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1、初中数学竞赛讲座数论部分3素数与合数初中数学竞赛讲座数论部分3(素数与合数)初中数学兴趣班系列讲座数论部分唐一良数学工作室 第三讲 素数与合数 一、基础知识： 对于任意正整数n1，如果除1和n本身以外，没有其它的因数，那么称n为素数，否则n称为合数。这样，我们将正整数分为了三类：1，素数，合数。 例如：2，3，5，7，11，都是质数。1既不是质数也不是和数。1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。 质数p和a互质，必要而且只要p| a事实上，若p|a，则p和a除1外还有公因数p，故二者不互质。若p| a，则p当然就不是p,a的公因数；但除了p，只有1才可能是p的

2、因数，所以只有1才可能是p，a的公因数，即二者互质。显然任意两个不同的质数互质。 质数的性质 性质1素数中只有一个数是偶数，它是2. 性质2设n为大于1的正整数，p是n的大于1的因数中最小的正整数，则p为素数。 性质3设a 是任意一个大于1的整数，则a 的除1 外最小正因数q 是一质数，并且当a 是合数时，q?a 证明： 假设q不是质数，则定义可知q除1及本身以外还有一正因数，设它为b，因而1当a是合数时，则a=cq 且c1，否则a是质数。于q是a的除1外的最小正因数，所以q小于等于c ，q2?qc=a 故q?a。 a的某些质数的倍数。换言之，说明：此性质表明，一个合数a一定是不大于如果所有不

3、大于。a的质数都不能整除a，那么a一定是质数此性质是我们检验一个数是否为素数的最常用的方法。例如判断191是不是素数。因为不大于191这种方法还可以求不大于a的所有素数，例如，求50以内的全体素数。于不大于50第 1 页 共 8 页 ,50中依次划去2,3,5,7的倍数最后余下的数就是50以内的全体质数。这就是著名的爱拉托斯散素数筛选法。 性质4如果对任意1到a之间的素数p，都有p|a，那么a为素数，这里a为正整数。 证明：事实上，若a为合数，则可写成a?pq，2?p?q，因此p2?a，即p?a， 这表明p的素因子?a，且它是a的因数，与条件矛盾。因此a为素数。 性质5质数的个数是无穷的 证明

4、：假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p ，设q为所有素数之积加上1，那么，q =( 2 * 3 * 5 * * p )+ 1不是素数，那么，q可以被2、3、p中的数整除，而q被这2、3、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾。 所以，素数是无限的。 二、典型问题： 例1设p，q，r都是素数，并且p?q?r,p?q，求p 解：于r=p+q，所以r不是最小的质数，从而r是奇数，所以p,q为一个奇数和一个偶数。因为p思考：当p=2时，r=2+q，满足r=2+q的两个素数叫做孪生素数，请写出前十对孪生素数。 例2.设a,b,c均为素数，且a+b?c?68，ab?bc?ca?1121

5、，求abc的值。 分析：要求abc的值，不一定要把a,b,c都求出来。注意到3个质数的和a+b?c?68是偶数，所以a,b,c中必然有一个是偶数，它只能是2，代入第二个等式，便可求出另两个数的乘积。 解：不妨设a?b?c a+b?c?68，得a=2，则b?c?66，代入a(b?c)?bc?1121，得bc=989，故abc=1978 例3 解方程：x(x?y)?z?120，其中x,y是素数，z是奇素数。 解：因为z是奇数，所以z+120是奇数，所以x和x+y均为奇数，所以y=(x+y)-x为偶数。 又y为质数，所以y=2，所以x(x+2)=z+120 所以x?2x?120?z，即(x?12)(

