初中数学竞赛讲座数论部分3素数与合数.docx
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初中数学竞赛讲座数论部分3素数与合数
初中数学竞赛讲座——数论部分3（素数与合数）
初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 第三讲素数与合数 一、基础知识：
对于任意正整数n>1，如果除1和n本身以外，没有其它的因数，那么称n为素数，否则n称为合数。
这样，我们将正整数分为了三类：
1，素数，合数。
例如：
2，3，5，7，11，…都是质数。
1既不是质数也不是和数。
1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。
质数p和a互质，必要而且只要p|a事实上，若p|a，则p和a除±1外还有公因数\\±p，故二者不互质。
若p|a，则±p当然就不是p,a的公因数；但除了±p，只有±1才可\\能是p的因数，所以只有±1才可能是p，a的公因数，即二者互质。
显然任意两个不同的质数互质。
质数的性质 性质1．素数中只有一个数是偶数，它是2. 性质2．设n为大于1的正整数，p是n的大于1的因数中最小的正整数，则p为素数。
性质3．设a是任意一个大于1的整数，则a的除1外最小正因数q是一质数，并且当a是合数时，q?
a证明：
假设q不是质数，则定义可知q除1及本身以外还有一正因数，设它为b，因而1 当a是合数时，则a=c·q且c>1，否则a是质数。
于q是a的除1外的最小正因数，所以q小于等于c，q2?
qc=a故q?
a。
a的某些质数的倍数。
换言之， 说明：
此性质表明，一个合数a一定是不大于如果所有不大于 。
a的质数都不能整除a，那么a一定是质数 此性质是我们检验一个数是否为素数的最常用的方法。
例如判断191是不是素数。
因为不大于191 这种方法还可以求不大于a的所有素数，例如，求50以内的全体素数。
于不大于50 第1页共8页 ,50中依次划去2,3,5,7的倍数最后余下的数就是50以内的全体质数。
这就是著名的爱拉托斯散素数筛选法。
性质4．如果对任意1到a之间的素数p，都有p|a，那么a为素数，这里a为正整数。
证明：
事实上，若a为合数，则可写成a?
pq，2?
p?
q，因此p2?
a，即p?
a，这表明p的素因子?
a，且它是a的因数，与条件矛盾。
因此a为素数。
性质5．质数的个数是无穷的 证明：
假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p，设q为所有素数之积加上1，那么，q=（2*3*5*……*p）+1不是素数，那么，q可以被2、3、……、p中的数整除，而q被这2、3、……、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾。
所以，素数是无限的。
二、典型问题：
例1．设p，q，r都是素数，并且p?
q?
r,p?
q，求p 解：
于r=p+q，所以r不是最小的质数，从而r是奇数，所以p,q为一个奇数和一个偶数。
因为p 思考：
当p=2时，r=2+q，满足r=2+q的两个素数叫做孪生素数，请写出前十对孪生素数。
例2.设a,b,c均为素数，且a+b?
c?
68，ab?
bc?
ca?
1121，求abc的值。
分析：
要求abc的值，不一定要把a,b,c都求出来。
注意到3个质数的和a+b?
c?
68是偶数，所以a,b,c中必然有一个是偶数，它只能是2，代入第二个等式，便可求出另两个数的乘积。
解：
不妨设a?
b?
c a+b?
c?
68，得a=2，则b?
c?
66，代入a（b?
c）?
bc?
1121，得bc=989，故abc=1978例3解方程：
x（x?
y）?
z?
120，其中x,y是素数，z是奇素数。
解：
因为z是奇数，所以z+120是奇数，所以x和x+y均为奇数，所以y=（x+y）-x为偶数。
又y为质数，所以y=2，所以x（x+2）=z+120 所以x?
2x?
120?
z，即（x?
12）（x?
10）?
z，又z为质数，且x-10 2第2页共8页 初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 ?
x?
10?
1所以?
，所以x=11，z=23 x?
12?
z?
?
x?
11?
故方程的解为?
y?
2 ?
z?
23?
n3?
