求过三点A（?

1，

　　9．求圆x2?

y2?

2x?

2y?

0关于直线x?

0对称的圆的方程．

　　三能力题

0），A（3，10．已知点M（x，y）与两个顶点O（0，?

0）的距离之比为1，那么点M的坐标2

　　满足什么关系？

画出满足条件的点M所形成的曲线．

　　九、教学后记

　　本节课采用“问题探讨教学”和“自主探究式教学”相结合，志在体现学生学习的主体地位，教学中突出数学思想方法的渗透，引导学生运用了“通过特殊认识一般”的思想方法探究新知，利用“待定系数法”与“配方法”进行圆的一般方程与标准方程的转化，借助“数形结合”的思想分析问题，解决问题。

教学最后让学生从知识与方法两个方面进行归纳小结，培养学生及时梳理，系统总结，巩固所学新知的好习惯，课后练习的完成使学生进一步巩固新知，加强了对本节知识的进一步认识与运用。

　　另外，学生在学习本节知识时，在对方程x2?

y2?

Dx?

Ey?

0及对D2?

E2?

4F分类讨论及利用“配方法”确定圆的标准方程上存在困难，在今后教学中应加强使学生训练与提高。

　　圆的一般方程教案第3篇

　　一、教学目标

　　【知识与技能】在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径。

掌握方程表示圆的条件。

　　【过程与方法】通过对方程表示圆的条件的探究，学生探索发现及分析解决问题的实际能力得到提高

　　【情感态度与价值观】渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

　　二、教学重难点

　　【重点】掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。

　　【难点】二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的关系。

　　三、教学过程

（一）复习旧知，引出课题

　　1.复习圆的标准方程，圆心、半径。

　　2.提问1：

已知圆心为（1,-2）、半径为2的圆的方程是什么?

（二）交流讨论，探究新知

　　1.提问2：

方程是什么图形?

方程表示什么图形?

任何圆的方程都是这样的二元二次方程吗?

（通过此例分析引导学生使用配方法）

　　2.方程什么条件下表示圆?

（配方和展开由学生相互讨论交流完成，教师最后展示结果）

　　将配方得：

　　3.学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。

从而得出圆的'一般方程式：

　　4.由学生归纳圆的一般方程的特点，师生共同总结。

　　（三）例题讲解，深化新知

　　例1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?

如果是，请求出圆的圆心及半径。

（1）

（2）

　　例2.求过三点A（0,0），B（1,1），C（4,2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

　　（四）小结作业

　　师生共同总结今天这节课所学知识点

　　作业：

分必做题和选做题。

　　四、板书设计

　　五、教学反思

　　圆的一般方程教案第4篇

　　一、教学目标

　　【知识与技能】

　　1.学生掌握圆的一般方程的特点;

　　2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径;

　　3.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

　　【过程与方法】

　　通过分析、归纳等数学活动，发现圆的一般方程的特点，同时渗透数形结合的思想。

　　【情感态度与价值观】

　　在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，并乐于与人交流。

　　二、教学重难点

　　【重点】

　　能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;能用待定系数法

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