6、x?10)?z，又z为质数，且x-102第 2 页 共 8 页 初中数学兴趣班系列讲座数论部分唐一良数学工作室 ?x?10?1所以?，所以x=11，z=23 x?12?z?x?11?故方程的解为?y?2 ?z?23?n3?1例4.若n是正整数，且是一个素数，求n的值。 5n3?1(n?1)(n2?n?1)解：因为=是一个质数，所以5|(n-1)(n2+n+1) 55所以5|(n-1)，或5|(n2+n+1)，若5|(n2+n+1)，因为n1，所以n2+n+1?22+2+15 (n?1)(n2?n?1)又是一个质数，所以n-1=1，即n=2，但此时n2+n+1=7，与5|(n2+n+1)5矛盾。

7、 所以5|(n-1)，又n2+n+11，所以n-1=5，即n=6 n3?1此时=43是质数，综上所述n=6 5例5 设n为正整数，且n与5n+3均为素数，求证：5n+4n?1也是素数。 证明：若n为奇质数，则5n2为奇数， 所以5n+3为偶数。 又因为n为正整数，显然5n+32 所以5n+3为合数，这与5n+3为质数矛盾。 所以n为偶质数，即n=2 当n=2时，5n?4n?1=29为质数。 例6 设p，p+10，p+14都是素数，试确定所有的p。 解：设p=3k+r(r=0,1,2) (1)当r=1时，p=3k+1，则p+14=3k+1+14=3(k+5)，为合数，与条件矛盾； (2)当r=2

8、时，p=3k+2，则p+10=3k+2+10=3(k+4)，为合数，与条件矛盾； (1)(2)可知，要使p，p+10，p+14都是素数，只能r=0，即p=3k， 第 3 页 共 8 页 2222222初中数学兴趣班系列讲座数论部分唐一良数学工作室 此时，当且仅当k=1时，p=3为素数，此时p+10=13，p+14=17也都是素数，所以满足条件。故满足题意的p只有3。 说明：质数被2除，除2外，只能是2k+1型的数；质数被3除，除3外，只能是3k+1与3k-1型的数；以此类推，特别地，质数被6除，只能是6k+1和6k-1型的数。 例7 若p和p+2都是大于3的素数，求证：p+1是合数，且6是它的

9、一个约数。 分析：6是p+1的一个约数，提示我们应将质数p被6除，分为两类，即6k+1和6k-1型的数 证明：因为整数被6除可分为6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k-2,6k-1这6类， 其中质数p只能是6k+1和6k-1型的数 若p=6k+1，则p+2=3(2k+1)是合数，不合题意； 所以p=6k-1，这时p+1=6k是合数，且6是它的一个约数。 例8 设m为正整数，且1?2?3?(m?1)?1被m整除，求证：m为质数。 ?(m?1)中含有因证明：假设m为合数，令m=pq(1证明：n?4=n?4n?4?4n=(n2?2)2?(2n)2=(n2?2n?2)(n2?2n?2) 因为n2?

10、2n?2?n2?2n?2?(n?1)2?1?1 所以n?4是合数。 例10 若x1,x2为正整数，且x1?x2?a，x1x2?1?b，求证：a?b为合数。 分析：将a?b用x1，x2的代数式表示，再化为两个大于1的正整数之积。 222222证明：a?b=(x1+x2)2+(1-x1x2)2=x1?x2?x1x2?1=(x1?1)(x2?1) 2222224444224因为x1，x2是正整数，所以x1?1?1,x2?1?1 所以a?b为合数。 例11 给定下表： 1 4 7 10 13 4 9 14 19 24 第 4 页 共 8 页 2222初中数学兴趣班系列讲座数论部分唐一良数学工作室 7

11、14 21 28 35 10 19 28 37 46 13 24 35 46 57 求证：若N在表中，则2N+7不是素数； 若N不在表中，则2N+7是素数。 证明：观察可知，表中第m行、第n列处的数为n(2m+1)+m-3 若N为表中第m行、第n列处的数，则2N+7=2n(2m+1)+m-3+7=(2n+1)(2m+1) 因为mm?1,n?1，所以2n+1?1，2m+1?1，所以2N+7不是素数 设2N+7=pq，p1，q1，则p,q必为正奇数，令p=2n+1，q=2m+1 所以2N+7=pq=(2n+1)(2m+1)，N=n(2m+1)+m-3 显然N为表中第m行、第n列处的数。 例12 是