1例4.若n是正整数，且是一个素数，求n的值。
5n3?
1（n?
1）（n2?
n?
1）解：
因为=是一个质数，所以5|（n-1）（n2+n+1）55所以5|（n-1），或5|（n2+n+1），若5|（n2+n+1），因为n>1，所以n2+n+1?
22+2+1>5 （n?
1）（n2?
n?
1）又是一个质数，所以n-1=1，即n=2，但此时n2+n+1=7，与5|（n2+n+1）5矛盾。
所以5|（n-1），又n2+n+1>1，所以n-1=5，即n=6 n3?
1此时=43是质数，综上所述n=65例5设n为正整数，且n与5n+3均为素数，求证：
5n+4n?
1也是素数。
证明：
若n为奇质数，则5n2为奇数，所以5n+3为偶数。
又因为n为正整数，显然5n+3>2 所以5n+3为合数，这与5n+3为质数矛盾。
所以n为偶质数，即n=2 当n=2时，5n?
4n?
1=29为质数。
例6设p，p+10，p+14都是素数，试确定所有的p。
解：
设p=3k+r（r=0,1,2）
（1）当r=1时，p=3k+1，则p+14=3k+1+14=3（k+5），为合数，与条件矛盾；
（2）当r=2时，p=3k+2，则p+10=3k+2+10=3（k+4），为合数，与条件矛盾；
（1）
（2）可知，要使p，p+10，p+14都是素数，只能r=0，即p=3k， 第3页共8页 2222222初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 此时，当且仅当k=1时，p=3为素数，此时p+10=13，p+14=17也都是素数，所以满足条件。
故满足题意的p只有3。
说明：
质数被2除，除2外，只能是2k+1型的数；质数被3除，除3外，只能是3k+1与3k-1型的数；以此类推，特别地，质数被6除，只能是6k+1和6k-1型的数。
例7若p和p+2都是大于3的素数，求证：
p+1是合数，且6是它的一个约数。
分析：
6是p+1的一个约数，提示我们应将质数p被6除，分为两类，即6k+1和6k-1型的数 证明：
因为整数被6除可分为6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k-2,6k-1这6类，其中质数p只能是6k+1和6k-1型的数 若p=6k+1，则p+2=3（2k+1）是合数，不合题意； 所以p=6k-1，这时p+1=6k是合数，且6是它的一个约数。
例8设m为正整数，且1?
2?
3?
?
（m?
1）?
1被m整除，求证：
m为质数。
?
（m?
1）中含有因 证明：
假设m为合数，令m=pq（1 证明：
n?
4=n?
4n?
4?
4n=（n2?
2）2?
（2n）2=（n2?
2n?
2）（n2?
2n?
2）因为n2?
2n?
2?
n2?
2n?
2?
（n?
1）2?
1?
1所以n?
4是合数。
例10若x1,x2为正整数，且x1?
x2?
a，x1x2?
1?
b，求证：
a?
b为合数。
分析：
将a?
b用x1，x2的代数式表示，再化为两个大于1的正整数之积。
222222证明：
a?
b=（x1+x2）2+（1-x1x2）2=x1?
x2?
x1x2?
1=（x1?
1）（x2?
1） 2222224444224因为x1，x2是正整数，所以x1?
1?
1,x2?
1?
1所以a?
b为合数。
例11给定下表：
147101349141924 第4页共8页 2222初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 71421283510192837461324354657 求证：
若N在表中，则2N+7不是素数； 若N不在表中，则2N+7是素数。
证明：
观察可知，表中第m行、第n列处的数为n（2m+1）+m-3 若N为表中第m行、第n列处的数，则2N+7=2[n（2m+1）+m-3]+7=（2n+1）（2m+1）因为mm?
1,n?
1，所以2n+1?
1，2m+1?
1，所以2N+7不是素数 设2N+7=pq，p>1，q>1，则p,q必为正奇数，令p=2n+1，q=2m+1所以2N+7=pq=（2n+1）（2m+1），N=n（2m+1）+m-3显然N为表中第m行、第n列处的数。
例12是否存在连续四个正整数，它们均为合数？
若存在，求出其中最小的一组数；若不存在，说明理。
分析：
连续四个正整数中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，一个是4的倍数。
解：
设n=1?
2?
3?
4，则n，n+1，n+2，n+3对应的值24,25,26,27是四个连续正整数，它们均为合数，且是最小的一组。
说明：
如果不要求最小的一组，设n=2?
3?
4?
5，则n+2，n+3，n+4，n+5分别含有约数2,3,4,5，故它们是四个连续的合数，所以符合条件的合数有无数多组。
例13.现有41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？
若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理．解：
能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：
1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求． 不能办到．若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，此引出矛盾，故不能办到． 三、模拟训练 1.有下列４种说法：
两个质数的和必是质数；两个合数的和必是合数； 一个质数与一个合数的和必是质数；一个质数与一个合数的和必是合数。
其中正确的说法的个数有. A．0 B．1 C．2 D．4答：
A 第5页共8页
初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 2.若p为质数，p3?
5仍为质数，则p5?
7为． Ａ.质数Ｂ.可为质数，也可为合数Ｃ.合数Ｄ.既不是质数，也不是合数答：
C 3.小于100的质数共___个，它们是____________________ ______________．答：
25；2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、974.能整除3?
5的最小质数是 . 答：
2 5．己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿．答：
2,9 6.己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿．答：
2,43 7.如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿． 如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿．三个质数之和为86，那么这三个质数是 .答：
1和193和52，3，71 8.两个质数x和y，己知xy?
91,那么x?
，y?
或x?
，y?
．答：
7、13和13、7 是质数，并且p6?
3也是质数，则p3?
5＝ ．答：
13 1115pp?
qq10.若p,q为质数，m,n为正整数，p?
m?
n，q?
mn，则m＝ ． m?
nn答：
（19）. 31511.已知三个质数a,b,c满足a?
b?
c?
abc?
99，那么a?
b＋b?
c＋c?
a的值等于 ．答：
34 12.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是 .答：
29 13.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是 ． 第6页共8页 初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 答：
374 14.已知a是质数，b是奇数，且a?
b＝2007，则a?
b＝ ．答：
2005 15.试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数 ．答：
25、26、27、28 16.设p（p?
5）是质数，并且2p?
1也是质数．求证：
4p?
1是合数 证明：
于p是大于3的质数，故p不会是3k的形式，从而p必定是3k+1或3k+2的形 式，k是正整数． 若p=3k+1，则2p+1=2（3k+1）+1=3（2k+1）是合数，与题设矛盾．所以p=3k+2，这时4p+1=4（3k+2）+1=3（4k＋3）是合数．17.设a、b、c、d是四个整数，且使得m=（ab+cd）2-2122222（a+b-c-d）是一个非零整数，求4证：
|m|一定是个合数．解：
要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p?
q，p?
q均为大于1的正整数即可．12222（a+b-c-d）411=[ab+cd+（a2+b2-c2-d2）][ab+cd-（a2+b2-c2-d2）]221=[2ab+2cd+a2+b2-c2-d2][2ab+2cd-a2-b2+c2+d2]41=[（a+b）2-（c-d）2][（c+d）2-（a-b）2]41=（a+b+c-d）（a+b-c+d）（c+d+a-b）（c+d-a+b）41因为m是非零整数，则（a+b+c-d）（a+b-c+d）（c+d+a-b）（c+d-a+b）是非零整数．4证明：
m=（ab+cd）2-于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除，所以四个数均为偶数．所以可设a+b+c-d=2m1，a+b-c+d=2m2，a-b+c+d=2m3，-a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均为非零整数．所以m=1=4m1m2m3m4，4所以|m|=4|m1m2m3m4|≠0，所以|m|是一个合数． 问题研究1：
写出100以内的素数：
2,3,5,7，97，我们发现素数比3的倍数小1或大1，这种模式能延续下去吗？
说说你的研究结论。
第7页共8页 初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室 第8页共8页
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