12、否存在连续四个正整数，它们均为合数？若存在，求出其中最小的一组数；若不存在，说明理。 分析：连续四个正整数中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，一个是4的倍数。 解：设n=1?2?3?4，则n，n+1，n+2，n+3对应的值24,25,26,27是四个连续正整数，它们均为合数，且是最小的一组。 说明：如果不要求最小的一组，设n=2?3?4?5，则n+2，n+3，n+4，n+5分别含有约数2,3,4,5，故它们是四个连续的合数，所以符合条件的合数有无数多组。 例13.现有41名运动员所穿运动衣号码是1，2，40，41这41个自然数，问： 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码

13、之和是质数？ 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？ 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理 解：能办到注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求 不能办到若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两

14、数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，此引出矛盾，故不能办到 三、模拟训练 1. 有下列种说法：两个质数的和必是质数；两个合数的和必是合数；一个质数与一个合数的和必是质数；一个质数与一个合数的和必是合数。其中正确的说法的个数有. A0B1C2D4 答：A 第 5 页 共 8 页 初中数学兴趣班系列讲座数论部分唐一良数学工作室 2.若p为质数，p3?5仍为质数，则p5?7为 .质数 .可为质数，也可为合数 .合数 .既不是质数，也不是合数 答：C 3. 小于100的质数共_ _个，它们是_ _ 答：25；2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、4

15、1、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 4.能整除3?5的最小质数是 . 答： 2 5己知质数P与奇数Q的和是11，则P，Q 答：2,9 6.己知两个素数的差是41，那么它们分别是 答：2,43 7.如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是 如果两个质数的积等于15，则它们是 三个质数之和为86，那么这三个质数是. 答：1和19 3和5 2，3，71 8.两个质数x和y，己知xy?91,那么x?，y?或x?，y? 答：7、13和13、7 是质数，并且p6?3也是质数，则p3?5 答： 13 1115pp?qq10. 若p,q为质数，m,n为正整数，p?m?

16、n，q?mn，则m m?nn答：(19). 31 511. 已知三个质数a,b,c满足a?b?c?abc?99，那么a?bb?cc?a的值等于 答：34 12.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是 . 答：29 13.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是 第 6 页 共 8 页 初中数学兴趣班系列讲座数论部分唐一良数学工作室 答：374 14.已知a是质数，b是奇数，且a?b2007，则a?b 答：2005 15.试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数 答：25、26、27、28 16.设p (p?5)是质

17、数，并且2p?1也是质数求证：4p?1是合数 证明：于p是大于3的质数，故p不会是3k的形式，从而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整数 若p=3k+1，则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数，与题设矛盾 所以p=3k+2，这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k3)是合数 17.设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(ab+cd)2-2122222(a+b-c-d)是一个非零整数，求4证：|m|一定是个合数 解：要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p?q，p?q均为大于1的正整数即可 12222 (a+b-c-d) 411=ab+cd+(a2+b2-c2-d2)ab+

18、cd-(a2+b2-c2-d2) 221=2ab+2cd+a2+b2-c2-d22ab+2cd-a2-b2+c2+d2 41=(a+b)2-(c-d)2(c+d)2-(a-b)2 41=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b) 41因为m是非零整数，则(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)是非零整数 4证明：m=(ab+cd)2-于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除， 所以四个数均为偶数 所以可设a+b+c-d=2m1，a+b-c+d=2m2，a-b+c+d=2m3，-a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均为非零整数 所以m=1=4m1m2m3m4， 4所以|m|=4|m1m2m3m4|0， 所以|m|是一个合数 问题研究1：写出100以内的素数：2,3,5,7，97，我们发现素数比3的倍数小1或大1，这种模式能延续下去吗？说说你的研究结论。 第 7 页 共 8 页 初中数学兴趣班系列讲座数论部分唐一良数学工作室 第 8 页 共 8 页